Mechanika klasyczna" (PWN, Warszawa 2006). 2. LD Landau

Mechanika Klasyczna
Literatura
Obowiązkowa
1. J. R. Taylor, „Mechanika klasyczna" (PWN, Warszawa 2006).
2. L. D. Landau, J. M. Lifszyc, „Mechanika" (PWN, Warszawa 2006).
Uzupełniająca
3. W. Rubinowicz, W. Królikowski, „Mechanika teoretyczna" (PWN, Warszawa 1998).
4. K. Wróblewski, „Historia Fizyki" (PWN, Warszawa 2006)."
5. M. Gelfand, S. W. Fomin, „Rachunek wariacyjny" (PWN, Warszawa 1979).
Zagadnienia na egzamin 2007/2008 - wersja robocza
1. Struktura nauki o ruchu.
2. Pojęcia: układ fizyczny, punkt materialny, bryła sztywna, ruch, układ odniesienia, układ
współrzędnych, wektor jednostkowy (wersor), ortogonalny układ współrzędnych, kinematyka,
dynamika, wektor wodzący, trajektoria, droga, prędkość, przyspieszenie, przyspieszenie
normalne, przyspieszenie styczne, współrzędne uogólnione, liczba stopni swobody, prędkość
uogólniona, przyspieszenie uogólnione, równanie ruchu.
3. Trzy zasady dynamiki Newtona (sformułowanie).
4. II zasada dynamiki jako równanie ruchu.
5. Więzy - definicja i rodzaje (6).
6. Jak policzyć ile jest stopni swobody? Przykłady.
7. (*) Przykłady równań (nierówności) więzów dla prostych układów fizycznych.
8. Funkcjonał - definicja i przykłady. Funkcjonał całkowy.
9. Definicje przyrostu oraz wariacji funkcjonału.
10. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału (bez dowodu).
11. (*) Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału (z dowodem).
12. Równanie Eulera (postać równania z omówieniem symboli).
13. (**) Pokazać, iż warunkiem koniecznym, aby funkcjonał całkowy miał ekstremum dla pewnej
funkcji, jest spełnienie przez tę funkcję równania Eulera.
14. Funkcja Lagrange'a- definicja, własności (bez dowodów).
15. (*) Własności lagranżjanu (z dowodami).
16. Definicja działania. Zasada najmniejszego działania (zasada Hamiltona). Równanie EuleraLagrange'a (Lagrange'a).
17. Całki ruchu. Twierdzenie o maksymalnej ilości niezależnych całek ruchu (bez dowodu).
18. (*) Twierdzenie o maksymalnej ilości niezależnych całek ruchu (z „dowodem").
19. Pęd uogólniony i siła uogólniona (+ przykłady). Zmienna cykliczna.
20. (*) Pokazać, że pęd uogólniony związany ze zmienną cykliczną jest całką ruchu (+ przykład
wynikającej stąd zasady zachowania).
21. Pojęcia: bezwładność, inercjalny układ odniesienia.
22. Szczególne znaczenie zasady bezwładności w mechanice.
23. Zasada względności Galileusza.
24. Natychmiastowość oddziaływań jako konsekwencja czasu absolutnego.
25. Równoważność wszystkich inercjalnych układów odniesienia - nierozróżnialność spoczynku i
ruchu (pokazać, że tak jest).
26. Transformacja Galileusza (postać + wyprowadzenie).
27. (*) Pokazać, że ruch jest odwracalny.
28. Czasoprzestrzeń Galileusza - własności i ich powiązanie z funkcją Lagrange'a.
29. Funkcja Lagrange'a dla układu cząstek - postać ogólna.
30. Współrzędne naturalne.
31. Lagranżjan we współrzędnych uogólnionych, energia kinetyczna jako forma kwadratowa
prędkości, pęd uogólniony we współrzędnych uogólnionych. (Bez wyprowadzeń.)
32. (*) Lagranżjan we współrzędnych uogólnionych, energia kinetyczna jako forma kwadratowa
prędkości, pęd uogólniony we współrzędnych uogólnionych. (Z wyprowadzeniami.)
33. Treść zasad zachowania (także w wersji rozszerzonej).
34. Zasady zachowawcze jako konsekwencja własności czasoprzestrzeni (opisowo: własność
czasoprzestrzeni - niezmienniczość funkcji Lagrange'a - zasada zachowania).
35. (**) Wyprowadzenie zasad zachowania z własności czasoprzestrzeni.
36. Definicja i sens fizyczny funkcji Hamiltona (hamiltonianu).
37. III zasada dynamiki i jej równoważność zasadzie zachowania pędu.
38. (**) Transformacje energii, pędu oraz momentu pędu.
39. Położenie środka masy (definicja).
40. (*) Całkowanie ruchu jednowymiarowego z zasad zachowawczych.
41. Ruch swobodny i związany. Punkty zwrotu. Równanie na punkty zwrotu. Okres w ruchu
związanym.
