Teoria mocy

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 11
Teoria mocy
Def. 11.1 Mówimy, »e zbiory A i B s¡ równoliczne (lub, »e maj¡ t¦ sam¡ moc), gdy istnieje bijekcja
dla której A jest dziedzin¡, za±
oznacza¢
B
przeciwdziedzin¡. Fakt, »e zbiory
AiB
s¡ równoliczne b¦dziemy
A∼B:
A∼B ⇔
istnieje bijekcja
f : A → B.
Korzystaj¡c z wykazanych podczas wykªadu 8 wªasno±ci bijekcji ªatwo pokaza¢, »e równoliczno±¢
jest relacj¡ równowa»no±ci na przestrzeni zbiorów (prosz¦ to zrobi¢!).
Wyka»emy teraz:
Tw. 11.1 Dla dowolnych zbiorów A1 , A2 , B1 , B2
a) je±li
A1 ∩ A2 = B1 ∩ B2 = ∅,
b)
A1 × A2 ∼ B1 × B2 ,
c)
B1
1
AA
2 ∼ B2
gdzie
DC
to
takich, »e
A1 ∼ B1 i A2 ∼ B2 :
A1 ∪ A2 ∼ B1 ∪ B2 ,
oznacza zbiór funkcji o argumentach nale»¡cych do zbioru
C
i warto±ciach w zbiorze
D.
Dowód
Na mocy zaªo»enia o równoliczno±ci zbiorów
A1
i
B1
f1 : A1 → B1 ,
f2 : A2 → B2 . Niech teraz
istnieje bijekcja
na mocy
A2 i B2 istnieje bijekcja

 f1 (a) gdy a ∈ A1 ,
g(a) =
 f2 (a) gdy a ∈ A2 .
zaªo»enia o równoliczno±ci zbiorów
g jest dobrze (jednoznacznie) zdeniowan¡ funkcj¡ z A1 ∪ A2 w
B1 ∪ B2 . Zaªó»my teraz, »e a1 =
̸ a2 . Je±li a1 , a2 ∈ A1 , to g(a1 ) = f1 (a1 ) ̸= f1 (a2 ) = g(a2 ), bo f1
jest ró»nowarto±ciowa; podobnie dla a1 , a2 ∈ A2 . Je±li a1 ∈ A1 i a2 ∈ A2 , to g(a1 ) = f1 (a1 ) ∈ B1
oraz g(a2 ) = f2 (a2 ) ∈ B2 , sk¡d g(a1 ) ̸= g(a2 ) gdy» B1 ∩ B2 = ∅. Powtarzaj¡c to rozumowanie w
przypadku a1 ∈ A2 , a2 ∈ A1 dostajemy, »e g(a) jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡ (injekcj¡).
Poniewa»
A1 ∩ A2 = ∅,
wi¦c
b ∈ B1 ∪ B2 .
Je±li
Niech teraz
b ∈ B1
to, na mocy surjektywno±ci funkcji
f1
i denicji funkcji
g
mamy:
∃ a ∈ A1 : b = f1 (a) ⇒ ∃ a ∈ A1 : b = g(a) ⇒ ∃ a ∈ A1 ∪ A2 : b = g(a).
Podobnie, je±li
b ∈ B2 ,
wówczas na mocy surjektywno±ci funkcji
f2
i denicji funkcji
g
mamy:
∃ a ∈ A2 : b = f2 (a) ⇒ ∃ a ∈ A2 : b = g(a) ⇒ ∃ a ∈ A1 ∪ A2 : b = g(a).
Pokazali±my, »e
B1 ∪ B2 .
g
jest surjekcj¡, jest wi¦c tak»e (na mocy wniosku powy»ej) bijekcj¡
Istnienie takiej bijekcji pokazuje prawdziwo±¢ punktu a) twierdzenia 11.1.
1
A1 ∪ A2 →
Bijekcja, wykazuj¡c równoliczno±¢ zbiorów
A1 × A2 i B1 × B2
ma posta¢:
A1 × A2 ∋ ⟨a1 , a2 ⟩ → g(⟨a1 , a2 ⟩) = ⟨f1 (a1 ), f2 (a2 )⟩.
