Wykªad 08 (funkcje) Def. 8.2 Wykresem funkcji y = f(x)

Wykªad 08 (funkcje)
Def. 8.1 Niech X i Y
jeden element
y ∈ Y,
b¦d¡ zbiorami. Je±li ka»demu elementowi
f,
f :X→Y
Funkcj¦
przyporz¡dkowano dokªadnie
to takie przyporz¡dkowanie nazywamy funkcj¡ o argumentach w zbiorze
Y.
warto±ciach w zbiorze
warto±ci funkcji
x∈X
Zbiór
X
nazywamy dziedzin¡, za± zbiór
Y
X
i
przeciwdziedzin¡ (lub zbiorem
f.
X
przyporz¡dkowuj¡c¡ elementom zbioru
X
i
Warunek mówi¡cy, »e funkcja
f
lub (gdy zbiory
Y
elementy zbioru
okre±lono wcze±niej)
Y
b¦dziemy oznacza¢ przez
y = f (x).
ka»demu elementowi zbioru
X
przyporz¡dkowuje element zbioru
Y
wygodnie jest zapisa¢ symbolicznie w postaci:
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y : y = f (x).
Warunek, »e element ten jest wyznaczony przez funkcje
f
(8.1)
w sposób jednoznaczny przyjmuje w sym-
bolice logicznej posta¢:
∀ x ∈ X ∀ y1 , y2 ∈ Y :
(f (x) = y1 ) ∧ (f (x) = y2 ) ⇒ (y1 = y2 ).
(8.2)
Interesowa¢ nas b¦d¡ gªównie funkcje, których dziedzina i przeciwdziedzina s¡ zbiorami liczb rzeczywistych
R
lub jego podzbiorami. Przykªadem takiej funkcji jest funkcja liniowa:
f1 : R → R,
y = f1 (x) = 3x + 1,
lub funkcja kwadratowa:
y = f2 (x) = x2 .
f2 : R → R,
Funkcja
f
jest okre±lona (z denicji) dla wszystkich elementów swojej dziedziny, nie musi jednak
przyjmowa¢ (osi¡ga¢) wszystkich warto±ci z przeciwdziedziny. Dla przykªadu: zdeniowana powy»ej funkcja kwadratowa
Def. 8.2
(x, y)
f2
przyjmuje warto±ci jedynie w zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych.
y = f (x)
(x, f (x)).
Wykresem funkcji
o wspóªrz¦dnych
y = f (x))
(lub krzyw¡
nazywamy zbiór punktów pªaszczyzny
Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta, funkcji kwadratowej parabola.
Def. 8.3
Funkcj¦
f :X→Y
•
rosn¡c¡, je±li
•
niemalej¡c¡, je±li
•
malej¡c¡, je±li
•
nierosn¡c¡, je±li
nazywamy
∀x1 , x2 ∈ X : (x1 < x2 ) ⇒
f (x1 ) < f (x2 ) ,
∀x1 , x2 ∈ X : (x1 < x2 ) ⇒
f (x1 ) 6 f (x2 ) ,
f (x1 ) > f (x2 ) ,
∀x1 , x2 ∈ X : (x1 < x2 ) ⇒
∀x1 , x2 ∈ X : (x1 < x2 ) ⇒
1
f (x1 ) > f (x2 ) .
Jako przykªad funkcji rosn¡cej mo»e sªu»y¢ funkcja
f (x) = x3 ,
jako przykªad funkcji malej¡cej
f (x) = −x, jako przykªad funkcji niemalej¡cej mo»e sªu»y¢ funkcja f (x) = [x] cz¦±¢
caªkowita liczby x, zdeniowana jako najwi¦ksza z liczb caªkowitych m speªniaj¡cych nierówno±¢
m 6 x (n.p. [ 12 ] = 0, [− 21 ] = −1, [π] = 3).
funkcja
Wszystkie typy funkcji opisanych w denicji 8.1. obejmujemy wspóln¡ nazw¡ funkcji monotonicznych.
