Funkcje

Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 8
Funkcje
Zacznijmy od przypomnienia denicji funkcji, podanej na wykªadzie 6:
Def. 6.5 O relacji f ⊂ X × Y
1)
2)
mówimy, »e jest funkcj¡, gdy
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y : ⟨x, y⟩ ∈ f,
(
∀ x ∈ X ∀ y, y ′ ∈ Y : (⟨x, y⟩ ∈ f ) ∧ (⟨x, y ′ ⟩ ∈ f ) ⇒ (y = y ′ ).
Ujmuj¡c to sªownie: funkcj¡ nazywamy tak¡ relacj¦, okre±lon¡ na iloczynie kartezja«skim zbiorów
i
Y,
X
y ∈ Y.
»e nale»y do niej ka»dy element zbioru
jeden b¦d¡cy z nim w relacji element
Cz¦±ciej zamiast
⟨x, y⟩ ∈ f
b¦dziemy pisa¢
(dziedziny) i dla ustalonego
y = f (x)
za± zamiast
y ∈ X,
f ⊂ X ×Y
X
istnieje dokªadnie
b¦dziemy stosowa¢
oznaczenie
f : X → Y.
Niech
f : X→Y
b¦dzie funkcj¡ i niech
A ⊂ X.
Def. 8.1 Zbiór f (A) ⊂ Y, zdeniowany relacj¡:
(
)
(
)
y ∈ f (A) ⇔ ∃ x ∈ X : (x ∈ A) ∧ (y = f (x))
nazywamy obrazem zbioru
A
wzgl¦dem funkcji
chodzi, po prostu obrazem zbioru
f
lub, gdy z kontekstu jasnym jest o jaka funkcj¦
A.
Przykªad 8.1. Niech X = N, Y = {0, 1} i niech
f (n) =

 0,
gdy
n
jest liczb¡ parzysta,
 1,
gdy
n
jest liczb¡ nieparzysta.
A = {2, 6, 220}, to f (A) = {0}.
Podobnie, obrazem dowolnego podzbioru zbioru liczb nieparzystych jest zbiór {1}. Wreszcie, je±li A
zwiera zarówno liczby parzyste, jak i nieparzyste (n.p. A = {1, 4}), to f (A) = {0, 1} = Y.
Je±li
A
jest podzbiorem zbioru liczb parzystych (na przykªad
Tw. 8.1
zbiorów
Dla dowolnej funkcji
A1 i A2
wzgl¦dem
f
f
i dowolnych podzbiorów jej dziedziny
A1 , A2 ⊂ X
obraz sumy
równy jest sumie obrazów tych zbiorów,
f (A1 ∪ A2 ) = f (A1 ) ∪ f (A2 ).
Dowód
Niech
Je±li
y ∈ f (A1 ∪ A2 ).
x ∈ A1 ,
Wówczas, na mocy denicji 8.1
to (z denicji
∃ x ∈ X : x ∈ A1 ∪ A2 ∧ y = f (x).
f (A1 )) y = f (x) ∈ f (A1 ) ⇒ y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
1
Je±li
x ∈ A2 ,
to (z denicji
Pokazali±my, »e
Niech teraz
Je±li
(
f (A1 ∪ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
y ⊂ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
y ∈ f (A1 )
to (z denicji
f (A1 ))
)
(
)
∃ x ∈ X : x ∈ A1 ∧ y = f (x) ⇒ ∃ x ∈ X : x ∈ A1 ∪ A2 ∧ y = f (x) ⇒ y ∈ f (A1 ∪ A2 ).
Podobnie, je»eli
(
f (A2 )) y = f (x) ∈ f (A2 ) ⇒ y ∈ f (A1 ) ∪ f (A2 ).
y ∈ f (A2 )
to (z denicji
f (A2 ))
)
(
)
∃ x ∈ X : x ∈ A2 ∧ y = f (x) ⇒ ∃ x ∈ X : x ∈ A1 ∪ A2 ∧ y = f (x) ⇒ y ∈ f (A1 ∪ A2 ).
Pokazali±my, »e tak»e
f (A1 ) ∪ f (A2 ) ⊂ f (A1 ∪ A2 ),
co ko«czy dowód.
