POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA w Kielcach WYDZIAŁ

POLITECHNIKA ŚWIĘTOKRZYSKA
w Kielcach
WYDZIAŁ MECHATRONIKI I BUDOWY MASZYN
KATEDRA URZĄDZEŃ MECHATRONICZNYCH
LABORATORIUM FIZYKI
INSTRUKCJA
ĆWICZENIE LABORATORYJNE NR 2
Temat: Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
Opracowali:
dr inż. Paweł Łaski
dr Jakub Takosoglu
Kielce 2013
1. Wstęp
Przyspieszenie jest to wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora
prędkości w czasie. Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli
jest szybkością zmiany prędkości. Jeśli przyspieszenie styczne jest skierowane przeciwnie
do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje a przyspieszenie to
jest nazywane opóźnieniem.
Przyspieszenie ziemskie to przyspieszenie grawitacyjne ciał swobodnie spadających
na Ziemię, bez oporów ruchu. Pomijając przyspieszenie wywołane ruchem obrotowym
ciała niebieskiego, przyjmuje się, że jest równe liczbowo natężeniu pola grawitacyjnego
Ziemi. Przybliżona wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi ~9.8 m/s2. Jednostkami
przyspieszenia ziemskiego są jednostki przyspieszenia:
Wahadło matematyczne odchylone o niewielki kąt (α<7o) z położenia równowagi
podlega prawo ruchu prostego oscylatora harmonicznego (rys. 1). Jednowymiarowym
oscylatorem harmonicznym jest każdy układ fizyczny, którego zachowanie można opisać
równaniem, zwanym równaniem oscylatora harmonicznego:
0
gdzie:
a(t) – przyspieszenie zależne od czasu,
x(t) – położenie zależne od czasu,
ω0 – częstość drgań oscylatora.
Związek ten można zapisać również w postaci jawnej jako liniowe równanie różniczkowe:
2
2
2
0
0
Wypadkowa siła Fw działająca na ciało o masie m jest siłą sprowadzającą ciało do
położenia równowagi (x = 0), a więc jest siłą zwróconą przeciwnie do wychylenia z położenia
równowagi. Wartość tej siły jest równa:
(1)
gdzie:
m – masa ciała,
g – przyspieszenie ziemskie,
α – kąt wychylenia z położenia równowagi.
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
2
Rys. 1. Rozkład siły grawitacji na składowe w wahadle matematycznym
Dla małych wychyleń (α<7o) funkcję sinus można przybliżyć jej argumentem sinα≈α,
przez co otrzymujemy:
(3)
gdzie:
x – wychylenie wahadła,
l – długość wahadła.
Równanie ruchu oscylatora harmonicznego:
ma = -kx
(4)
gdzie w przypadku wahadła matematycznego:
(5)
stąd okres drgań wahadła matematycznego wynosi:
!
#
$
"
2%"
(6)
Przekształcając równanie (6) otrzymano wzór na przyspieszenie ziemskie:
4%
'(
(7)
gdzie:
l – długość wahadła,
T – czas okresu drgania.
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
3
2. Zadanie laboratoryjne
Celem ćwiczenia laboratoryjnego jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą
wahadła matematycznego.
Przebieg pomiarów laboratoryjnych:
1. Zmierzyć pięciokrotnie długość l wahadła matematycznego. Długość należy mierzyć
od środka ciężarka (kulki) do punktu zaczepienia wahadła.
2. Wprawić wahadło w ruch wychylając je z położenia równowagi o kąt 7o.
3. Zmierzyć czas t dla n=25 wahnięć wahadła. Pomiar czasu powtórzyć pięciokrotnie.
4. Pomiary (pkt 1-3) powtórzyć dla pozostałych wahadeł.
Przebieg obliczeń wartości mierzonych i błędów pomiarowych:
1. Obliczyć średnią długość wahadła oraz dokładność pomiaru ze wzoru (8).
2. Wyznaczyć średni czas tśr dla n=25 wahnięć oraz jego niepewność pomiarową
korzystając ze wzoru (9).
3. Obliczyć średni okres drgań
ś*
+
,
oraz jego niepewność korzystając ze wzoru (10).
4. Obliczyć wartość przyspieszenia ziemskiego g korzystając ze wzoru (7) oraz jego
względny błąd korzystając ze wzoru (11).
5. Porównać wartości przyspieszenia ziemskiego g uzyskane dla różnych długości
wahadła l. Wyciągnąć wnioski.
6. Uwaga! Powyższe instrukcje należy wykonać dla każdego wahadła z osobna.
7. Wyznaczyć wartość średnią przyspieszenia ziemskiego g.
Dokładność pomiaru długości jako średni błąd kwadratowy:
∆.
/"
∑4
356
ś1 2 3
,27
(
(8)
gdzie:
n – ilość pomiarów,
li– wartość poszczególnych pomiarów długości l.
Dokładność pomiaru czasu jako średni błąd kwadratowy:
∆
/"
∑4
356 +ś1 2+3
,27
(
(9)
gdzie:
n – ilość pomiarów,
ti– wartość poszczególnych pomiarów czasut.
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
4
Dokładność pomiaru okresu drgań jako średni błąd kwadratowy:
∆
/"
Względny błąd przyspieszenia ziemskiego
∆
∑4
356 'ś1 2'3
,27
∆
(
(10)
wyrażony w %:
∆'
∆
8'
9 100%
(11)
gdzie:
∆l – niepewność systematyczna (dokładność) pomiaru długości wahadła,
∆T – dokładność pomiaru okresu drgań.
Tabela pomiarowa (oddzielna dla każdego wahadła):ss
Lp.
l [m]
lśr [m]
∆l [m]
t [s]
tśr [s]
∆t [s]
T [s]
Tśr [s]
∆T [s]
g [m/s2]
gśr[m/s2]
∆g/g
1
2
3
4
5
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
5