PRACE POGLĄDOWE

PRACE POGLĄDOWE
Dent. Med. Probl. 2005, 42, 4, 651–655
ISSN 1644−387X
ANNA DOBOSZ1, HALINA PANEK1, KORNEL DOBOSZ2
Zastosowanie metody elementów skończonych
do analizy naprężeń w twardych tkankach zębów
Implementation of Finite Elements Method in Evaluation of Stresses
in Dental Hard Tissues
1
2
Katedra i Zakład Protetyki Stomatologicznej AM we Wrocławiu
NZOZ we Wrocławiu
Streszczenie
Metoda elementów skończonych (MES) jest jedną z najnowocześniejszych metod służących do analizy numerycz−
nej stanu naprężeń. Pierwsze obliczenia za pomocą tej metody przeprowadzono w 1943 roku i dotyczyły zagadnień
z zakresu mechaniki. Rozwój metody i jej powszechne zastosowanie miało miejsce na początku lat siedemdziesią−
tych. Badania przeprowadzano wówczas na obiektach o prostej geometrii, modelowanych jako dwuwymiarowe.
Rozwój informatyki i techniki pozwala obecnie na prowadzenie precyzyjnej analizy numerycznej z wykorzysta−
niem układów o złożonej geometrii 3D. Metoda elementów skończonych jest powszechnie stosowana w procesie
projektowania w dziedzinie mechaniki i inżynierii, a także w medycynie i stomatologii. W pracy przedstawiono
definicję, historię, założenia i możliwości zastosowania metody elementów skończonych do analizy stanu naprę−
żeń, powstających w twardych tkankach zębów. Zaprezentowano ponadto wyniki wielu badań nad wpływem pa−
rametrów sił zwarcia na powstawanie uszkodzeń w szkliwie (abfrakcji) i zębinie, występujących w różnych sytu−
acjach klinicznych w zębach bez zmian morfologicznych wywołanych procesem próchnicowym. Siły zwarcia ma−
ją wpływ na prawidłowe funkcjonowanie poszczególnych elementów układu stomatognatycznego. W zależności
od wielkości, czasu trwania i kierunku działania mogą wywoływać różny stopień koncentracji naprężeń w tkan−
kach twardych zęba. Praca omawia wpływ różnych rodzajów naprężeń, powstających podczas dużych obciążeń,
zwłaszcza zaś naprężeń rozciągających, które powstają w szkliwie przyszyjkowym po stronie policzkowej podczas
okluzji (Dent. Med. Probl. 2005, 42, 4, 651–655).
Słowa kluczowe: metoda elementów skończonych, naprężenie, siły okluzyjne, abfrakcje.
Abstract
The finite elements method (FEM) is one of the most modern methods used in numerable analysis of stress. First
calculations made with this method were carried out in 1943 and referred to the problems studied in mechanics. The
development of this method and its common use took place in early 70’s. In those times, the studies were made on
geometrically easy objects modeled as 2D (two−dimensional). Recently, the development of informatics technology
and technique enables to perform very precise analysis with complex 3D (three−dimensional) geometry of objects.
Nowadays, FEM is commonly used in the process of designing in mechanics and engineering as well as in medicine
and dentistry. The paper presents a definition, history, foundations and usage possibilities of this method to analyze
the stresses generated in dental hard tissues. It also describes the results of many researches on the influence of
occlusal forces parameters on generating the damages in enamel (abfractions) and dentin of teeth without any pre−
vious morphological changes caused by carious process. Occlusal forces have a great influence on proper function−
ing of all elements of the masticatory system. Those occlusal forces can evoke different level of tension concentra−
tion in hard dental tissues depending on their range, direction and time of acting. In this study, authors discuss the
influence of different kinds of stresses, which appear during the extremely high occlusal loads, especially those
which are concentrated in cervical enamel on the buccal side of teeth (Dent. Med. Probl. 2005, 42, 4, 651–655).