Twierdzenie 8.1 jest szczególnym przypadkiem twierdzenie obowi¡zuj¡cego dla dowolnej indeksowanej rodziny podzbiorów zbioru
Tw. 8.2 Niech f : X → Y
X.
X:
b¦dzie funkcj¡ i niech
Wówczas
f
(∪
(
)
At
=
t∈T
At )t∈T
b¦dzie indeksowan¡ rodzin¡ podzbiorów
∪ ( )
f At .
t∈T
Dowód.
y∈Y :
) (1)
(
∪ )
(2)
At
⇔ ∃x ∈ X : x ∈
At ∧ (y = f (x)) ⇔ ∃ x ∈ X ∃ t ∈ T : (x ∈ At ) ∧ y = f (x)
Dla ka»dego
y∈f
(∪
t∈T
t∈T
∪ ( )
( ) (5)
(4)
⇔ ∃ t ∈ T ∃ x ∈ X : (x ∈ At ) ∧ y = f (x) ⇔ ∃ t ∈ T : y ∈ f At ⇔ y ∈
f At .
(3)
t∈T
Równowa»no±ci (1) i (4) wynikaj¡ z denicji obrazu zbioru, równowa»no±ci (2) i (5) z denicji
sumy indeksowanej rodziny zbiorów, za± równowa»no±¢ (3) wyra»a prawo przemienno±ci dwóch
kwantykatorów dla ka»dego.
W przypadku, gdy zapytamy o obraz cz¦±ci wspólnej rodziny zbiorów, sytuacja nie jest ju» tak
symetryczna zamiast równo±ci mamy inkluzj¦.
Tw. 8.3 Niech f : X → Y
X.
b¦dzie funkcj¡ i niech
Wówczas
f
(∩
)
At
⊂
t∈T
W szczególno±ci, je±li
T = {1, 2},
(
At )t∈T
b¦dzie indeksowan¡ rodzin¡ podzbiorów
∩ ( )
f At .
t∈T
teza twierdzenia 8.3 przyjmuje posta¢:
f (A1 ∩ A2 ) ⊂ f (A1 ) ∩ f (A2 ).
2
Dowód
y∈Y :
( ∩ ) (1)
(
∩ )
(2)
y∈f
At
⇔ ∃x ∈ X : x ∈
At ∧ (y = f (x)) ⇔ ∃ x ∈ X ∀ t ∈ T : (x ∈ At ) ∧ y = f (x)
Dla ka»dego
t∈T
t∈T
∩ ( )
( ) (5)
(4)
⇒ ∀ t ∈ T ∃ x ∈ X : (x ∈ At ) ∧ y = f (x) ⇔ ∀ t ∈ T : y ∈ f At ⇔ y ∈
f At .
(3)
t∈T
x jest uniwerzale»no±¢ x od t.
Implikacji w punkcie (3) nie mo»na zamieni¢ na równowa»no±¢: w jej poprzedniku
salny (niezale»ny od
t),
za± zdanie po prawej stronie implikacji dopuszcza
Zilustrujemy to podaj¡c jawny przykªad. Niech
{1, 2}, A2 = {2, 3}.
f
b¦dzie funkcj¡ z przykªadu 8.1 i niech
A1 =
Wówczas:
A1 ∩ A2 = {2} ⇒ f (A1 ∩ A2 ) = {0}.
Z drugiej strony
f (A1 ) = f (A2 ) = {0, 1} ⇒ f (A1 ) ∩ f (A2 ) = {0, 1}.
Podany przykªad pokazuje, »e w ogólnym przypadku
Niech teraz
B⊂Y
f (A1 ) ∩ f (A2 ) ̸⊂ f (A1 ∩ A2 ).
b¦dzie podzbiorem przeciwdziedziny funkcji
Def. 8.2 Przeciwobrazem
zbioru
B
wzgl¦dem funkcji
f
f : X → Y.
nazywamy zbiór
f −1 (B) ⊂ X
taki, »e
x ∈ f −1 (B) ⇔ f (x) ∈ B.
Niech
f
b¦dzie funkcj¡ z przykªadu 8.1. Wówczas przeciwobrazem zbioru
{0}
jest zbiór parzystych
2N, przeciwobrazem zbioru {1} jest zbiór nieparzystych liczb naturalnych 2N − 1,
= N.
