Wyznaczanie wartoœci przyspieszenia ziemskiego

Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
autor : Mateusz Owsiak , I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku
I.
CZĘŚĆ TEORYTYCZNA
Wahadłem matematycznym nazywamy wahadło, którego cała masa skupiona jest w
jednym punkcie, zawieszonym na niewaŜkiej i nierozciągliwej nici o stałej długości. Z
pewnym przybliŜeniem zakładam, Ŝe wahadło takie to niewielkie ciało o duŜej masie i
niewielkich wymiarach zawieszone na cienkiej, stosunkowo mało rozciągliwej nici.
Siła cięŜkości (cięŜar kulki) Fg = mg rozkłada się na
dwie składowe F1 oraz F2. Siła F2 - napina nić. Siła
F1 powoduje ruch wahadła w kierunku połoŜenia
równowagi, a jej wartość jest równa:
F1 = Fg sin α
F1 = mg sin α
Aby wyznaczyć okres tego ruchu (a jest to ruch
harmoniczny, poniewaŜ siła powodująca powrót do
połoŜenia równowagi jest przeciwnie zwrócona do
wychylenia) zakładam, Ŝe wychylenie jest o mały kąt
(max 5 o ), a dla małych kątów:
sin α = α
AB
α=
r
PoniewaŜ długość łuku (AB) niewiele róŜni się od
wychylenia x to:
α=
x
l
Wzór na siłę powodującą ruch wahadła:
F1 = mg
x
l
Po uwzględnienie znaku i mamy gotowy wzór:
F1 = − mg
x
l
Wykorzystując podobieństwo do siły spręŜystości ( F = −kx) porównuję:
x
− mg = − kx
l
k
Współczynnik k wyznaczam ze wzoru na częstość kołową (ω =
) i podstawiam do
m
wzoru:
mg
2Π
= ω 2m ;
gdzie ω =
l
T
1
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
autor : Mateusz Owsiak , I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku
Zatem:
g 4Π 2
= 2
l
T
Po przekształceniu powyŜszego wzoru otrzymujemy wzór na okres wahań wahadła
matematycznego:
l
T = 2Π
g
Wystarczy przekształcić powyŜszy wzór i otrzymamy wzór którym moŜemy się posłuŜyć do
wyznaczania przyspieszenia grawitacyjnego:
4Π 2 l
g=
T2
II. OPIS DOŚWIADCZENIA
1. Cel doświadczenia:
Wyznaczenie przyspieszenia grawitacyjnego w domu.
2. Zestaw doświadczalny:
- Zegarek Casio „G-Shock” ze stoperem
- Miarka
- Nitka
- Stalowy cięŜarek
- Hak
- Sufit
3. Rysunek:
α < 5o
2
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
autor : Mateusz Owsiak , I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku
4. Realizacja techniczna:
Do przeprowadzenia doświadczenia uŜyłem nitki, zawieszonego na niej cięŜarka,
miarki, zegarka ze stoperem oraz haka przymocowanego do sufitu, do którego przywiązałem
nitke. (Jak na rysunku).
Doświadczenie przeprowadziłem ustalając pewną długość nitki, a następnie odchylając
zawieszony na nitce cięŜarek o niewielki kąt i puszczając go, mierzyłem czas potrzebny na
wykonanie 20 pełnych wahnięć ( 20, a nie 1, w celu zmniejszenia wpływu błędu
wynikającego z opóźnienia czasu reakcji organizmu człowieka). Czynność tę wykonywałem
10 razy. Wyniki zanotowałem w tabeli.
III. POMIARY
Numer
pomiaru
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Czas
[s]
65,56
65,63
65,48
65,67
65,80
65,66
65,54
65,74
65,67
65,68
Czas średni [s]
t średni =
Średni okres [s]
t1 + t 2 + t 3 + t 4 + t 5 + t 6 + t 7 + t 8 + t 9 + t10
= 65,64
10
Tśr =
t średni
= 3,28
20
Długość wahadła:
lmierzone = 2,704 m
IV. OPRACOWANIE WYNIKÓW
Wyznaczam przyspieszenie grawitacyjne posługując się otrzymanym w I. punkcie mojej
pracy wzorem, podstawiając do niego średni okres wahania oraz zmierzoną przeze mnie
długość wahadła:
g wyznaczone
4Π 2lmierzone 4 ∗ 3,14 2 ∗ 2,704
m
=
≈
=
9
,
912
 s 2 
Tśr2
3,282
Otrzymana przeze mnie wartość przyspieszenia grawitacyjnego nie jest w 100% zgodna z
wartością tablicową, dlatego oszacuję teraz niepewność pomiaru:
3
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
autor : Mateusz Owsiak , I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku
Przyglądając się naszemu wyraŜeniu na przyspieszenie grawitacyjne, zauwaŜamy, Ŝe
niepewność pomiaru musi wynikać z niepewności pomiaru długości wahadła i okresu.
