TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE
41, s. 299-306, Gliwice 2011
ISSN 1896-771X
TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH
ZMIENNOAMPLITUDOWEGO ROZCIĄGANIA ZE SKRĘCANIEM
Z WARTOŚCIĄ ŚREDNIĄ NAPRĘŻENIA
ADAM NIESŁONY, MICHAŁ BÖHM
Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Wydział Mechaniczny, Politechnika Opolska
e-mail: [email protected], [email protected]
Streszczenie. W pracy poddano analizie wyniki badań zmęczeniowych próbek
wykonanych z żeliwa GGG40 w warunkach proporcjonalnego i
nieproporcjonalnego losowego rozciągania ze skręcaniem z niezerową wartością
średnią naprężenia. W algorytmie wyznaczania trwałości zmęczeniowej
wykorzystano zmodyfikowane kryterium maksymalnego naprężenia normalnego
w płaszczyźnie krytycznej, zliczanie cykli metodą płynącego deszczu, liniową
hipotezę kumulacji uszkodzeń Palmgrena-Minera oraz sześć wybranych modeli
uwzględniających wpływ wartości średniej naprężeń na trwałość. Wskazano,
które modele najlepiej opisują wpływ wartości średniej na trwałość zmęczeniową.
1. WSTĘP
Zjawisko zmęczenia materiału występuje w wielu gałęziach przemysłu ze względu na
powszechne występowanie zmiennych w czasie sił zewnętrznych i wewnętrznych
w konstrukcjach i elementach maszyn. Często zmiennym w czasie obciążeniom towarzyszą
wartości średnie wynikające z m.in. ciężaru własnego konstrukcji, które znacząco wpływają
na proces zmęczenia materiału. Szczególnie interesującym i zarazem trudnym do
modelowania przypadkiem są obciążenia wieloosiowe z wartością średnią naprężenia [1-3],
dla którego nie zdołano dotychczas zaproponować efektywnego i niezawodnego modelu
obliczeniowego.
Głównie ze względu na dostępność, cenę oraz dobre własności wytrzymałościowe żeliwa
należą do jednych z najbardziej popularnych materiałów konstrukcyjnych wykorzystywanych
w budowie maszyn. Na podstawie przeglądu literatury zauważa się jednak, że badania tej
grupy materiałów pod względem wpływu wartości średniej naprężenia na trwałość
zmęczeniową są rzadkością. Dlatego też głównym celem pracy jest przeprowadzenie
weryfikacji opracowanego algorytmu wyznaczania trwałości zmęczeniowej na podstawie
wyników badań eksperymentalnych żeliwa GGG40. Poddano analizie przypadek kombinacji
rozciągania-ściskania ze skręcaniem próbek okrągłych bez karbu z różną wartością średnią
naprężenia. Algorytm obliczeniowy skonstruowano z uwzględnieniem stanu wiedzy z zakresu
wyznaczania trwałości zmęczeniowej żeliw w wieloosiowym losowym stanie naprężenia.
Wykorzystano zmodyfikowane kryterium maksymalnego naprężenia normalnego
w płaszczyźnie krytycznej, procedurę zliczania cykli metodą płynącego deszczu, liniową
hipotezę kumulacji uszkodzeń Palmgrena-Minera oraz sześć wybranych modeli
uwzględniających wpływ wartości średniej naprężenia na trwałość.
300
A. NIESŁONY, M. BÖHM
2. OPIS BADAŃ ZMĘCZENIOWYCH
W niniejszej pracy skorzystano z wyników badań zmęczeniowych przedstawionych po raz
pierwszy w raporcie Instytutu Fraunhofera autorstwa Andreasa Müllera [4]. Praca zawiera
wyniki badań zmęczeniowych realizowanych przy kombinacji rozciągania-ściskania ze
skręcaniem za pomocą maszyny firmy Schenck wyposażonej w dwa hydrauliczne siłowniki
(100 i 25 kN) wraz z odpowiednim układem sterującym (Schenck seria 31). Moment
skręcający przenoszony był na próbkę za pomocą dźwigni. W ten sposób stanowisko
badawcze pozwalało na obciążenie próbki niezależnie rozciąganiem-ściskaniem i skręcaniem.