( )
Bt t∈T b¦dzie indeksowan¡ rodzin¡ podzbiorów Y. Zachodzi
liczb naturalnych
−1 ({0, 1})
za± f
Tw. 8.4 Niech
f −1
(∪
)
Bt
=
t∈T
oraz
f −1
(∩
∪
( )
f −1 Bt
t∈T
)
Bt
=
t∈T
∩
( )
f −1 Bt .
t∈T
Dowód
x ∈ f −1
(∪
)
Bt
⇔ f (x) ∈
t∈T
⇔ x∈
∪
∪
( )
Bt ⇔ ∃ t ∈ T : f (x) ∈ Bt ⇔ ∃ t ∈ T : x ∈ f −1 Bt
t∈T
( )
f −1 Bt
t∈T
3
i podobnie
x ∈ f −1
(∩
)
⇔ f (x) ∈
Bt
t∈T
⇔ x∈
∩
∩
( )
Bt ⇔ ∀ t ∈ T : f (x) ∈ Bt ⇔ ∀ t ∈ T : x ∈ f −1 Bt
t∈T
( )
f −1 Bt .
t∈T
Prosz¦ zwróci¢ uwag¦ na fakt, »e w obu przypadkach (zarówno sumy, jak i iloczynu rodziny zbiorów)
mamy tutaj równo±¢ (a nie wyª¡cznie jednostronn¡ inkluzj¦).
W±ród funkcji b¦d¡ nas interesowa¢ gªównie takie, które dla ró»nych warto±ci argumentu maj¡ ró»ne
warto±ci.
Def. 8.3 Funkcj¦ f : X → Y
nazywamy injekcj¡ lub funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡, je±li
∀ x1 , x2 ∈ X :
lub, równowa»nie
(
)
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ (x1 = x2 )
(
)
∀ x1 , x2 ∈ X : (x1 ̸= x2 ) ⇒ f (x1 ) ̸= f (x2 ) .
Przykªad 8.2 Niech X = Z (tym symbolem oznaczmy zbiór liczb caªkowitych), Y = N i niech
g(n) =
Funkcja
g(n)

 −2n − 1
gdy n < 0,

gdy n > 0
2n
jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡.
Zauwa»my, »e (inaczej ni» dla funkcji z przykªadu 8.1) niepusty przeciwobraz zbioru jednoelementowego wzgl¦dem funkcji ró»nowarto±ciowej jest zawsze jednoelementowy. Niech nowiem dla funkcji
f :X→Y
mamy
y ∈ f (X).
Wówczas
(y = f (x1 ) ∧ y = f (x2 )) ⇒ (f (x1 ) = f (x2 )) ⇒ x1 = x2
z denicji 8.3. Je±li wi¦c
x ∈ f −1 ({y}
{y},
to ma sens zde-
b¦dzie funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡. Deniujemy relacj¦
f −1 ⊂ f (X) × X
jest elementem przeciwobrazu zbioru
niowanie funkcji, przyporz¡dkowuj¡cej
Def. 8.4 Niech f : X → Y
y ∈ f (X)
elementu
x ∈ X.
zwi¡zkiem
⟨y, x⟩ ∈ f −1 ⇔ f (x) = y.
Tw. 8.5
Relacja
przeciwdziedzinie
f −1
X.
zdeniowana powy»ej, jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡ o dziedzinie
f (X)
i
Dowód
Poka»emy najpierw, »e
ka»dego
y ∈ f (X).
f −1
jest funkcj¡. Z denicji
Dalej, z denicji 8.4
⟨y, x1 ⟩ ∈ f −1 ⇒ f (x1 ) = y
⟨y, x2 ⟩ ∈ f −1 ⇒ f (x2 ) = y
f (x)
dostajemy, »e
f −1
jest zdeniowana dla
}
⇒ f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 ,
4
gdzie ostatnia implikacja wynika z ró»nowarto±ciowo±ci
x
wyznacza
f.
Pokazali±my wi¦c, »e zadanie warto±ci
y
−1 jest funkcj¡, uprawniony jest wi¦c zapis
w sposób jednoznaczny, czyli f
x = f −1 (y).
