Mecz matematyczny A. Liczbę 2013 przedstaw w

Mecz matematyczny
A. Liczbę 2013 przedstaw w postaci różnicy kwadratów dwóch liczb naturalnych.
Ile rozwiązań ma to zadanie? Odpowiedz uzasadnij.
B. Na Międzynarodową Olimpiadę Matematyczną zjechało 1000 osób.
W sprawozdaniu z tej olimpiady podano, że wśród nich: 811 włada językiem
angielskim, 752 – językiem rosyjskim, 418 – językiem francuskim, 356 – rosyjskim
i francuskim, 570 – rosyjskim i angielskim, 348 – angielskim i francuskim, zaś 297
osób – wszystkimi trzema językami.
Wykaż, że w sprawozdaniu tym popełniono błąd.
C. Dane są dwa półokręgi o wspólnym środku O i średnicach odpowiednio AB i CD
(punkty A, B, C, D i O są współliniowe). Punkt P leży na wewnętrznym półokręgu,
punkt R leży na zewnętrznym półokręgu, punkty O, P i R są współliniowe.
| |
|
Udowodnij, że |
.
D. Pan Adam kupił 510 kg drewna o wilgotności 45%. Aby palić nim w kominku musi
je wysuszyć tak, aby wilgotność zmalała do 15%.
Ile kilogramów wysuszonego drewna uzyska pan Adam?
E. Na rysunku dwa sześciokąty foremne mają wspólny bok.
Jaka część pola równoległoboku jest zacieniowana?
F. Wyznacz najmniejszą wartość wyrażenia
dla
.
G. Na półce stoi dwanaście tomów encyklopedii w następującej kolejności: 11, 1, 10,
4, 3, 2, 8, 7, 12, 6, 9, 5. Jaka jest najmniejsza liczba ruchów potrzebnych do
uporządkowania tomów (rosnąco)? Uwaga: Jeden ruch oznacza wyjęcie
konkretnego tomu i umieszczenie go w wybranym miejscu.
H. Ania kosi trawnik o 2 godziny dłużej, a Wojtek o 4,5 godziny dłużej, niż gdyby
kosili go dwiema kosiarkami jednocześnie.
Ile czasu zajmuje Ani skoszenie trawnika samodzielnie?
I. Dany kwadrat podziel na sześć kwadratów nie mających wspólnych punktów
wewnętrznych.
J. Wykaż, że w trójkącie prostokątnym dwusieczna kąta prostego dzieli na połowy
kąt między środkową i wysokością.
K. W trójkącie ABC wysokość CD i środkowa CE dzielą kąt ACB na trzy równe
części. Wyznacz miarę kąta ACB.
L. W pewnej firmie płace 20% pracowników wzrosły o 100 zł.
O ile wzrosła średnia płaca w tej firmie?