Topologia algebraiczna II

Topologia algebraiczna II
Zadania przygotowawcze do pierwszego kolokwium
Zadanie 1. Wykaż, że Tor(Zn , A) ' Ker(A → A), gdzie odwzorowanie A → A jest mnożeniem
przez n.
Zadanie 2. Wykaż, że Tor(A, Q/Z) jest izomorficzna podgrupie torsyjnej A. Wywnioskuj, że A
jest beztorsyjna wtw kiedy Tor(A, B) = 0 dla wszystkich B.
Zadanie 3. Wykaż, że Tor(A, B) jest zawsze grupa torsyjną i że Tor(A, B) zawiera element
rzędu n wtw kiedy zarówno A jak i B zawierają elementy rzędu n.
Zadanie 4. Wykaż, że jeśli H∗ (X; Z) jest skończenie generowana, to wtedy charakterystyka EuP
lera zdefiniowana wzorem χ(X) = n (−1)n rank Hn (X; Z) jest równa dla dowolnego ciała F sumie
P
n
n (−1) rank Hn (X; F )
Zadanie 5. Niech X będzie przestrzenią Moore’a M (Zm , n) otrzymaną z S n poprzez doklejenie
komórki wymiaru n + 1 przekształceniem stopnia m. Wykaż, że
(a) odwzorowanie ilorazowe X → X/S n = S n+1 indukuje odwzorowanie trywialne na H̃i (−; Z) dla
wszystkich i ale nie na H n+1 (−; Z). Wywnioskuj, że rozszczepienie w twierdzeniu w współczynnikach
uniwersalnych nie jest naturalne,
(b) włożenie S n → X indukuje odwzorowania trywialne na H̃ i (−; Z) dla wszystkich i, ale nie na
Hn (−; Z).
Zadanie 6. Używając Twierdzenia Lefschetza wykaz, że każde przekształcenie f : CP n → CP n
posiada punkt stały dla parzystych n. Dla n nieparzystych wykaż, że istnieje punkt stały, o ile nie
zachodzi f ∗ (α) = −α, gdzie α jest generatorem H 2 (CP n ; Z).
Zadanie 7. Oblicz pierścień kohomologii o współczynnikach w Z2 butelki Kleina .
Zadanie 8. Wykaż, że pierścień H ∗ (RP ∞ ; Z2k ) jest izomorficzny z Z2k [α, β]/(2α, 2β, α2 − kβ),
gdzie |α| = 1 oraz |β| = 2.
Zadanie 9. Oblicz pierścień kohomologii przestrzeni S m × S n .
Zadanie 10. Wykaż, że każde przekształcenie S k+l → S k ×S l indukuje trywialne przekształcenie
na Hk+l dla k > 0, l > 0.
Zadanie 11. Wykaż, że przestrzenie (S 1 × CP ∞ )/(S 1 × {x0 }) oraz S 3 × CP ∞ mają izomorficzne
pierścienie kohomologii o współczynnikach w Z (w dowolnych innych także).
Zadanie 12. Uzasadnij, że jeśli T : C∗ X → C∗ X jest naturalne, łańcuchowe i znormalizowane
warunkiem T (x) = x (x ∈ C0 X), to T indukuje identyczność na H∗ X.
Zadanie 13. Sprawdź, że pojawiające się we wzorze Kunnetha odwzorowanie × dane jest wzorem [z] ⊗ [z 0 ] → [z ⊗ z 0 ].
Zadanie 14. Znajdź przestrzenie, które są K(G,1) dla grup
(a) G = Z ∗ Z,
(b) G = (Z ⊕ Z) ∗Z (Z ⊕ Z), gdzie grupa, wzdłuż której amalgamujemy, jest drugim składnikiem w
obu amalgamowanych grupach.
Zadanie 15. Niech K(G, 1) oznacza przestrzeń topologiczną o grupie podstawowej G, której
nakrycie uniwersalne jest ściągalne (Dla każdej grupy G istnieje K(G, 1).) Niech X będzie spójnym
CW kompleksem i Y będzie K(G, 1). Wykaż, że każdy homomorfizm π1 (X, x0 ) → π1 (Y, y0 ) jest indukowany przez przekształcenie ciągłe (X, x0 ) → (Y, y0 ), które jest jedyne z dokładnością do homotopii
trzymającej x0 .
Zadanie 16. Scharakteryzuj wszystkie elementy hRP n , S n i oraz hS n , RP n i.
Zadanie 17. Wykaż, że SO(3) ' RP 3 . Wskazówka: Kwaterniony jednostkowe q ∈ S 3 działają
na kwaternionach jednostkowych czysto urojonych s ∈ S 2 przez sprzężenia s → q −1 sq.
Zadanie 18. Wykaż, że SO(4) ' (S 3 × S 3 )/Z2 . Wskazówka: Kwaterniony jednostkowe q ∈ S 3
działają na sobie przez lewe i prawe mnożenia.
Zadanie 19. Dla dowolnej powierzchni z brzegiem oblicz kohomologie i homologie oraz kohomologie i homologie relatywnie brzeg. Co zauważyłeś/aś?
Zadanie 20. Wykaż, że dunce hat jest ściągalny.
Zadanie 21. Wykaż, że różne definicje przestrzeni soczewkowych (p < q względnie pierwsze) są
równoważne
(a) definicja z ćwiczeń: utożsamienie górnej i dolnej półsfery pełnej kuli przez obrót o pq kąata pełnego
i symetrię,
2πi
2πi
(b) iloraz S 3 ⊂ C2 przez działanie (x, y) → (e q x, ep q y),
(c) sklejenie dwóch pełnych torusów odwzorowaniem na brzegach T 2 = R2 /Z2 (pierwszy składnik
odpowiada za trywialną pętlę na brzegu pełnego torusa) indukowanym przez przekształcenie liniowe
o macierzy
!
p r
,
q s
gdzie r, s takie, że ps − rq = 1.
Zadanie 22. Wykaż, że dowolne dwie przestrzenie soczewkowe o parametrach (p1 , q), (p2 , q) są
homotopijnie równoważne.