3sem Matematyka dyskretna ang

Politechnika Opolska
Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki
Załącznik nr 1
do Uczelnianego Systemu Zapewnienia Jakości Kształcenia
KARTA OPISU PRZEDMIOTU
INFORMATYKA
KIERUNEK STUDIÓW
BAZY DANYCH, SIECI KOMPUTEROWE
SPECJALNOŚĆ
RODZAJ STUDIÓW
STACJONARNE I-GO STOPNIA
NAZWA PRZEDMIOTU
MATEMATYKA DYSKRETNA
DISCRETE MATHEMATICS
SUBJECT TITLE
RODZAJ PRZEDMIOTU *)
PODSTAWOWY; KIERUNKOWY; HUMANISTYCZNY; DODATKOWY; OBIERALNY
SEMESTR STUDIÓW
ECTS (pkt.)
TRYB ZALICZENIA PRZEDMIOTU
KOD PRZEDMIOTU:
3
5
EGZAMIN
A3
Analiza matematyczna, Algebra liniowa z geometrią analityczną
Przedmioty wprowadzające
oraz wymagania ogólne**)
Zakres wiadomości/umiejętności/kompetencji: Standartowa wiedza z 1) zastosowania
pochodnych do badania funkcji, obliczenia całek; 2) rozwiązywania równań oraz układów
równań algebraicznych.
PROGRAM PRZEDMIOTU
FORMA ZAJĘĆ
PROWADZĄCY ZAJĘCIA
(tytuł/stopień naukowy, imię i nazwisko)
LICZBA GODZIN
ZAJĘĆ W SEMESTRZE
30
30
WYKŁAD
ĆWICZENIA
DR.HAB. SERGII KAIM, PROF.PO
DR.HAB. SERGII KAIM, PROF PO
LABORATORIUM
PROJEKT
SEMINARIUM
TREŚCI KSZTAŁCENIA (PROGRAM NAUCZANIA)
WYKŁAD
Lp.
Tematyka zajęć
Liczba godzin
Elementy teorii mnogości.
1.
2.
3.
Niektóre szczególne zbiory. Operacje na zbiorach. Prawa algebry zbiorów. Iloczyn
kartezjański. Funkcje. Odwzorowanie. Funkcje odwrotne.
Elementy logiki.
Rachunek zdań. Spójniki zdaniowe. WyraŜenia poprawnie zbudowane. Wartości logiczne.
Matryca logiczna. RównowaŜność. Tautologia. RównowaŜność logiczna. Przykłady zdań
logiczne równowaŜnych (prawa podwójnego przeczenia, przemienności, łączności,
rozdzielności, prawa De Morgana, idempotentności, identyczności, kontrapozycji,
eksportacji, Reducio ad absurdum). Implikacje logiczne.
Metody dowodzenia. Zupełność operacji logicznych. Alternatywa wykluczająca. Kreska
Sheffera, kreska Pearse’a. Algebry Boole’a. Prawa algebry Boole’a. Funkcja boolowska,
sposoby jej reprezentacji. Formuła boolowska. Symbole atomowe, iloczyn oraz suma
minimalne. Normalna alternatywno-koniunkcyjna oraz koniunktywno-dysunktywana
postaci wyraŜeń boolowskich..
2
2
2
4.
Kod Gray’a. Tablice Karnaugha. Funkcje dwóch zmiennych. Przykłady sklejeń w tablicach
Karnaugha. Bramki logiczne. Sieci logiczne. Układy kombinacyjne oraz układy
sekwencyjne. Przerzutniki, ich klasyfikacja.
2
5.
Teoria relacji. Relacja binarna. Sposoby reprezentacji relacji. Własności relacji.
2
6.
Indukcja matematyczna. Przykłady dowodów twierdzeń. Ogólne prawa kombinatoryki.
Wariacje bez powtórzeń. Permutacje. Permutacje z powtórzeniami. Kombinacje.
Kombinacje z powtórzeniami. Własności kombinacji. Wzór włączeń i wyłączeń. Sito
Eratostenesa.
2
7.
Symbol Newtona. Trójkąt Pascala. Twierdzenie o potędze dwumianu. Właściwości wzoru
dwumianowego Newtona. Wzór wielomianowy.
2
8.
Związki rekurencyjne. Ciągi i definicje rekurencyjne. Liniowe zaleŜności rekurencyjne.
Równanie charakterystyczne. Liczby Fibonaciego. Równanie rekurencyjne liniowe o
2
Nazwa przedmiotu
stałych współczynnikach. Algorytm „dziel i rządź”. Redukcja liczby członów w liniowych
rekurencjach.
9.
Kombinatoryka a szeregi. Dzielenie wielomianów. Ułamki algebraiczne i szeregi potęgowe.
Działania na szeregach potęgowych. Funkcje tworzące. Szereg Newtona. Zastosowanie
metody funkcji tworzących do rozwiązywania równań rekurencyjnych.