Cz¦sto spotykamy tak»e funkcj¦ przedziaªami monotoniczne. Na przykªad: funkcja
f : R → R, f (x) = x2 ,
jest malej¡ca na przedziale
(−∞, 0]
i rosn¡ca na przedziale
[0, ∞),
funkcja
1
f : [0, 2] → R, f (x) = x dla 0 6 x < 1, f (1) = , f (x) = 1 − x dla 1 < x 6 2,
2
jest rosn¡ca na przedziale
[0, 1]
i malej¡ca na przedziale
[1, 2],
wreszcie funkcja
f : R → R, f (x) = [x],
jest staªa na ka»dym przedziale postaci
Def. 8.4
je±li
[m, m + 1) m ∈ Z.
f : X → Y nazywamy
∀ x ∈ X : f (−x) = −f (x).
Niech
Funkcj¦
f : X→Y
Def. 8.5
i
Funkcj¦
g: Y →Z
parzyst¡, je±li
∀ x ∈ X : f (−x) = f (x)
b¦d¡ funkcjami.
g ◦ f : X → Z,
okre±lon¡ relacj¡:
∀ x ∈ X : (g ◦ f )(x) = g f (x)
nazywamy zªo»eniem funkcji
f
oraz nieparzyst¡,
i
g.
Zauwa»my, »e przy skªadaniu funkcji najpierw dziaªa funkcja znajduj¡ca si¦ w napisie
prawej strony. Na przykªad, dla
X = Y = Z = R, f (x) = x + 1, g(y) = 2y
(g ◦ f )(x) = g f (x) = g(x + 1) = 2x + 2,
g◦f
z
mamy
(f ◦ g)(x) = f g(x) = f (2x) = 2x + 1.
Funkcje rosn¡ce i malej¡ce maj¡ wa»n¡ wspóln¡ cech¦: s¡ funkcjami ró»nowarto±ciowymi.
Def. 8.6
Funkcj¦
f : X → Y
nazywamy ró»nowarto±ciow¡ (lub injekcj¡), je±li jej warto±ci dla
ró»nych argumentów s¡ ró»ne lub, równowa»nie, równo±¢ warto±ci funkcji implikuje równo±¢ jej
argumentów:
f (x1 ) = f (x2 )
⇒ (x1 = x2 ).
Je±li dodatkowo wszystkie warto±ci przeciwdziedziny s¡ osi¡gane przez funkcj¦
ka»dego
y∈Y
Def. 8.7
x ∈ X,
»e
y = f (x),
to
f
f,
to znaczy dla
nazywamy bijekcj¡.
f : X → Y b¦dzie funkcj¡. Funkcj¦ (nie zawsze istniej¡c¡!) g : Y → X tak¡,
x ∈ X mamy g f (x) = x, nazywamy funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji f i oznaczamy
Niech
»e dla ka»dego
symbolem
istnieje taka warto±¢
(8.3)
f −1 .
2
Tw. 8.1
Je±li
f :X→Y
jest bijekcj¡, to istnieje funkcja odwrotna do
f.
Dowód.
Z denicji bijekcji wiemy, »e dla ka»dego
mo»emy wi¦c zdeniowa¢ obiekt
g
y∈Y
istnieje taki
x ∈ X,
»e
y = f (x).
Dla ka»dego
y∈Y
relacj¡:
x = g(y) ⇔
y = f (x) .
(8.4)
Korzystaj¡c z denicji (8.4) a nast¦pnie z wyra»onej równaniem (8.3) ró»nowarto±ciowo±ci funkcji
f
mamy
(8.4)
x1 = g(y) ⇒
(8.4)
x2 = g(y) ⇒
y = f (x1 )
y = f (x2 )



⇒
f (x1 ) = f (x2 )
(8.3)
⇒ (x1 = x2 ).