42. Masa zredukowana (definicja).
43. Pole centralne (pole o symetrii sferycznej) - definicja.
44. (*) Zagadnienie ruchu dwóch ciał i jego redukcja do ruchu jednego ciała. Przybliżenie dużej
masy.
45. Zmienna cykliczna w ruchu centralnym - zasada zachowania z-owej składowej momentu pędu.
46. (*) Wykazać, iż ruch centralny jest ruchem płaskim.
47. Treść trzech praw Keplera (także w wersji uogólnionej).
48. (*) Dowody praw Keplera.
49. (**) Całkowanie ruchu centralnego z zasad zachowania (rozdzielenie zmiennych ę i r,
wyprowadzenie wzorów na t i <p, energia ruchu radialnego, potencjał efektywny, ruch
swobodny i związany, wzór na Ac>, trajektorie otwarte i zamknięte).
50. Potencjał efektywny w polu centralnym (pojęcie). Ilość punktów zwrotu a charakter ruchu.
51. Ruch związany w polu centralnym - trajektorie otwarte i zamknięte.
52. Pole typu l/r : postać potencjału oraz siły, przykłady takich pól.
53. Kształt potencjału efektywnego dla pola typu l/r (opisowo).
54. (**) Ruch w polu typu l/r (przykłady takich pól, minimum potencjału efektywnego, kształt
potencjału efektywnego, trajektorie w polu l/r +wyprowadzenie równania na trajektorię,
zależność typu trajektorii od energii).
55. Krzywe stożkowe - równanie, zależność od mimośrodu. Krzywe stożkowe jako przecięcie
stożka.
56. Ruch po: elipsie, okręgu, hiperboli oraz paraboli (opisowo - dla jakiej energii, w jakim
potencjale, w jakim zakresie zmienia się ę oraz r).
57. Ruch przez centrum pola typu l/r (3 przypadki).
58. (**) Zależność kształtu krzywych stożkowych (zakres zmienności ę oraz r) od energii i
momentu pędu w polu typu l/r (slajdy „Ruch po ..." oraz „Kształt...").
59. Przekształcenie Legendre'a dla przypadku zamiany jednego zespołu zmiennych (bez dowodu).
60. (*) Wyprowadzenie przekształcenia Legendre'a.
61. Hamiltonian jako przekształcenie Legendre'a lagranżjanu.
62. Równania Hamiltona (wzory + opis).
63. (*) Wyprowadzenie równań Hamiltona.
64. Pochodna funkcji Hamiltona po czasie, warunek stałości energii całkowitej.
65. Zmienna cykliczna dla hamiltonianu, redukcja liczby wymiarów, porównanie z lagranżjanem.
66. Nawiasy Poissona - definicja, własności (12) - bez dowodów.
67. (*) Dowody własności nawiasów Poissona (bez tożsamości Jacobiego).
68. (**) Dowód tożsamości Jacobiego.
69. Zapis równań Hamiltona za pomocą nawiasów Poissona.
70. Działanie w mechanice Hamiltona: alternatywna definicja działania, działanie uproszczone
(def). Postać zasady najmniejszego działania Maupertuisa oraz Jacobiego.
71. (*) Wyprowadzenie równań Hamiltona z alternatywnej definicji działania.
72. Przekształcenia punktowe (def.) i kanoniczne (warunek konieczny i wystarczający).
73. Zmiana q i p w czasie ruchu jako przekształcenie kanoniczne.
74. Przestrzeń fazowa. Element objętości w przestrzeni fazowej. Twierdzenie Liouville'a .
75. Ruch drgający - pojęcia: małe drgania, drgania swobodne, częstość drgań własnych
(swobodnych), amplituda, faza, faza początkowa, rezonans, dudnienia, dekrement tłumienia,
ruch pełzający, rezonans parametryczny.
76. (*) Istota potencjału oscylatorowego.
77. Jednowymiarowe drgania swobodne (opis + wzory, bez wyprowadzeń): funkcja Lagrange'a,
równanie ruchu, rozwiązanie w postaci funkcji cosinus, wzór na okres drgań, rozwiązanie w
postaci zespolonej i jego interpretacja geometryczna, wzór na energię.
78. (*) j.w. z wyprowadzeniami.
79. Jednowymiarowe drgania wymuszone (opis + wzory, bez wyprowadzeń): funkcja Lagrange'a,
równanie ruchu, rozwiązanie dla siły okresowej daleko od rezonansu oraz w rezonansie,
zależność amplitudy od czasu w rezonansie, zależność amplitudy od czasu blisko rezonansu.
80. Jednowymiarowe drgania tłumione (opis + wzory, bez wyprowadzeń): liniowa zależność siły
tarcia od prędkości (ograniczenia modelu), funkcja Lagrange'a, równanie ruchu i jego
rozwiązanie ogólne, trzy przypadki tłumienia (postać rozwiązania, typ ruchu, wykres).
81. Rezonans w obecności tarcia.
82. Oscylator dwuwymiarowy. Krzywe Lissajous.
83. c.d.n.