Podstawy Automatyki - Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Podstawy Automatyki
Transmitancyjne schematy blokowe i zasady ich
przekształcania
Materiały pomocnicze do ćwiczeń – termin T7
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Michał Grochowski, dr inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Tomasz Rutkowski, dr inż.
1
Wprowadzenie
Bardzo często do opisu układu automatyki służy schemat blokowy (schemat strukturalny).
Schemat blokowy układu informuje o powiązaniach pomiędzy poszczególnymi blokami
elementu/układu i sygnałami. Schemat blokowy zawiera informacje o dynamicznym
zachowaniu układu, a nie zawiera informacji o właściwościach fizycznych układu. Znajomość
schematu blokowego pomaga w wyznaczeniu opisu matematycznego układu i jego analizie.
Elementy schematu blokowego
Podstawowym elementem schematu blokowego jest blok (Rysunek 1) wewnątrz którego
wpisywany jest pewien operator G(·) opisujący sposób transformacji sygnału wejściowego X
w wyjściowy Y (Rysunek 1) (tzw. transmitancja operatorowa rozważana w dziedzinie
częstotliwości).
X
G(•)
Y
Rysunek 1. Przykładowy schemat blokowy
Rzadziej spotykane jest umieszczanie w tych blokach: równań różniczkowych, odpowiedzi
skokowej dla elementów liniowych lub charakterystyk statycznych dla elementów
nieliniowych (w dziedzinie czasu).
Zmienne w schemacie blokowym powiązane są ze sobą za pomocą bloków funkcjonalnych,
które oznaczają operacje matematyczne wykonywane na sygnałach wejściowych
i wyjściowych.
W dalszej części opracowania, dla uproszczenia zapisu zamiast notacji G(·) będzie stosowany
zapis G.
Strzałki pomiędzy blokami oznaczają kierunek przepływających sygnałów. Zwrot strzałki
w kierunku bloku oznacza wejście, a kierunek strzałki od bloku wskazuje wyjście.
Okrąg na schematach blokowych to węzeł sumacyjny oznaczający algebraiczne sumowanie
sygnałów (Rysunek 2a). Znak „+” lub „–” oznacza odpowiednio, czy sygnał jest dodawany
czy odejmowany. Jeżeli znak nie został naniesiony wykonywane jest dodawanie. Węzeł
sumacyjny może mieć wiele sygnałów wchodzących i jeden sygnał wychodzący.
Węzeł rozgałęźny (zaczepowy, informacyjny) jest punktem, z którego sygnał rozchodzi się
do innych bloków lub węzłów sumacyjnych (Rysunek 2b).
a).
b).
X1
X
X2 – +
+
X3
X
Y
X
X
Węzeł sumacyjny
Węzeł rozgałęźny
Rysunek 2. Przykładowy węzeł sumacyjny i węzeł rozgałęźny
Przykładem elementu spełniającego rolę węzła sumacyjnego jest mieszek sprężysty pokazany
na Rysunku 3.
2
p1
k
A
y
p2
Rysunek 3. Mieszek sprężysty
gdzie:
A – powierzchnia mieszka,
k – współczynnik sprężystości,
p1 – ciśnienie wejściowe,
p2 – ciśnienie wyjściowe,
y – przesunięcie.
Sygnałami wejściowymi są p1 i p2, zaś sygnałem wyjściowym jest y.
Korzystając z Rysunku 3, równanie sił oddziałujących na mieszek sprężysty można opisać
równaniem:
(p
1
− p2 )⋅ A = k ⋅ y
(1)
Zatem, przekształcając powyższe w celu wyznaczenia sygnału wyjściowego otrzymujemy:
y=
A
⋅ ( p1 − p 2 )
k
(2)
Sytuację opisaną zależnością (2) można przedstawić za pomocą schematu pokazanego na
Rysunku 4.
p1
+
p1- p2
A
k
– p
2
y
Rysunek 4. Schemat blokowy mieszka sprężystego
Przykładem elementu spełniającego rolę węzła rozgałęźnego jest zbiornik ciśnieniowy
pokazany na Rysunku 5.
p
p
p
Rysunek 5. Zbiornik ciśnieniowy
gdzie:
p – ciśnienie medium.
3
W zbiorniku ciśnieniowym znajduje się medium o ciśnieniu p, które przepływa rurociągiem
do dalszej części układu. Zakładając, że w całym zbiorniku i wychodzących z niego
przewodach panuje ciśnienie p otrzymamy węzeł rozgałęźny. Sytuację tą można przedstawić
za pomocą schematu pokazanego na Rysunku 6.
p
p
p
Rysunek 6. Schemat blokowy zbiornika ciśnieniowego
Złożone schematy blokowe są często przekształcane do postaci pojedynczego bloku.
W dalszej części opracowania przedstawione zostaną sposoby przekształcania schematów
blokowych.
Zadanie 1
Przekształcić schemat blokowy wykorzystując przekształcenie G(·) układu złożonego z
dwóch elementów połączonych równolegle (Rysunek 7).