y ∈ Y implikacja
(x1 = g(y)) ∧ (x2 = g(y)) ⇒ x1 = x2
Na mocy równania (8.2), prawdziwa dla wszystkich
oznacza, »e
g : Y →X
x,
jest funkcj¡. Wreszcie, dla dowolnego
je±li oznaczymy
y = f (x)
to na
mocy (8.4) mamy
(8.4)
g f (x) = g(y) = x
czyli
g = f −1 .
Przykªady:
•
Dla
a 6= 0
funkcja liniowa
f : R → R, f (x) = ax + b
jest bijekcj¡. Jak wynika z dowodu
twierdzenia 8.1 posta¢ funkcji odwrotnej otrzymamy rozwi¡zuj¡c równanie
ze wzgl¦du na
x,
co daje
x = f −1 (y) =
•
y = f (x) = ax + b
y−b
.
a
f : R → R, f (x) = x2 stanie si¦ ró»nowarto±ciowa, je±li zaw¦zimy (obetniemy)
dziedzin¦ albo do zbioru R> = (R+ ∪ {0}) , albo do zbioru R6 = (R− ∪ {0}) . Ponadto:
Funkcja
jej
f (R> ) = f (R6 ) = R> .
Zaw¦»aj¡c dziedzin¦ funkcji
f
oraz ograniczaj¡c zbiór jej warto±ci mo»emy wi¦c zdeniowa¢
dwie funkcje b¦d¡ce bijekcjami:
f1 : R> → R> , f1 (x) = x2 ,
oraz
f2 : R6 → R> , f2 (x) = x2 .
√
2
y; rozwi¡zuj¡c to równanie dla x 6 0
Rozwi¡zuj¡c dla x > 0 równanie y = x dostajemy x =
√
dostajemy x = − y. Mamy wi¦c
f1−1 : R> → R> , f1−1 (y) =
3
√
y,
oraz
√
f2−1 : R> → R6 , f2−1 (y) = − y.
Wykres funkcji
y = f −1 (x)
uzyskujemy poprzez odbicie wykresu funkcji
y = f (x)
wzgl¦dem osi
y = x.
Funkcje elementarne
Podamy teraz kilka typów funkcji elementarnych.
•
Najprostsz¡, wspomnian¡ ju» funkcj¡ elementarn¡ jest funkcja liniowa
gdzie
•
a0 , a1 ∈ R (a1 6= 0)
Wielomian
n−tego
f : R → R, f (x) = a0 + a1 x,
s¡ staªymi liczbami.
stopnia to funkcja postaci
f : R → R, f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn ,
gdzie
a0 , a1 , . . . an ∈ R
s¡ staªymi liczbami, przy czym
an 6= 0.
Szczególnymi przypadkami
wielomianu s¡: wielomian stopnia pierwszego (funkcja liniowa) i stopnia zerowego (staªa).
•
P
Je±li
i
Q
s¡ wielomianami, to funkcj¦ postaci
R : (R \ ΣQ ) → R, R(x) =
gdzie
•
ΣQ
jest zbiorem miejsc zerowych wielomianu
nazywamy funkcj¡ wymiern¡.
Szczególnym przypadkiem wielomianu jest funkcja pot¦gowa o naturalnym wykªadniku,
xm , m ∈ N.
•
Q,
P (x)
,
Q(x)
Je±li
Szczególnym przypadkiem funkcji wymiernej jest
f (x) =
= x−m .
k jest liczb¡ nieparzyst¡, to funkcj¡ odwrotn¡ do funkcji pot¦gowej f : R → R, f (x) = xk
jest funkcja
f −1 : R → R, f −1 (x) =
Je±li
f (x) =
1
xm
k
√
k
1
x ≡ xk .
jest liczb¡ parzyst¡ (poza zerem!), to aby uzyska¢ funkcje odwrotn¡ do
musimy zaw¦zi¢ jej dziedzin¦ albo do zbioru
f (x) = xk
R> , albo do zbioru R6 . Funkcja staªa (a tak¡ jest
funkcja pot¦gowa o wykªadniku równym zero) nie posiada funkcji odwrotnej.