Próbki wykonano z żeliwa sferoidalnego GGG40. Badania przeprowadzono na próbkach
walcowych z pełnym rdzeniem przedstawionych na rys. 1. Na podstawie badań
mikroskopowych przyjęto izotropię własności materiału. Jego podstawowe parametry
wytrzymałościowe przedstawiono w tabeli 1. Podczas badań zauważono niewielkie
umocnienie cykliczne, które jest zjawiskiem typowym dla tego materiału. Szczegółowe
informacje dotyczące testów zmęczeniowych można znaleźć w pracach [1, 4].
Rys.1. Kształt i wymiary próbek wykorzystanych do badań eksperymentalnych [4]
Re , MPa
322
Rm , MPa
440
Tabela 1. Własności wytrzymałościowe żeliwa GGG40 [4]
A5 , %
Z,%
E , GPa
ν
10,9
10,6
167
0,29
Dla przypadku jednoosiowego rozciągania-ściskania oraz skręcania obciążenia zadawano
za pomocą generowanego cyfrowo przebiegu wzorcowego g(t) o zerowej wartości
oczekiwanej, który odpowiednio przeskalowano w celu uzyskania wymaganych
maksymalnych wartości historii naprężenia normalnego σmax i stycznego τmax i wartości
naprężeń średnich. Dla kombinacji rozciągania-ściskania ze skręcaniem zastosowano
obciążenia proporcjonalne o współczynniku korelacji naprężeń normalnych i stycznych
równym jedności (rσ,τ = 1) oraz obciążenia nieproporcjonalne o współczynniku korelacji
naprężeń bliskim zeru (rσ,τ ≈ 0), Rys. 2. Nieskorelowane przebiegi naprężeń uzyskano za
pomocą modulacji częstotliwościowej amplitud naprężenia normalnego przy zachowaniu
stałych odstępów amplitud przebiegu wzorcowego g(t) momentu skręcającego. Częstotliwość
ekstremów historii rozciągania-ściskania zmieniała się w ten sposób, aby przyrost naprężenia
normalnego między kolejnymi ekstremami w czasie był wartością stałą [1, 4]. Uzyskane
wyniki eksperymentalne przedstawiono na rys. 3.
TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH…
a)
b)
80
301
150
60
100
40
50
20
]
a
P
M
[
τ,
σ
]
a
P
M
[
τ,
σ
0
-20
0
-50
-40
-100
-60
-80
0
0.5
1
1.5
czas t [s]
2
2.5
-150
3
0
0.5
1
1.5
czas t [s]
2
2.5
3
Rys.2. Wycinek przebiegu naprężeń dla (a) obciążenia rozciąganiem-ściskaniem, skręcaniem
i kombinacją rozciągania-ściskania ze skręcaniem dla współczynnika
korelacji rσ,τ = 1 i (b) rσ,τ = 0
a)
b)
400
380
350
skorelowane
nieskorelowane
rozciąganie-ściskanie
skręcanie
360
300
340
]
a
P
M
[
τ,
σ
320
]
a
P
M
[
τ,
σ
300
280
250
260
200
240
220
200
5
10
10
6
10
N [cykle]
7
10
8
150
5
10
10
6
7
10
10
8
N [cykle]
Rys.3. Wyniki badań zmęczeniowych żeliwa GGG40 przy (a) losowym jednoosiowym
rozciąganiu-ściskaniu i skręcaniu oraz (b) przy kombinacji losowego rozciągania-ściskania
ze skręcaniem dla współczynnika korelacji rσ,τ = 1 i rσ,τ = 0
3. ALGORYTM WYZNACZANIA TRWAŁOŚCI ZMĘCZENIOWEJ
Schemat algorytmu oceny trwałości zmęczeniowej w warunkach wieloosiowych obciążeń
losowych z wartością średnią naprężenia przedstawia rys. 4. Generację naprężeń σij(t)
wykonano podobnie jak miało to miejsce podczas testów zmęczeniowych, skalując przebieg
wzorcowy g(t) na odpowiednią wartość. Wyznaczanie oczekiwanego kierunku płaszczyzny
złomu zmęczeniowego realizowano za pomocą metody kumulacji uszkodzeń. Polega ona na
przeszukaniu obszaru możliwych położeń płaszczyzny krytycznej oraz wyboru tej, gdzie
stopień uszkodzenia jest maksymalny. W wyniku tej operacji otrzymuje się nie tylko
położenie oczekiwanej płaszczyzny złomu, lecz również trwałość zmęczeniową [1, 3].