G1
X
Y1
+
Y
+
G2
Y2
Rysunek 7. Schemat blokowy układu do Zadania 1
Rozwiązanie Zadania 1
Zależności między wyjściem a wejściem poszczególnych członów wynoszą:
G1 =
G2 =
Y1
(3)
X
Y2
(4)
X
Równanie węzła sumacyjnego jest postaci:
(5)
Y = Y1 + Y 2
Przekształcenie G układu wynosi:
G=
Y
X
(6)
Łącząc zależności (3) – (6) w konsekwencji otrzymujemy:
G=
Y1 + Y 2
X
=
Y1
X
+
Y2
X
4
= G1 + G 2
(7)
Uwaga:
Dla n elementów połączonych równolegle zachodzi:
k
G = G1 + G 2 + K + G n =
∑G
(8)
k
n =1
Zadanie 2
Przekształcić schemat blokowy wykorzystując przekształcenie G(·) układu pokazanego na
Rysunku 8.
X
X2
G1
–
X1
Y
G2
Rysunek 8. Schemat blokowy układu do Zadania 2
Rozwiązanie Zadania 2
Zależności między wyjściem a wejściem poszczególnych członów wynoszą:
G1 ( s ) =
Y
X2
G2 (s) =
(9)
X1
(10)
Y
Ponadto wiadomo, że:
G1 ⋅ G 2 =
Y X1 X1
⋅
=
X2 Y
X2
(11)
Równanie węzła sumacyjnego jest postaci:
⇒
X2 = X − X1
X = X2 + X1
(12)
Przekształcenie G(·) układu wynosi:
G=
Y
X
(13)
Łącząc zależności (9), (10), (12) i (13) uzyskujemy:
G=
Y
X2 + X1
(14)
Dzieląc wyrazy w zależności (14) przez X2 i wykorzystując zależność (11) otrzymujemy:
Y
G=
X2
X2
X2
X
+ 1
=
X2
5
G1
1+ G1 ⋅G 2
(15)
Zadanie 3
Przekształcić schemat blokowy wykorzystując przekształcenie G(·) układu pokazanego na
Rysunku 9.
G2
X
+
G4
–
+
G1
+
Y
G3
Rysunek 9. Schemat blokowy układu do Zadania 3
Rozwiązanie Zadania 3
SPOSÓB I
Po przeniesieniu węzła rozgałęźnego za człon G1 mamy:
1
G1
X
+
G4
–
G2
+
G1
+
Y
G3
Rysunek 9a. Przekształcenie schematu blokowego układu z Zadania 3 – Krok 1
Stosując połączenie szeregowe otrzymamy:
G2
G1
X
+
–
+
G1G4
+
Y
G3
Rysunek 9b. Przekształcenie schematu blokowego układu z Zadania 3 – Krok 2
Stosując połączenie z ujemnym sprzężeniem zwrotnym i połączenie równoległe mamy:
X
G1G 4
1+G1G3G4
1+ G2/G 1
Y
Rysunek 9c. Przekształcenie schematu blokowego układu z Zadania 3 – Krok 3
W konsekwencji mamy:
 G2
G = 1 +

G1


G1 ⋅ G 4
G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4
=
 ⋅
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
 1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
6
(16)
SPOSÓB II
G2
X
+
–
X1
X2
G4
X5
G1
X4
X3 + +
Y
G3
Zgodnie ze schematem mamy:
X1 = X − X5
(17)
X 2 = X 1 ⋅G4
(18)
X 3 = X 2 ⋅ G1
(19)
X 4 = X 2 ⋅G2
(20)
X 5 = X 3 ⋅ G3
(21)
Podstawiając zależności (18) – (21) do wyrażenia (17) uzyskujemy:
X 1 = X − X 3 ⋅ G3
(22)
X 1 = X − X 2 ⋅ G1 ⋅ G 3
(23)
X 1 = X − X 1 ⋅ G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
(24)
X1 = X ⋅
1
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
(25)
Równocześnie mamy:
Y = X3 + X4
(26)
Y = X 2 ⋅ G1 + X 2 ⋅ G 2
(27)
Y = X 2 ⋅ ( G1 + G 2 )
(28)
Y = X 1 ⋅ ( G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4 )
(29)
Podstawiając zależność (25) do wyrażenia (29) ostatecznie uzyskujemy:
Y=X⋅
G=
G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
Y G1 ⋅ G 4 + G 2 ⋅ G 4
=
X
1 + G1 ⋅ G 3 ⋅ G 4
7
(30)
(31)
Zasady przekształcania schematów blokowych
Podstawowe zasady przekształcania schematów blokowych pokazane są w tabeli 1.
Tabela 1. Podstawowe zasady przekształcania schematów blokowych
Nazwa przekształcenia
Połączenie równoległe
Schemat wyjściowy
G1
X
Schemat równoważny
+
Y
X
Y
G 1±G 2
±
G2
Połączenie szeregowe
X
X1
G1
X
Przeniesienie węzła sumacyjnego
z wejścia na wyjście bloku
Przeniesienie węzła sumacyjnego
z wyjścia na wejście bloku
X
Y
G 1G2
X
lub
X
Y
G
X
+
G
Y
±
±
X1
X
+
Y
G
X
Y
±
+
Y
G
±
X1
X1
1/G
X
Y
G
Y
Y
X
X1
G
G
X
G2G1
Y
G1
1 ± G 1G2
G2
+
Przeniesienie węzła rozgałęźnego
z wejścia na wyjście bloku
Przeniesienie węzła rozgałęźnego
z wyjścia na wejście bloku
X
Y
G1
–
+
Eliminowanie pętli sprzężenia
Y
G2
G
Y
G
X
G
X
X
1/G
8
Y
Y