Zapisz jako PDF

Zadanie
Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej
zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja
gładka, funkcja ciągła, funkcja nieciągła, i kilka krzywych nie będących wykresami funkcji) i urządzić
quiz polegający na odgadywaniu, które krzywe są, a które nie są, wykresami funkcji.
Zadanie
Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące
funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Dziedzina.
Miejsca zerowe.
Ekstrema.
Pochodna funkcji w punkcie jako tangens kąta między styczną do wykresu a osią .
Druga pochodna w punkcie jako pochodna pierwszej pochodnej. Druga pochodna jest dodatnia
(ujemna), gdy pierwsza pochodna rośnie (maleje).
Wypukłość i wklęsłość funkcji dla pewnego zakresu argumentu funkcji jako odpowiednia
relacja między wartością rozpatrywanej funkcji i wartością funkcji liniowej przecinającej
wykres badanej funkcji w punktach będących granicami zadanego zakresu argumentu.
Wypukłość i wklęsłość funkcji jest związana także z zachowaniem wykresu funkcji w stosunku
do stycznej do wykresu w danym punkcie. Wykres funkcja wypukłej (wklęsłej) w otoczeniu
zadanego punktu leży powyżej (poniżej) stycznej.
Punkty przegięcia mają tę własność, że wykres funkcji przecina styczną - po jednej stronie
badanego punktu wykres funkcji leży powyżej, a po drugiej stronie poniżej prostej stycznej.
Zadanie
Formalizujemy warunek na wypukłość funkcji. Rysujemy układ współrzędnych oraz wykres jakiejś
funkcji wypukłej i prostą przecinającą ten wykres w dwóch punktach.
Wykres funkcji liniowej
współrzędnych
Tak więc funkcja liniowa
przecina wykres badanej funkcji
i
w dwóch punktach o
. To pozwala nam wyliczyć współczynniki
ma postać
i :
Funkcja
jest wypukła w przedziale
Punkty z przedziału
Taką postać
jeśli
możemy sparametryzować jednym parametrem
podstawiamy do nierówności
z przedziału
:
:
Dla funkcji wypukłej wartość funkcji dla kombinacji liniowej dwóch argumentów jest nie większa niż
odpowiednia kombinacja liniowa wartości funkcji dla każdego z tych argumentów:
Jeśli zamiast nierówności nieostrej mamy w powyższej relacji nierówność ostrą, funkcja jest ściśle
wypukła.
Zadanie
Przypominamy definicje funkcji trygonometrycznych.
podajemy definicje
Przypominamy definicję radianów:
i relację z częściej używanymi w szkole średniej stopniami kątowymi:
stopni, a kąt prosty to
radianów itd.
radianów to 180
Rysujemy wykresy:
Przypominamy, że
funkcja
jest parzysta, a funkcje
,
i
są nieparzyste. Zwracamy uwagę na istnienie
biegunów funkcji
i
.
podajemy wartości dla kilku wybranych argumentów
0 0
1
0
–
1
0
–
0
Znając wartości funkcji trygonometrycznych dla argumentów z przedziału
obliczyć wartości dla dowolnych innych argumentów korzystając ze wzorów
możemy
Wyprowadzamy te wzory (lub część z nich) korzystając z rysunku służącego do definicji funkcji
trygonometrycznych. Zwiększenie argumentu o
odpowiada obrotowi promienia o kąt
prosty (zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Po takim obrocie, wartości bezwzględne
współrzędnych i “zamieniają się miejscami”:
Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy
Przy obrocie o kąt prosty zawsze jedna i tylko jedna współrzędna zmienia znak. Wynika z tego,
że funkcje
i
zamieniają się wartościami bezwzględnymi, obie ze zmianą znaku. W
przypadku funkcji
i
, obie zamieniają się wartościami bezwzględnymi, ale tylko jedna z
nich ze zmianą znaku. W celu sprawdzenia, która “zmienia znak”, musimy pokazać, jak
zmieniają się współrzędne i przy obrocie o kąt
(a nie tylko ich moduły). Można to
zrobić rozpatrując po kolei każdą z ćwiartek układu współrzędnych. Otrzymujemy wynik
co natychmiast daje szukane wzory na funkcje trygonometryczne od argumentów
powiększonych o
. Tłumaczymy, jak te zależności można odczytać z wykresów funkcji.
Podajemy wzory na funkcje trygonometryczne od sumy argumentów i wzór na “jedynkę
trygonometryczną”:
Dla ilustracji wykorzystujemy te wzory do obliczenia
:
Wiadomo, że sinus kątów z pierwszej
ćwiartki układu współrzędnych jest dodatni, więc możemy podać jednoznaczny wynik
Zadanie
Przypominamy funkcje potęgowe.