Istotnie,
g
jest injekcj¡
g(⟨a1 , a2 ⟩) = g(⟨a′1 , a′2 ⟩) ⇔ ⟨f1 (a1 ), f2 (a2 )⟩ = ⟨f1 (a′1 ), f2 (a′2 )⟩
(
) (
)
⇔ f1 (a1 ) = f1 (a′1 ) ∧ f2 (a2 ) = f2 (a′2 )
)
(
(
)
⇔ a1 = a′1 ∧ a1 = a′2 ⇔ ⟨a1 , a2 ⟩ = ⟨a′1 , a′2 ⟩ ,
gdzie pierwsza równowa»no±¢ wynika z denicji funkcji
g,
druga i czwarta równowa»no±¢ wynikaj¡
z denicji pary uporz¡dkowanej, za± trzecia i ró»nowarto±ciowo±ci funkcji
f1
i
f2 .
Poniewa»
f1
i
f2
⟨b1 , b2 ⟩ ∈ B1 × B2 :
⟨ (
) (
)⟩
(
)
⟨b1 , b2 ⟩ = f1 f1−1 (b1 ) , f2 f2−1 (b2 ) = g ⟨f1−1 (b1 ), f2−1 (b2 )⟩
s¡ bijekcjami, wi¦c dla dowolnej pary uporz¡dkowanej
czyli
g
jest surjekcj¡. Ko«czy to dowód punktu b).
Dowód punktu c) polega na skonstruowaniu bijekcji mi¦dzy zbiorem funkcji
funkcji
B1 → B2 .
Niech
g : A1 → A2
A1 → A2
i zbiorem
b¦dzie (dowoln¡) funkcj¡. Rozwa»my diagram:
f1
A1 −→ B1
g
↓
f2
A2 −→ B2
f1 i f2
funkcji
s¡ (istniej¡cymi na mocy zaªo»enia) bijekcjami, istnieje wi¦c bijekcja
g
mo»emy wi¦c przyporz¡dkowa¢ funkcj¦
za± przeciwdziedzin¡ zbiór
B2 .
F (g) = f2 · g · f1−1 ,
której
f1−1 : B1 → A1 . Ka»dej
dziedzin¡ jest zbiór B1 ,
Poka»emy, »e odwzorowanie
B1
−1
1
AA
2 ∋ g → ḡ = F (g) = f2 ◦ g ◦ f1 ∈ B2
(∗)
jest szukan¡ bijekcj¡.
Odwzorowanie to jest funkcj¡,
F (g)
jest bowiem jednoznacznie okre±lona dla ka»dego
1
g ∈ AA
2 .
Dwie funkcje okre±lone na wspólnej dziedzinie s¡ (z denicji) ró»ne, je±li istnieje taka warto±¢ argumentu, dla której warto±ci funkcji s¡ ró»ne,
1
∀ g1 , g2 ∈ AA
2 :
Niech dla
1
g1 , g2 ∈ AA
2
(
(
))
g1 ̸= g2 ⇔ ∃ a ∈ A1 : g1 (a) ̸= g2 (a)
i dla pewnego
a ∈ A1
zachodzi
g1 (a) ̸= g2 (a).
Poniewa» funkcja
ró»nowarto±ciowa, wi¦c mamy st¡d
(
)
(
)
f2 g1 (a) ̸= f2 g2 (a) .
Zdeniujmy teraz
ḡ1 = F (g1 ) = f2 ◦ g1 ◦ f1−1 ,
ḡ2 = F (g2 ) = f2 ◦ g2 ◦ f1−1 .