Niech teraz
f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ) = x
Z denicji 8.4:
x = f −1 (y1 ) ⇒ f (x) = y1
x = f −1 (y2 ) ⇒ f (x) = y2
gdzie ostatnia implikacja wynika z faktu, »e
f
}
⇒ y1 = y2 ,
jest funkcj¡ (czyli, zadanie jej argumentu wyznacza
jej warto±¢ w sposób jednoznaczny. Implikacja
(
f −1
pokazuje (denicja 8.3), »e
f −1 (y1 ) = f −1 (y2 )
)
⇒ y1 = y2
jest funkcj¡ ró»nowarto±ciow¡.
Def. 8.5 Niech f : X → Y
funkcj¡ na zbiór
b¦dzie funkcj¡. Je±li
f (X) = Y,
to funkcj¦
f
nazywamy surjekcj¡ (lub
Y ).
Š¡cz¡c t¦ denicj¦ z denicj¡ obrazu zbioru widzimy, »e
f : X →Y
jest surjekcj¡ wtedy i tylko
wtedy, gdy
∀ y ∈ Y ∃ x ∈ X : y = f (x).
Def. 8.6 Bijekcj¡ ze zbioru X
w zbiór
Y
nazywamy funkcj¦ (o dziedzinie
X
i przeciwdziedzinie
Y)
która jest zarówno injekcj¡, jak i surjekcj¡.
Tw. 8.6 Je±li f : X → Y
bijekcj¡ ze zbioru
Y
jest bijekcj¡ ze zbioru
w zbiór
X
w zbiór
Y,
to
f −1
okre±lona w denicji 8.4 jest
X.
Dowód
Funkcja
f
jest z zaªo»enia surjekcj¡, czyli
jest ró»nowarto±ciow¡ funkcj¡ o dziedzinie
Poniewa»
f
jest funkcj¡, wi¦c
f (X) = Y, co w poª¡czeniu
Y i przeciwdziedzinie Y.
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y : f (x) = y.
z Tw. 8.5 pokazuje, »e
St¡d i z denicji
f −1
f −1
dostajemy
∀ x ∈ X ∃ y ∈ Y : y = f −1 (x) ⇒ f −1 (Y ) = X
czyli
f −1
jest surjekcj¡.
Def. 8.7
(lub
IX : X → X tak¡,
identyczno±ci¡) na zbiorze X.
Def. 8.8
wzorem
Funkcj¦
Niech
f : X →Y
i
»e
∀ x ∈ X : IX (x) = x
g: Y →Z
nazywamy funkcj¡ to»samo±ciow¡
b¦d¡ funkcjami. Funkcj¦
(
)
∀ x ∈ X : g ◦ f (x) = g f (x)
5
g ◦ f : X → Z,
zdeniowan¡
nazywamy zªo»eniem funkcji
f
i
g.
y = f (x) = x + 1 i funkcji z = g(y) = y 2 jest funkcja z = g ◦ f (x) =
(x+1)2 ; zªo»eniem funkcji y = f (x) = 2x i funkcji z = g(y) = y+1 jest funkcja z = g◦f (x) = 2x+1.
Na przykªad: zªo»eniem funkcji
Tw. 8.7 Niech f : X → Y
b¦dzie bijekcj¡. Wówczas
f −1 ◦ f = IX
oraz
f ◦ f −1 = IY .
Dowód
Niech
x
oznacza dowolny element zbioru
X
i oznaczmy
x′ = f −1 ◦ f (x).
Mamy
(
) (2) (
) (3)
(1)
x′ = f −1 ◦ f (x) = f −1 f (x) ⇒ f (x′ ) = f (x) ⇒ (x′ = x)
gdzie równo±¢ (1) wynika z denicji 8.8, implikacja (2) z denicji 8.4 (denicji funkcji odwrotnej)
za± (3) z ró»nowarto±ciowo±ci
f.
Uzyskana równo±¢ dowodzi, »e
f −1 ◦ f = IX .
(
)
y oznacza dowolny element zbioru Y i niech y ′ = f ◦f −1 (y) = f f −1 (y) . Z denicji
−1 (y ′ ) = f −1 (y), sk¡d, i z ró»nowarto±ciowo±ci funkcji f −1 wynika równo±¢
8.4 dostajemy st¡d, »e f
y ′ = y dowodz¡ca to»samo±ci f ◦ f −1 = IY .
Podobnie, niech
6