W kolejnym etapie algorytmu przeprowadza się redukcję wieloosiowego stanu naprężenia
do ekwiwalentnego jednoosiowego w sensie zmęczenia materiału. W tym celu zastosowano
kryterium maksymalnego naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej z modyfikacją
polegającą na uwzględnieniu wartości granic zmęczenia wykresów Wöhlera dla rozciąganiaściskania σaf i skręcania τaf w następującej postaci
302
A. NIESŁONY, M. BÖHM
Rys.4. Algorytm wyznaczania trwałości zmęczeniowej
σ eq (t ) = lη2 ⋅ σ xx (t ) + 2lη mη
σ af
⋅ σ xy (t )
τ af
(1)
gdzie: σij(t) – odpowiednie składowe stanu naprężenia, lη, mη - kosinusy kierunkowe wektora
η normalnego do płaszczyzny krytycznej.
W celu zliczania cykli i półcykli z przebiegu losowego zastosowano metodę płynącego
deszczu [3]. Jest to obecnie jedna z najskuteczniejszych metod zliczania cykli i półcykli,
zalecana między innymi przez amerykańskie stowarzyszenie ASTM.
W pracy skupiono szczególną uwagę na weryfikacji modeli dotyczących transformacji
amplitud przebiegu ekwiwalentnego ze względu na wartość średnią. Wybrano pięć propozycji
literaturowych i jeden model opracowany przez autorów niniejszej pracy. Założono, że
przebieg naprężenia poddawany transformacji jest stacjonarny o stałej wartości naprężenia
średniego σm. W pracy [5] wykazano, że dla tego typu przebiegów uwzględnienie średniej
wartości naprężenia może być zrealizowane globalnie. Pozwoliło to na zastosowanie wzoru
na transformację amplitud postaci
σ aiT = σ ai ⋅ K
gdzie: σaiT − amplituda naprężenia transformowana, σai − amplituda naprężenia
wyznaczona z przebiegu ekwiwalentnego algorytmem zliczania cykli, K − współczynnik
uzależniony od przyjętej metody transformacji będący funkcją stałych materiałowych i
naprężenia średniego σm.
(2)
TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH…
303
W niniejszej pracy wykorzystano pięć modeli naprężeniowych: Soderberga (S), Goodmana
(Go), Morrowa (M), Gerbera (Ge) i Kwofiego (K) [2, 5], na podstawie których
wyprowadzono wzory na współczynnik K (tabela 2).
Soderberg (S)
KS =
1
σ
1− m
Re
Tabela 2. Wzory na współczynnik K według wybranych modeli [2, 6]
Goodman (Go) Morrow (M)
Gerber (Ge)
Kwofie (K)
K Go =
1
σ
1− m
Rm
KM =
1
σ
1− m
σ'f
K Ge =
1
⎛σ ⎞
1 − ⎜⎜ m ⎟⎟
⎝ Rm ⎠
2
KK =
1
⎛
σ ⎞
exp⎜⎜ − α ⋅ m ⎟⎟
Rm ⎠
⎝
Re – granica plastyczności,
Rm – wytrzymałość na rozciąganie,
σ’f – współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej,
α – współczynnik wrażliwości materiału na wartość średnią [6].
Wykorzystano także model opracowany przez autorów pracy. Wykorzystuje on zmęczeniowe
parametry materiałowe uzyskane dla dwóch stanów granicznych: rozciągania-ściskania o
współczynniku asymetrii cyklu R = −1 oraz jednostronnego rozciągania przy R = 0. Parametry
te odczytuje się z odpowiednich wykresów Wöhlera sporządzanych dla próbek
laboratoryjnych. Założono, że pośredni stan wytężenia materiału pomiędzy stanami
granicznymi można opisać zależnością liniową. Na rys. 5 przedstawiono ideę tegoż modelu.