Zacznę od niepewność serii pomiarów czasu:
∆t =
t max − t min 65,80 − 65,48
=
= 0,16 s
2
2
Wobec tego niepewność pomiaru okresu wynosi:
∆Tśr =
∆t 0,16 s
=
= 0,008s
20
20
Okres wahania z uwzględnieniem niepewności pomiaru ma zatem wartość:
T = Tśr ± ∆T = 3,28s ± 0,008s
Niepewność pomiaru długości wahadła wynosi ∆l mierz = 0,001m , poniewaŜ uŜyta przeze mnie
miarka ma skale milimetrową, zatem długość wahadła z uwzględnieniem niepewności
pomiaru wynosi:
l = 2,704 m ± 0,001m
Znając niepewność pomiaru okresu i długości wahadła mogę wyznaczyć względną
niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego, która jest wyraŜona wzorem:
∆g wyz
g wyz
=
∆l mierz
∆T
+ 2 śr
l mierz
Tśr
Wynosi ona zatem:
∆g wyz
g wyz
=
∆l mierz
∆T
0,001
0,008
+ 2 śr =
+2
≈ 0,005
l mierz
Tśr
2,704
3,28
Sama niepewność pomiaru przyspieszenia ziemskiego jest równa:
m
∆g wyz = 0,005 ∗ g wyz = 0,005 ∗ 9,912 = 0,052  2 
s 
Wartość przyspieszenia grawitacyjnego z uwzględnieniem niepewności pomiaru wynosi:
g = g wyz ± ∆g wyz
m
= (9,912 ± 0,052) 2
s
4
Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego
autor : Mateusz Owsiak , I LO im. Ks. ElŜbiety w Szczecinku
Następnie zajmę się wyznaczeniem błędu pomiarowego względnego i bezwzględnego.
Aby jednak wyznaczyć te wartości muszę odczytać z tablic fizycznych rzeczywistą wartość
przyspieszenia ziemskiego oraz znaleźć na jakiej szerokości geograficznej znajduje się moja
miejscowość, poniewaŜ, ta dana jest potrzebna do wzoru dzięki któremu wyznaczę
rzeczywistą wartość przyspieszenia ziemskiego w Szczecinku.
g rzeczywiste = 9,832 − 0,05 cos 2 ϕ
gdzie ϕ oznacza szerokość geograficzną w stopniach.
g rz = 9,832 − 0,05 cos 2 53o
poniewaŜ Szczecinek ma szerokość geograficzną równą około 53 o
g rz = 9,832 − 0,05 cos 2 53o ≈ 9,814
m
s2
Mogę teraz przystąpić do wyznaczania błędów pomiarowych:
Błąd pomiaru (bezwzględny):
∆g bezwzgledne = g rz − g wyz = 9,814 − 9,912 = 0,098
m
s2
Względny błąd pomiaru:
∆g wzglęzgl =
V.
∆g bezwzglęez e
g rz
=
0,098
100% ≈ 1%
9,814
WNIOSKI
Otrzymany przeze mnie wynik jest dość zadowalający, poniewaŜ błąd pomiarowy nie jest
zbyt duŜy. Nie zmienia to jednak faktu, Ŝe nie udało mi się dokładnie wyznaczyć
przyspieszenia ziemskiego w moim domu, ze względu na szereg czynników
wprowadzających niepewność. Do tych czynników naleŜą:
- Opory powietrza, powodujące „ucieczkę” energii z wahadła
l
)
g
- UŜyta przeze mnie nić niestety nie jest niewaŜka i jest w pewnym stopniu (choć małym)
rozciągliwa
- Skorzystanie z przybliŜonego wzoru, opierającego się na małych drganiach - ( T = 2Π
- CięŜarek zawieszony na nitce, nie jest masą punktową
- Czas reakcji obserwatora
- Punkt zaczepu nitki nie jest w rzeczywistości punktowy
5