Key words: finite elements method, stress, occlusal forces, abfraction.
652
A. DOBOSZ, H. PANEK, K. DOBOSZ
Pierwsze doniesienia na temat zastosowania
metody elementów skończonych przypadają na
połowę lat sześćdziesiątych ubiegłego stulecia. Za
pioniera w tej dziedzinie uważa się R. Couranta
(1888–1972). Jego praca na temat metody elemen−
tów skończonych została opublikowana już
w 1943 roku [1]. Początkowo metoda ta znalazła
zastosowanie w mechanice i procesie konstrukcji
maszyn (samolotów, pojazdów kosmicznych)
i obiektów (platformy wiertnicze, budowle towa−
rzyszące reaktorom atomowym). Skomplikowane
warunki brzegowe uniemożliwiały formułowanie
zagadnień w kategoriach analizy matematycznej.
Dopiero rozwój matematyki wpłynął na możli−
wość zamiany formy matematycznej opisu proble−
mu z analitycznej na algebraiczną i rozwiązanie
wielu zagadnień mechaniki. Wraz z postępem
i rozwojem informatyki rozwiązywanie trudnych
problemów algebraicznych jest obecnie mniej cza−
sochłonne.
Założenia metody
elementów skończonych
i jej zastosowania
w mechanice
MES – metoda elementów skończonych
(FEM – finite elements method) jest to zaawanso−
wana matematyczna metoda obliczeń fizycznych,
opierająca się na dyskretyzacji obszaru (najczęś−
ciej powierzchni lub przestrzeni) za pomocą skoń−
czonej liczby elementów uśredniających stan fi−
zyczny ciała. Element skończony jest to podobszar
zdyskretyzowanego kontinuum. Jego wymiar jest
skończony (nie jest nieskończenie mały), a jego
kształt jest zwykle prostszy od kształtu geome−
trycznego analizowanego obiektu. Poszczególne
elementy powinny być na tyle małe, aby aproksy−
mowane w nich funkcje bazowe φi (x) różne od ze−
ra mogły być przybliżone za pomocą wielomia−
nów. Stosowane funkcje bazowe są najczęściej
wielomianami, elementy natomiast – prostymi
bryłami przy dyskretyzacji przestrzeni, a prostymi
figurami przy dyskretyzacji powierzchni.
Wybór szczególnych punktów, tzw. węzłów
w elementach, służy określeniu wymuszonych wa−
runków równowagi i zgodności. Każdy węzeł cha−
rakteryzuje odpowiednia liczba stopni swobody.
W przypadku elementów bryłowych węzeł opisuje
się przez sześć stopni swobody: trzy przemieszcze−
nia (wzdłuż osi XYZ) oraz trzy rotacje (obrót wę−
zła dookoła osi XYZ); jest to wówczas model trój−
wymiarowy. W przypadku elementów płaskich
liczba stopni swobody zmniejsza się do trzech:
przemieszczenie wzdłuż osi XY oraz rotacja wokół
osi Z (model 2D). Przyjęcie punktów węzłowych
umożliwia aproksymację za pomocą funkcji apro−
ksymujących niezależnych parametrów węzło−
wych. Zmniejszanie elementów prowadzi do
zwiększania liczby wartości poszukiwanej funkcji
wartości węzłowych, co powoduje wydłużenie
czasu obliczeń. Przy prawidłowym odwzorowaniu
parametrów fizycznych elementu zmniejszenie ich
wielkości powoduje, że wartości węzłowe funkcji
poszukiwanej, stanowiące przybliżone rozwiązanie
zadania, zbliżają się do rozwiązania dokładnego.
Dokładność rozwiązania jest zatem zależna od
funkcji kształtu, czyli dokładności aproksymacji
wielkości fizycznych wewnątrz elementu.