2
Podział zbiorów. Liczby Stirlinga 2-go rodzaju. Liczby Bella. Wzór jawny dla liczb Stirlinga
10. i ich obliczenie. Funkcja tworząca a liczby Stirlinga. ToŜsamość Bella. Funkcje tworzące a
2
rozkłady liczb. Proces kolejnych rozkładów. Liczby Catalana.
11. Notacja O, jej własności. Asymptoty liczb kombinatorycznych. Asymptota n! . Formuła
Stirlinga.
12.
13.
Teoria grafów.
Definicja grafu. Graf prosty. Izomorfizm. Spójność. Sąsiedztwo. Stopień wierzchołka.
Lemat „o uściskach dłoni”. Reprezentacja macierzowa. Macierz sąsiedztwa, macierz
incydencji. Grafy puste, pełne, cykliczne, liniowe, koła. Kostki. Grafy regularne. Grafy
platońskie. Grafy dwudzielne. Trasy, ściezki, drogi.
Grafy eulerowskie. Twierdzenie Eulera. Grafy hamiltonowskie. Twierdzenia Diraca, Orera.
Algorytm Fleury’ego.
Grafy planarne. Grafy
K 3,3
i
K 5 . Twierdzenie Kuratowskiego.
2
2
2
Twierdzenie Eulera.
14. Kolorowanie grafów. Kolorowanie wierzchołków. Zagadnienie o czterech barwach.
2
Twierdzenie K.Appela i W.Hakena. Kolorowanie map..
Drzewa. Liczba cyklomatyczna. Algorytmy przeszukiwania w głąb. Drzewa z wagami. Kod
15. Huffmana. Grafy skierowane. Grafy skierowane z wagami.
RAZEM GODZIN W SEMESTRZE
2
30
ĆWICZENIA
Lp.
Tematyka zajęć
1. Niektóre szczególne zbiory. Operacje na zbiorach. Symboli rachunku zdań. Prawa algebry
zbiorów. Funkcje. Odwzorowanie. Funkcje odwrotne.
Rachunek zdań. Spójniki zdaniowe. WyraŜenia poprawnie zbudowane. Wartości logiczne.
2.
Matryca logiczna. RównowaŜność. Tautologia. RównowaŜność logiczna. Implikacje
logiczne.
Metody dowodzenia. Zupełność operacji logicznych. Algebry Boole’a. Funkcja boolowska,
3. sposoby jej reprezentacji. Formuła boolowska. Symbole atomowe, iloczyn oraz suma
minimalne. Normalna alternatywno-koniunkcyjna oraz koniuktywno-dysiunktywana
postaci wyraŜeń boolowskich.
4. Tablice Karnaugha. Funkcje boolowskie wielu zmiennych. Bramki logiczne. Sieci
logiczne.
5. Iloczyn kartezjański. Relacja binarna. Sposoby reprezentacji relacji. Własności relacji:
zwrotna, antysymetryczna, przechodnia, symetryczna, przeciwzwrotna.
6.
Indukcja matematyczna. Ogólne prawa kombinatoryki. Wariacje bez powtórzeń.
Permutacje. Permutacje z powtórzeniami. Kombinacje. Kombinacje z powtórzeniami.
Własności kombinacji. Wzór włączeń i wyłączeń.
Liczba godzin
2
2
2
2
2
2
7. Symbol Newtona. Trójkąt Pascala. Właściwości wzoru dwumianowego Newtona. Wzór
wielomianowy.
2
Liniowe równania rekurencyjne. Równanie charakterystyczne. Równanie rekurencyjne
8. liniowe o stałych współczynnikach. Niejednorodnie równanie rekurencyjne liniowe.
2
Układy równań rekurencyjnych. Ułamek ciągły. Równania typu Riccatiego.
9. Funkcje tworzące. Zastosowanie metody funkcji tworzących do rozwiązywania równań
rekurencyjnych.
2
10.
Podział zbiorów. Liczby Stirlinga 2-go rodzaju. Liczby Bella. Funkcje tworzące a rozkłady
liczb. Proces kolejnych rozkładów. Liczby Catalana.
2
11.
Notacja O, jej własności. Asymptoty liczb kombinatorycznych. Hierarchii ciągów.
Oszacowanie sum skończonych.
2
Właściwości grafów N n , K n , K n , m , Cn ,Wn . Ilość krawędzi w grafach. Łamigłówki.
12. Dowody izomorficzności grafów. Oznaki nieizomorficzności grafów. Podgrafy. Dopełnienia
grafów.
13. Reprezentacja grafów: macierz sąsiedztwa, macierz incydencji. Drogi, cykle, obwody.
2
2
Grafy eulerowskie, póleulerowskie, nieeulerowskie. Twierdzenie Eulera. Grafy
hamiltonowskie, pólhamiltonowskie, niehamiltonowskie. Twierdzenia Diraca, Orera.