•
Korzystaj¡c poprzednich dwóch punktów mo»emy zdeniowa¢ funkcj¦ pot¦gow¡ o dowolnym,
wymiernym wykªadniku. Istotnie, niech
p=
m
n,
m ∈ Z, n ∈ N \ {0}.
f : R+ → R+ , f (x) = xp =
jest dobrze zdeniowan¡ funkcj¡.
4
√
√ m
n
xm = n x
Wówczas
•
x
Niech teraz
b¦dzie ustalon¡ liczb¡ rzeczywist¡. Mo»e by¢ w szczegóªno±ci niewymierne.
(rn )
Istnieje wówczas taki ci¡g liczb wymiernych
liczby
x),
(na przykªad ci¡g przybli»e« dziesi¦tnych
»e
x = lim rn
n→∞
Deniujemy w tym przypadku funkcj¦ wykªadnicz¡ (o wykªadniku wymiernym lub niewymiernym)
ax = lim arn
n→∞
dla
a > 0.
Mo»na pokaza¢, »e granica po prawej stronie nie zale»y od tego, jaki ci¡g (zbie»ny do
x)
wybrali±my do jej obliczenia. Funkcj¦
f : R → R+ , f (x) = ax
nazywamy funkcj¡ wykªadnicz¡ o podstawie
•
a.
Relacja
y = loga x ⇔ x = ay .
deniuje funkcj¦ odwrotn¡ do funkcji wykªadniczej: funkcj¦ logarytmiczn¡ (lub po prostu logarytm) o podstawie równej
dodatnich (zbiór
a.
Dziedzin¡ funkcji logarytmicznej jest zbiór liczb rzeczywistych
R+ ).
Szczególnym przypadkiem funkcji wykªadniczej jest funkcja exponencjalna,
exp(x)
czyli
exp(x) ≡
gdzie
e
jest liczb¡
e ≈ 2.718; patrz wykªad 5). Inne oznaczenie
Eulera (inna nazwa: podstawa logarytmów naturalnych;
funkcji exponencjalnej to
ex ,
ex .
Alternatywna (ale w peªni równowa»na poprzedniej) denicja funkcji exponencjalnej jest nast¦puj¡ca. Mianowicie exp jest zdeniowana szeregiem
ex =
∞
X
xn
n=0
Oznaczaj¡c
an =
xn
n! mamy
n!
.
(8.5)
|x|
|an+1 |
= lim
= 0.
n→∞ |an |
n→∞ n + 1
lim
Na mocy kryterium d'Alemberta szereg (8.5) jest wi¦c bezwzgl¦dnie zbie»ny (a wi¦c tak»e zbie»ny)
x; wzór (8.5) deniuje wi¦c funkcj¦ eksponencjaln¡ dla ka»dego x ∈ R.
Zbiorem warto±ci funkcji eksponencjalnej jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich R+ . (Uwaga:
x
równowa»no±¢ obu denicji tzn. szeregu (8.5) z funkcj¡ wykªadnicz¡ e wyka»emy nieco pó¹niej).
dla dowolnego rzeczywistego
Wracaj¡c do naszego szeregu (8.5) na mocy wzoru Cauchy'ego na iloczyn szeregów bezwzgl¦dnie
zbie»nych mamy
∞
∞
∞
X
xn X y n X
·
=
cn
n!
n!
n=0
n=0
5
n=0
gdzie
yn
x
y n−1
xk y n−k
xn
+ ·
+ ... +
+ ... +
·1 =
n!
1! (n − 1)!
k! (n − k)!
n!