Funkcje kształtu powinny spełniać poniższe
założenia. Między elementami nie jest wymagana
ciągłość pochodnych, jest możliwa dowolna postać
liniowa funkcji dobrana tak, aby było spełnione
kryterium stałej pierwszej pochodnej. Określenie
dla każdego elementu struktury macierzy służy
opisaniu jego własności. Na podstawie macierzy
elementów jest tworzona macierz dla całego ukła−
du. Macierz jest to prostokątna tablica wielkości,
należących do ciała K. Modyfikacja globalnej ma−
cierzy służy określeniu warunków brzegowych
i obciążenia ciała. Ostatecznie należy rozwiązać
podstawowy układ równań oraz na podstawie wy−
znaczonych parametrów węzłowych oblicza się
funkcje pochodnych.
Proces zamiany informacji, pochodzących
z obiektów rzeczywistych, na postać cyfrową
umożliwia ich przetworzenie w urządzeniach elek−
tronicznych, wykorzystujących kodowanie zero−
−jedynkowe oraz gromadzenie na nośnikach da−
nych. Wyniki przeprowadzonych badań można
przedstawić za pomocą programów komputero−
wych w postaci linii ekwipotencjalnych na ekranie
monitora lub w postaci wydruku. Każdy program
komputerowy, realizujący poszczególne etapy za−
dania MES, składa się z trzech modułów: przed−
procesora, procesora i postprocesora. Główne
funkcje polegają na przygotowaniu procesu obli−
czeń, budowaniu i rozwiązaniu stosownego ukła−
du równań oraz wydruku wyników i sporządzeniu
wykresów. Obliczenia większości rzeczywistych
konstrukcji wymagają wprowadzenia współrzęd−
nych wielu tysięcy węzłów. To zaleta metody, po−
nieważ ręczne wprowadzenie tych informacji by−
łoby obciążone dużym błędem, a czas obliczeń
wydłużyłby się [2–4].
Zastosowanie metody elementów skończo−
nych do analizy naprężeń, oprócz wielu zalet, ma
także wady. Są nimi wysokie koszty stosowanego
sprzętu oraz duży nakład pracy potrzebny na przy−
gotowanie i syntezę wyników. Rozwój nowych
technologii i efektywnego oprogramowania syste−
mów obliczeniowych, wykorzystujących MES,
Metoda elementów skończonych w analizie naprężeń
spowodowały, że metoda ta staje się integralną
częścią procesu projektowania.
Metoda elementów skończonych jest stosowa−
na do analizy stanu naprężeń w wielu skompliko−
wanych układach mechanicznych. Za pomocą me−
tody MES można badać wytrzymałość konstruk−
cji, dynamikę, kinematykę i statykę, symulację
odkształceń, naprężeń, przemieszczenia, a także
przepływy cieczy i ciepła. Znalazła ona zastoso−
wanie nie tylko w wielu dziedzinach techniki, ale
również w medycynie i bioinżynierii [5–7].
Zastosowanie MES
w stomatologii
Pierwsze na świecie próby zastosowania me−
tody elementów skończonych w stomatologii pod−
jęto dopiero w latach siedemdziesiątych ubiegłego
stulecia. Początkowo do analizy rozkładu naprę−
żeń w twardych tkankach zębów stosowano meto−
dy elastooptyczne, zwane fotoelastycznymi [8]. Ze
względu na mniejszą skuteczność i wyższy stopień
skomplikowania zastąpiono je metodami nume−
rycznymi [9]. Obecnie metodę elementów skoń−
czonych stosuje się do rozwiązywania różnych za−
gadnień mechanicznych w wielu dziedzinach sto−
matologii. Przedmiotem niniejszego opracowania
jest przegląd zastosowania metody MES do bada−
nia naprężeń, powstających w zdrowych zębach,
niedotkniętych procesem próchnicowym, pod
wpływem działania sił okluzyjnych.