14.
Algorytm Fleury’ego. Grafy planarne. Grafy
K 3,3 i K 5 . Twierdzenie Kuratowskiego.
2
Twierdzenie Eulera.
2
Nazwa przedmiotu
Kolorowanie grafów. Kolorowanie wierzchołków. Zagadnienie o czterech barwach.
15. Drzewa. Algorytmy przeszukiwania w głąb. Kod Huffmana. Grafy skierowane. Grafy
skierowane z wagami.
RAZEM GODZIN W SEMESTRZE
2
30
ZAŁOśENIA I CELE PRZEDMIOTU:
Celem kształcenia jest przekazanie oraz ugruntowanie wiedzy z wybranych działów logiki i teorii mnogości,
kombinatoryki i teorii grafów. Wykład ma zapoznać studentów z podstawowymi definicjami, twierdzeniami,
metodami matematyki dyskretnej oraz ich zastosowaniami w informatyce. Wykład wprowadza aparat
matematyczny niezbędny do konstruowania i analizy algorytmów, sieci logicznych.
Ćwiczenia maję na celu uzyskanie sprawności w rozwiązywaniu przykładowych zadań, nauczyć studentów
abstrakcyjnego formułowania praktycznych zagadnień z wykorzystaniem wiedzy z matematyki dyskretnej.
.
METODY DYDAKTYCZNE:
1. Powtórzenie materiału teoretycznego na początku ćwiczenia.
2. Podkreślenie wszystkich wiadomych stref zastosowania danego materiału w informatyce.
3. Aktywizacja studentów za pomocą wplątania do dyskusji.
4. Otwarte rozwaŜania nowoczesnych osiągnięć w dziedzinie informatyki i trudności dalszego postępu.
5. Podkreślenie róŜnicy pomiędzy pojęciami klasycznej informatyki i informatyki kwantowej.
FORMA I WARUNKI ZALICZENIA PRZEDMIOTU:
Zaliczenia z ćwiczeń jest dokonywane na podstawie kolokwium pisemnego.
Zaliczenia z wykladów jest dokonywane na podstawie egzaminu pisemnego.
LITERATURA PODSTAWOWA:
[1 K.A. Ross, Ch.R.B. Wright. Matematyka dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2003. R.L.
Graham, D.E. Knuth, O. Patashnik. Matematyka konkretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 2006.
[3] R.J. Wilson. Wprowadzenie do teorii grafów. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa, 1998.
[4] W.Lipski. Kombinatoryka dla programistów. Wydawnictwo naukowo-Techniczne, Warszawa, 2004.
[5] W.Lipski, W.Marek, Analiza kombinatoryczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1986.
[6] V.Bryant. Aspekty kombinatoryki. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1997.
LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA:
[1] Narsingh Deo: Teoria grafów i jej zastosowania w technice i informatyce. PWN, Warszawa, 1980.
[2] M.Ben-Ari. Logika matematyczna w informatyce. Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa, 2005.
[3] M. Libura, J. Sikorski. Wykłady z matematyki dyskretnej. Część I:Kombinatoryka. WyŜsza Szkoła Informatyki
Stosowanej i Zarządzania, Warszawa, 2003.
[4] M. Libura, J. Sikorski : Wykłady z matematyki dyskretnej. Część II: Teoria grafów. WyŜsza Szkoła Informatyki
Stosowanej i Zarządzania, Warszawa, 2003.
[5] J.Słupecki, K.Hałkowska, K.Piróg-Rzepecka. Logika i teoria mnogości. Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa, 1994.
[6]. O.Ore. Wstep do teorii grafów. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966.
Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1972.
[8] Analiza kombinatoryczna w zadaniach/Pod red. K.A.Rybnikowa. Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa, 1988.
[9] http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Przedmioty
LITERATURA W JĘZYKU ANGIELSKIM:
[1] James A. Anderson: Discrete Mathematics with Combinatorics. Prentice-Hall, 2nd edition, 2004.[2] Kenneth A.
Ross and Charles R. B. Wright. Discrete Mathematics. Prentice-Hall, fourth edition, 1999.
[3] Ralph P. Grimaldi. Discrete and Combinatorial Mathematics: An Applied Introduction. Addison-Wesley, fourth
edition, 1999.
*) niewłaściwe przekreślić – zgodnie z arkuszem planu studiów,
**) podać wybrane nazwy przedmiotów stanowiących wprowadzenie/uzupełnienie do przedmiotu opisywanego, oraz zakres
wiadomości/umiejętności/kompetencji jakie powinien posiadać student przed rozpoczęciem nauki tego przedmiotu;
.............................................................................
.................................................
(Kierownik jednostki organizacyjnej/bezpośredni przełoŜony:
pieczęć/podpis)
(Dziekan Wydziału …………………:
pieczęć/podpis)
3