(x + y)n
1 n 0 n n 1 n−1
n k n−k
n n 0
=
.
x y +
x y
+ ... +
x y
+ ... +
x y
0
1
k
n
n!
n!
cn = 1 ·
=
Ostatnia równo±¢ jest konsekwencj¡ wzoru dwumiennego Newtona, wykazanego przez nas w trakcie
pierwszego wykªadu. Otrzymali±my wi¦c bardzo wa»n¡ to»samo±¢ dla funkcji wykªadniczej:
ex ey
=
ex+y .
(8.6)
Kolejnymi funkcjami elementarnymi, które teraz omówimy, s¡ funkcje trygonometryczne. Niech
x
b¦dzie k¡tem wyra»onym w radianach. Wówczas:
∞
X
(−1)n x2n+1
sin x =
n=0
(2n + 1)!
∞
X
(−1)n x2n
cos x =
n=0
(2n)!
= x−
= 1−
x3 x5
+
− ...,
3!
5!
(8.7)
x2 x4
+
− ....
2!
4!
(8.8)
Prosz¦ potraktowa¢ jako ¢wiczenie dowód faktu, »e oba szeregi powy»ej s¡ bezwzgl¦dnie zbie»ne dla
wszystkich
Funkcja
x ∈ R.
sin x
jest ró»nowarto±ciowa dla argumentów
x
ró»nowarto±ciowa (osobno) na ka»dym z przedziaªów postaci
w ka»dym z tych przedziaªów przebiegaj¡ przedziaª
[− π2 , π2 ]. Bardziej ogólnie: jest
[− π2 + πk, π2 + πk], k ∈ Z; jej warto±ci
w przedziale
[−1, 1].
Na ka»dym z tych przedziaªów istnieje
wi¦c funkcja odwrotna do funkcji sinus, oznaczana symbolem
arcsin x. Zwykle odwracamy
funkcj¦
sin x dla x ∈ [− π2 , π2 ]. Wówczas (funkcja odwrotna do sinusa oznaczana jako) arcsin x jest funkcj¡ o
π π
argumencie x ∈ [−1, 1] i zbiorze warto±ci [− , ]. Poni»ej podamy kilka konkretnych warto±ci dla
2 2
arcsin. Poniewa»
sin(−π) = −1,
sin(− π3 ) =
√
3
2 ,
sin(0) = 0,
sin( π6 ) = 21 ,
sin( π4 ) =
√
2
2
i
sin(−x) = − sin x
wi¦c
arcsin(−1) = − π2 ,
√
arcsin(−
3
2 )
= − π3 ,
arcsin(0) = 0,
i
arcsin(−x) = − arcsin x.
6
arcsin( 12 ) = π6 ,
√
arcsin(
2
2 )
=
π
4
cos x jest ró»nowarto±ciowa na ka»dym z przedziaªów postaci [πk, π + πk], k ∈ Z;
jej warto±ci w ka»dym z tych przedziaªów przebiegaj¡ przedziaª [−1, 1]. Na ka»dym z tych przedziaªów istnieje wi¦c funkcja odwrotna do funkcji cosinus, oznaczana symbolem arccos x. Zwykle
odwracamy funkcj¦ cos x dla x ∈ [0, π]. Wówczas arccos x jest funkcj¡ o argumencie x ∈ [−1, 1] i
zbiorze warto±ci [0, π]. W szczególno±ci, poniewa»
Podobnie, funkcja
cos(0) = 1,
cos( π6 ) =
√
3
2 ,
cos( π4 ) =
√
2
2 ,
cos( π2 ) = 0,
1
cos( 2π
3 ) = −2,
i
cos(π − x) = − cos x
wi¦c
√
arccos(1) = 0,
arccos(
3
2 )
= π6 ,
√
arccos(
2
2 )
= π4 ,
arccos(0) = π2 ,
i
arccos(−x) = π − arccos x.
7
arccos(− 12 ) =
2π
3 .