σ
σ
Wykres Wöhlera R=-1
A: (0, σaT = σaf,
σaf, R=-
D B: (σm, σa)
σa
σaf, R=0
C: (σaf, R=0, σa)
F
Wykres Wöhlera R=0
0
Nf =
Nf
σm = σaf, R=0
σ
Rys.5. Ilustracja dotycząca wyprowadzenia wzoru na współczynnik KNB
Z podobieństwa trójkątów ACF i ABD wynika
σ af ,R=−1 − σ af , R=0 σ aT − σ a
,
=
σ af ,R=0
σm
(3)
czyli
σ aT = σ a + (σ afR=−1 − σ afR=0 )
σm
.
σ af , R=0
Dla wykresu Wöhlera dla cykli od zerowo tętniących (R = 0) zachowana jest równość
(4)
304
A. NIESŁONY, M. BÖHM
σa
= 1.
σ af , R=0
(5)
Na podstawie (4) i (5) otrzymuje się wzór na współczynnik KNB
K NB = 1 + (σ af ,R=−1 − σ af ,R=0 )
(σ
σm
)
2
af ,R =0
(6)
,
gdzie: σaf,R=-1 i σaf,R=0 są amplitudami wyznaczonymi z wykresów Wöhlera dla rozciągania
o wartości współczynników asymetrii cyklu odpowiednio R = −1 i R = 0.
W procesie kumulacji uszkodzeń skorzystano z liniowej hipotezy Palmgrena-Minera
⎧ j
ni
⎪∑
⎪ i=1 ⎛ σ af
S ( N ) = ⎨ N 0 ⎜⎜
⎝ σ aiT
⎪
⎪
0
⎩
⎞
⎟⎟
⎠
m
dla σ aiT ≥ aPM ⋅ σ af
,
(7)
dla σ aiT < aPM ⋅ σ af
gdzie: S(N) - stopień uszkodzenia dla liczby cykli N, aPM - współczynnik pozwalający na
uwzględnianie amplitud poniżej σaf, m - współczynnik nachylenia krzywej Wöhlera dla
rozciągania-ściskania, ni - liczba cykli naprężeń o amplitudzie σaiT, N0 - liczba cykli
odpowiadająca granicy zmęczenia σaf.
Ostatnim etapem algorytmu jest obliczenie trwałości zmęczeniowej. Jest to możliwe po
wyznaczeniu stopnia uszkodzenia S(N) dla liczby cykli występujących w bloku obciążenia.
Trwałość wyrażoną także w liczbie cykli oblicza się z zależności
N obl =
N
,
S (N )
(8)
gdzie: Nobl - trwałość zmęczeniowa, N – liczba cykli w bloku, S(N) - całkowity stopień
uszkodzenia dla czasu obserwacji.
4. ANALIZA WYNIKÓW I WNIOSKI KOŃCOWE
Wyniki obliczeń skonfrontowano z trwałością uzyskaną podczas eksperymentu i
przedstawiono na rys. 6 i 7. Można zauważyć, że wyniki obliczeń z zastosowaniem modelu
Soderberga najbardziej odbiegają od tych uzyskanych podczas eksperymentu. Dwa modele –
proponowany przez Kwofiego oraz opracowany przez autorów pracy, dały zadowalające
wyniki dla większości analizowanych typów obciążenia. Sformułowano następujące
spostrzeżenia szczegółowe:
1. Obciążenie żeliwa GGG40 obciążeniem losowym o niezerowej wartości średniej
naprężenia powoduje uzyskiwanie niższych trwałości niż w przypadku obciążeń o
zerowej wartości średniej.
2. Obliczenia przeprowadzone dla wartości współczynnika K = 1 (brak uwzględnienia
wartości średniej naprężenia) prowadziły do uzyskania znacznie zawyżonej trwałości
TRWAŁOŚĆ ZMĘCZENIOWA ŻELIWA GGG40 W WARUNKACH…
305
obliczeniowej, co jest szczególnie niepożądanym efektem podczas prac inżynierskich i
konstruktorskich.
3. Zadowalające wyniki dla przypadku jednoosiowego rozciągania-ściskania dają
zależności transformacyjne według Goodmana, Kwofiego oraz zaprezentowanego w
pracy modelu.
4. W przypadku skręcania najlepsze wyniki uzyskano, stosując współczynniki KGe, KM,
KK oraz KNB.