2
f2
jest
(
(
) 
ḡ1 f1 (a)) = f2 g1 (a) 
(
(
(
(
)  ⇒ ḡ1 f1 (a)) ̸= ḡ2 f1 (a)) ⇒ ḡ1 ̸= ḡ2
ḡ2 f1 (a)) = f2 g2 (a)
St¡d
czyli funkcja
(∗)
jest ró»nowarto±ciowa.
h̄ ∈ B2B1 b¦dzie dowoln¡ funkcj¡ o argumentach w zbiorze B1 i warto±ciach w zbiorze
f2 jest bijekcj¡, wi¦c istnieje funkcja f2−1 : B2 → B1 . Dla ka»dej h̄ ∈ B2B1 funkcja:
Niech wreszcie
B2 .
Poniewa»
h = f2−1 ◦ h̄ ◦ f1
jest wi¦c elementem zbioru
1
AA
2
i
(
)
h̄ = f2 ◦ f2−1 ◦ h̄ ◦ f1 ◦ f1−1 ≡ f2 ◦ h ◦ f1−1 = F (h).
Równo±¢ ta pokazuje, »e
F
jest surjekcj¡, co ko«czy dowód twierdzenia 11.1
Je±li zbiór
A
B
jest równoliczny z pewnym podzbiorem wªa±ciwym zbioru
ma co najmniej tyle elementów, co zbiór
Def. 11.1
Mówimy, »e zbiór
to±ciowa funkcja
Stwierdzenie
dzeniu
B
A
A
B.
B
to b¦dziemy mówi¢, »e
Jest to równowa»ne nast¦puj¡cej denicji:
ma co najmniej tyle elementów co zbiór
B,
gdy istnieje ró»nowar-
g : B → A.
ma co najmniej tyle elementów, co
ma nie wi¦cej elementów, ni»
B
b¦dziemy traktowa¢ jak równowa»ne stwier-
A.
Podamy teraz (bez dowodu) twierdzenie:
Tw. 11.2
Dla dowolnych zbiorów
warto±ciowa funkcja
A
i
B
istnieje ró»nowarto±ciowa funkcja
f : A→B
lub ró»no-
g : B → A.
Wyka»emy tera podstawowe
Tw. 11.3 (CantorBernstein)
A i B istnieje ró»nowarto±ciowa funkcja f : A → B i
g : B → A, to zbiory A i B s¡ równoliczne.
Je±li dla zbiorów
funkcja
istnieje ró»nowarto±ciowa
Dowód
Zaªó»my, »e
A∩B = ∅
(przypadkiem, w którym cz¦±¢ wspólna zbiorów
A
i
B
jest niepusta,
zajmiemy si¦ pó¹niej).
Poniewa» funkcja
f
jest ró»nowarto±ciowa, wi¦c dla dowolnego
wyznaczony element
a∈A
Podobnie, poniewa»
g
taki, »e
f (a) = b.
b ∈ f (A)
Element ten b¦dziemy oznacza¢ przez
jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡, wi¦c dla dowolnego
noznacznie wyznaczony element
b ∈ B
istnieje jednoznacznie
taki, »e
g(b) = a.
g −1 (a).
3
f −1 (b).
a ∈ g(B)
istnieje jed-
Element ten b¦dziemy oznacza¢ przez
a ∈ A ªa«cuchem z nim zwi¡zanym nazwijmy ci¡g
(
(
)
(
)
) (
[a] = . . . , f −1 g −1 (a) , g −1 (a), , f (a), g f (a) , . . . ≡ . . . , a(−2) , a(−1) , a, a(1) , a(2) , . . .)
Dla dowolnego
Notacja zostaªa dobrana tak, by (dla
Zauwa»my, »e dla dowolnych
k ∈ Z)
a1 , a2 ∈ A
byªo
albo
a(2k) ∈ A
[a1 ] = [a2 ],
oraz
a(2k+1) ∈ B.
albo ªa«cuchy
[a1 ] i [a2 ]
s¡ rozª¡czne (nie
maj¡ »adnego wspólnego elementu).