Szkicujemy wykresy kilku takich funkcji, np.:
Zwracamy uwagę, że styczne do wykresów funkcji
(
).
w punkcie
Funkcja
jest odwrotna do funkcji
, więc wykresy funkcji
wzajemnie symetryczne przy odbiciu względem prostej
.
są poziome (pionowe) dla
i
są
Może trzeba przypomnieć, co to jest funkcja odwrotna:
Trzeba odróżniać funkcję odwrotną od odwrotności wartości funkcji, w ogólności
UWAGA: jest tu pewna, dość powszechna, niekonsekwencja. Jeśli
oznacza wartość funkcji
odwrotnej do dla argumentu równego , to przez
powinniśmy rozumieć raczej złożenie
dwóch funkcji sinus a nie kwadrat wartości zwykłej funkcji sinus dla argumentu równego . Puryści
matematyczni powinni używać
na oznaczenie wartości funkcji odwrotnej. Tak czy inaczej,
warto studentom zwrócić uwagę na ten problem z notacją i umówić się na stosowanie jakiejś
konwencji.
Zadanie
Przypominamy funkcje wykładnicze i logarytmiczne
Szkicujemy wykresy obu funkcji. Zwracamy uwagę, że wykres funkcji odwrotnej otrzymuje się przez
odbicie względem prostej
(w funkcji odwrotnej zmienna niezależna i zależna zamieniają się
rolami).
Obliczamy wartości funkcji logarytmicznych w kilka prostych przypadkach, np.:
Wyprowadzamy wzory:
Przy ich pomocy pokazujemy np.:
Przy okazji warto przypomnieć relację
To może się wydawać bardzo elementarna wiedza, ale niestety wielu absolwentów szkół średnich jej
nie posiada.
Zadanie
Wprowadzamy liczbę . Związki z granicą ciągu
i sumą szeregu
później. Teraz możemy podać np. dwie następujące własności liczby :
Pole powierzchni pod wykresem funkcji
Styczna do wykresu funkcji wykładniczej
, tylko wtedy gdy
.
między
w punkcie
a
pojawią się
jest równe 1.
ma kąt nachylenia równy
Oczywiście należy podać kilka pierwszych liczb rozwinięcia dziesiętnego liczby , podkreślając, że
jest to liczba niewymierna
Zadanie
Wprowadzamy funkcje hiperboliczne. Podajemy definicje
Szkicujemy wykresy
i zwracamy uwagę na (nie)parzystość tych funkcji oraz na bardzo podobne wartości obu funkcji dla
dużych argumentów.
Prezentujemy “jedynkę hiperboliczną”:
Robimy analogiczne obliczenia dla znaku “ ”:
Znajdujemy funkcję odwrotną do funkcji
Wprowadzamy nową zmienną
:
i dostajemy równanie kwadratowe
które rozwiązujemy tradycyjną metodą
Powracamy do zmiennej
Rozwiązanie nie jest jednoznaczne, są dwa możliwe znaki przed pierwiastkiem. Powód jest
następujący: funkcja odwrotna odpowiada zamianie rolami zmiennych i . Na wykresie odpowiada
to odbiciu względem prostej
. Takie odbicie wykresu funkcji
nie jest już wykresem
funkcji. W definicji funkcji odwrotnej,
, musimy się zdecydować na jedną z możliwych
gałęzi. Jest to sprawa konwencji (sytuacja podobna do funkcji pierwiastkowej, która jest funkcją
odwrotną do funkcji kwadratowej - umawiamy się, że pierwiastki liczb dodatnich są dodatnie).
Podobnych problemów nie ma w przypadku funkcji
samodzielnego wykonania w domu.
. Jej obliczenie możemy zadać do
Z wykresu widać, że dwie możliwe gałęzie funkcji
czy to samo wynika z uzyskanych wcześniej wzorów:
różnią się tylko znakiem. Sprawdzamy,
Rzeczywiście, obydwie znalezione przez nas funkcje odwrotne do
różnią się tylko znakiem.
Zadanie
Składanie funkcji.
Dwie funkcje można złożyć na dwa sposoby, różniące się tym, która funkcja jest funkcją wewnętrzną,
a która zewnętrzną. Dyskutujemy dwa przykłady.
,
Wykresy tych funkcji są zupełnie różne i nie ma między nimi tak prostej relacji jak między wykresami
zadanej funkcji i funkcji do niej odwrotnej
Zadanie
Dziedziną tej ostatniej funkcji jest zbiór domknięty
.