5. Dla kombinacji rozciągania-ściskania ze skręcaniem przy niezerowej wartości średniej
naprężenia najlepsze wyniki uzyskano, stosując współczynniki KGe, KM, KK oraz
proponowany KNB.
a)
b)
Rozciąganie-ściskanie przy R=0
9
10
10
Skręcanie przy R=0
9
K
K
S
8
10
KGo
10
8
K
K
K
M
7
10
]
el
yk
c[
l
N
b
o
K
10
Ge
K
6
10
K
]
el
k
y
c[
l
Pr.model wsp.K
NB
Dla K=1
5
10
N
4
10
b
o
3
10
2
4
6
10
10
N
exp
10
8
10
6
Go
M
Ge
K
P r.model wsp.K NB
Dla K =1
10
10
10
2
10
K
K
10
10
7
S
5
4
3
2
10
2
10
4
[cykle]
10
6
10
8
Nexp [cykle]
Rys.6. Porównanie trwałości obliczeniowej Nobl z eksperymentalną Nexp: (a) w przypadku
rozciągania-ściskania przy R = 0, (b) w przypadku skręcania przy R = 0
a)
9
b)
Rozciąganie-ściskanie ze skręcaniem skorelowane przy R=0
9
10
8
10
K
K
7
10
]
el
k
y
c[
l
N
b
o
K
K
6
10
K
S
8
10
Go
K
K
M
7
10
Ge
K
Pr.model wsp.K
]
el
ky
c[
l
b
NB
Dla K =1
5
10
N
4
10
3
K
K
6
10
S
Go
M
Ge
K
Pr.model wsp.K NB
Dla K=1
5
10
o
4
10
3
10
10
2
10
2
10
Rozciąganie-ściskanie ze skręcaniem nieskorelowane przy R=0
10
K
2
10
4
10
N
exp
6
[cykle]
8
10
10
2
10
4
10
10
N
exp
6
8
10
[cykle]
Rys.7. Porównanie trwałości obliczeniowej Nobl z eksperymentalną Nexp: (a) rozciąganieściskanie ze skręcaniem skorelowane przy R = 0, (b) rozciąganie-ściskanie ze
skręcaniem nieskorelowanego przy R = 0
306
A. NIESŁONY, M. BÖHM
LITERATURA
1. Łagoda T., Macha E., Niesłony A., Müller A.: Fatigue life of cast irons GGG40, GGG60
and GTS 45 under combined variable amplitude tension with torsion. “The Archive of
Mechanical Engineering” 2001, Vol. XLVIII, p. 56-69.
2. Kluger K., Łagoda T.: Wpływ wartości średniej obciążenia na trwałość zmęczeniową w
opisie energetycznym. ZN Pol. Opol. z. 203. Opole: Ofic. Wyd. Pol. Opol., 2007.
3. Niesłony A.: Determination of fragments of multiaxial service loading strongly
influencing the fatigue of machine components. “Mechanical Systems and Signal
Processing” 2009, Vol. 23(8), p. 2712-2721.
4. Müller A.: Zum Festigkeitsverhalten von mehrachsig stochastisch beanspruchtem
Gußeisen mit Kugelgraphit und Temperguß, Bericht Nr. FB-203, Darmstadt: FraunhoferInstitut für Betriebsfestigkeit (LBF), 1994.
5. Łagoda T., Macha E., Pawliczek R.: Wpływ wartości oczekiwanej losowej historii
naprężenia na trwałość zmęczeniową stali 10HNAP przy jednoosiowym rozciąganiu.
„Problemy Maszyn Roboczych” 1998, Z.11/1998, s. 121-138.
6. KWOFIE S.: An exponential stress function for predicting fatigue strength and life due to
mean stresses. “Int. J. Fatigue” 2001, Vol. 23, p. 829-836.
FATIGUE LIFE OF CAST IRON GGG40 UNDER VARIABLE
AMPLITUDE TENSION WITH TORSION WITH MEAN STRESS
Summary. In this paper the results of the fatigue life estimation tests of cast iron
GGG40 under proportional and non-proportional random tension with torsion
with non-zero mean value have been analyzed. The algorithm for the fatigue life
determination consists out of the modified criterion of maximum normal stress in
the critical plane, rain flow cycle counting method, linear Palmgren-Miner
damage cumulating hypothesis and out of six chosen models that consider the
influence of the mean loading value on the fatigue life. It has been distinguished,
which of the considered models are describing the mean value effect on the
fatigue life in the best way.