W praw¡ stron¦ ªa«cuch jest zawsze niesko«czony. Je±li jest tak»e niesko«czony w stron¦ lew¡ (czyli
dla ka»dego
Je±li
k:
k : a(2k) ∈ g(B)
oraz
a(2k+1) ∈ f (A)),
to b¦dziemy mówili, »e ªa«cuch
(a) jest sko«czony w lew¡ stron¦ i urywa si¦ na
̸∈ g(B)) to b¦dziemy mówili, »e a ma praprzodka
a(2k)
Wreszcie, je±li ªa«cuch
w
A
i ªa«cuch
[a]
A
jest typu I.
(czyli dla pewnego
jest typu II.
(a) jest sko«czony w lew¡ stron¦ i urywa si¦ na elemencie zbioru B (czyli
̸∈ f (A)) to b¦dziemy mówili, »e a ma praprzodka w B i ªa«cuch [a] jest
a(2k+1)
k :
dla pewnego
elemencie zbioru
[a]
typu III.
h : A → B wzorem

 f (a)
gdy
h(a) =
 g −1 (a)
gdy
Zdeniujmy teraz funkcj¦
ªa«cuch
[a]
jest klasy I lub II,
ªa«cuch
[a]
jest klasy III.
Denicja ta jest poprawna w tym sensie, »e dla ªa«cucha
ªa«cucha)
a ∈ g(B).
[a]
klasy III mamy (z denicji klasy
W oczywisty sposób
∀ a ∈ A : h(a) ∈ [a].
Poka»emy, »e
Niech
h
jest bijekcj¡ zbioru
a1 , a2 ∈ A
i niech
a1 ̸= a2 .
A
Je±li
na zbiór
a1
i
a2
B.
nale»¡ do ró»nych ªa«cuchów, to
h(a1 ) ̸= h(a2 )
gdy»
ró»ne ªa«cuchy s¡ rozª¡czne.
Je±li
bo
f
Je±li
a1 i a2
nale»¡ to tego samego ªa«cucha typu I lub typu II, to
h(a1 ) = f (a1 ) ̸= f (a2 ) = h(a2 ),
jest injekcj¡.
a1
i
a2
nale»¡ to tego samego ªa«cucha typu III, to
h(a1 ) = g −1 (a1 ) ̸= g −1 (a2 ) = h(a2 ),
bo
g
jest funkcj¡.
Pokazali±my, »e
h
jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡.
b ∈ B. Je±li ªa«cuch [g(b)]
B ) to b mam w ªa«cuchu [g(b)]
Niech teraz
jest typu I lub II (czyli nie urywa si¦ w lewo na elemencie
zbioru
poprzednika nale»¡cego do zbioru
∃ a ∈ A : b = f (a) = h(a),
gdzie ostatnia równo±¢ wynika z denicji funkcji
Je±li ªa«cuch
[g(b)]
h.
h):
(
)
(
)
b = g −1 g(b) = h g(b) .
jest klasy III, to (z denicji funkcji
4
A,
Dla dowolnego
b∈B
Niech wreszcie
A ∩ B ̸= ∅. W takiej sytuacji, bior¡c dowolne dwa przedmioty x, y
mamy wi¦c
b ∈ h(A)
funkcja
h
jest wi¦c surjekcj¡.
takie, »e
x ̸= y,
i niech
A′ = A × {x},
Zbiór
A
B ′ = B × {y}.
A (jaka jest
A′ ∩ B ′ = ∅.
jest w oczywisty sposób równoliczny ze zbiorem
′
zbiorami?), zbiór B jest równoliczny ze zbiorem
to funkcja
F
B
oraz
posta¢ bijekcji mi¦dzy tymi
Je±li
f
jest injekcj¡
A → B,
zdeniowana wzorem
∀ a ∈ A : F (⟨a, x⟩) = ⟨f (a), x⟩
jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡
A′ → B ′ .
Podobnie, je±li
g
jest injekcj¡
B → A,
to funkcja
G
zde-
niowana wzorem
∀ b ∈ B : G(⟨b, y⟩) = ⟨g(b), y⟩
jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡
B ′ → A′ .
Powtarzaj¡c dla zbiorów
dowodzimy tezy twierdzenia tak»e w przypadku
A′
i
B′
rozumowanie powy»ej
A ∩ B ̸= ∅.
5