Do przeprowadzenia analizy stanu naprężeń,
powstających w twardych tkankach zęba, mogą
być wykorzystane różne programy komputerowe,
pozwalające na utworzenie modelu zęba podobne−
go do jego budowy anatomicznej, z uwzględnie−
niem mechanicznych właściwości tkanek [10–18].
Duże znaczenie w tym względzie ma odpowiedni
sposób dyskretyzacji obszaru, odpowiadającego
kształtowi zęba, co zapewnia prawidłowy wynik
obliczeń. W miejscach spodziewanych niekorzyst−
nych naprężeń należy stosować gęstszą siatkę ele−
mentów skończonych do aproksymacji funkcji.
Uzyskana większa liczba niewiadomych prowadzi
bowiem do uzyskania bardziej dokładnego wyni−
ku [19].
Zastosowanie komputerowej symulacji umoż−
liwia przeprowadzenie analizy niekorzystnie dzia−
łających naprężeń, powstających w wyniku działa−
nia sił imitujących procesy zachodzące podczas
artykulacji w jamie ustnej. Siły zwarcia w zależno−
ści od wielkości, intensywności, czasu trwania
i kierunku występowania mogą powodować różny
stopień koncentracji naprężeń. Naprężenie wyraża
się miarą gęstości powierzchniowej sił wewnętrz−
nych, występujących w ośrodku ciągłym (Pa). Za−
653
leżność między naprężeniem a odkształceniem
określa się za pomocą prawa mechaniki Hooke’a,
według którego odkształcenie ciała pod wpływem
działającej siły jest wprost proporcjonalne do jej
wartości. W wielu opracowaniach podano maksy−
malne wartości sił zwarciowych [20–22]. Z punk−
tu biomechaniki wielkość sił, wyzwalanych przez
mięśnie przywodzące żuchwę, jest zależna od siły,
stopnia zmęczenia i napięcia mięśni podczas trwa−
nia skurczu, a także ich napięcia spoczynkowego
[23]. Energia wyzwalana podczas skurczu mięśni
jest przenoszona w postaci siły nacisku na twarde
tkanki zęba, a przez nie na dźwigary czaszki
w kierunku sklepienia, gdzie rozprasza się. Wiel−
kość powstających wówczas naprężeń zmienia
stan wytężenia twardych tkanek zęba i zwiększa
ich podatność na uszkodzenie [18, 24–25]. Mniej−
sze wartości niekorzystnych naprężeń stwierdza
się w obszarze zębiny, miazgi i tkanek przyzębia,
a największą kumulację niekorzystnych wielkości
w obrębie szkliwa [26–28]. Można to tłumaczyć
odpowiednią geometrią budowy i elastycznością
zębiny, które zwiększają jej odporność na działa−
nie sił. Anizotropia pryzmatów szkliwa wpływa
natomiast niekorzystnie na jego wytrzymałość.
Naprężenia rozciągające mają najbardziej nie−
korzystny wpływ na powstawanie odkształceń we−
wnątrz poszczególnych tkanek zęba. Są to naprę−
żenia powstające wówczas, gdy zwroty naprężeń
normalnych, działających na przeciwległych bo−
kach prostokąta o nieskończenie małych wymia−
rach, są skierowane na zewnątrz elementu [29].
Oceny stanu naprężeń w tym elemencie dokonuje
się zwykle na podstawie wartości trzech naprężeń:
τxy, σx, σy, których kierunki są związane z prosto−
kątnym układem współrzędnych (x, y). Napręże−
nia τxy to tzw. naprężenia styczne, których wartość
wynosi zero w przypadku zastąpienia trzech skła−
dowych stanu naprężenia – dwiema, tj. σ1, σ2 (na−
prężenie główne). Określone naprężenia są miarą
wytężenia, które jest określane jako największe
naprężenie normalne; Rc < σ1; σ2 < Rr, gdzie Rr
jest graniczną wytrzymałością materiału na rozcią−
ganie, a Rc jest graniczną wytrzymałością na ści−
skanie [18]. Naprężenia rozciągające są najczę−
ściej poziome i mają wartość dodatnią. Ich naj−
większą kumulację stwierdzono na powierzchni
policzkowej zębów. Powodują one, zgodnie z teo−
rią plastyczno−elastycznej deformacji, uszkodze−
nia w obrębie szyjki zęba [27, 30, 31]. Naprężenia
te powodują wytężenie szkliwa blisko połączenia
szkliwno−cementowego po stronie policzkowej
i w następstwie wykruszenie pryzmatów szkliwa
Naprężenia ściskające to naprężenia powstają−
ce w sytuacji, gdy zwroty naprężeń normalnych,
działających na przeciwległych bokach prostokąta
o nieskończenie małych wymiarach, są skierowa−
654
A. DOBOSZ, H. PANEK, K. DOBOSZ
ne do wewnątrz elementu. Powstają one pod wpły−
wem sił działających pionowo, mają wartości
ujemne i umiejscawiają się najczęściej po stronie
językowej zęba [29].
Ocena wielkości naprężeń ściskających i roz−
ciągających pozwala na obliczenie tzw. naprężenia
zredukowanego. Są to naprężenia obliczone z wy−
korzystaniem różnych hipotez wytężeniowych do
analizy pól naprężeń i odkształceń dla materiałów
izotropowych przy obciążeniach zgryzowych.
Twarde tkanki zęba są traktowane jako materiały
o wysokim stopniu izotropii i do ich badań wyko−
rzystuje się alternatywnie różne hipotezy wytęże−
niowe. Są to: hipoteza Treski−Guesta, hipoteza
Hubera−Misesa−Hencky’ego, hipoteza Burzyń−
skiego, hipoteza de Saint−Venanta, hipoteza Tai−
Wu [19]. Przykładem są Kierklo et al., którzy za−
stosowali hipotezę wytężeniową w modyfikacji
Beltramiego [32], Dejak zaś w analizie naprężeń
zredukowanych wykorzystała hipotezę Hubera−
−Misesa−Hencky’ego [16, 29]. Naprężenia zredu−
kowane powstają najczęściej na skutek działania
sił skośnych, skierowanych pod kątem 45° i są
zwane naprężeniami von Misesa. Długotrwałe
działanie sił rozciągających prowadzi do wzrostu
naprężeń zredukowanych i niekorzystnego wytę−
żenia twardych tkanek zęba w obrębie połączenia
szkliwno−cementowego [27]. Obszar szyjki zęba
jest szczególnie narażony na szkodliwe działanie
sił. Z piśmiennictwa wynika, że długotrwale utrzy−
mujące się lub powtarzające działanie czynników
wywołujących rozciąganie w tym obszarze prowa−
dzi ostatecznie do odłamywania się pryzmatów
szkliwa i tworzenia ubytków o charakterystycz−
nym kształcie klina i gładkich powierzchniach,
zwanych abfrakcjami [24].
Ubytki abfrakcyjne – klinowe są jednym z ro−
dzajów ubytków niepróchnicowego pochodzenia,
które powstają wskutek szkodliwego działania
niesymetrycznych naprężeń rozciągających i ich
kumulacji w obszarze szkliwa przyszyjkowego
podczas dużych obciążeń zęba [27, 31]. Teoria
udziału sił zwarciowych jako czynnika powodują−
cego kumulację niekorzystnie działających naprę−
żeń i powstawanie abfrakcji jest jednak przez nie−
których autorów podważana. Uważa się, że nie ist−
nieje bezpośredni dowód potwierdzający udział sił
zwarcia jako jedynego czynnika etiologicznego
w powstawaniu tych uszkodzeń [33–36]. Autorzy
są zgodni natomiast w stosunku do konieczności
natychmiastowego uzupełniania ubytków nie−
próchnicowego pochodzenia w celu zapobiegania
postępującemu procesowi zmian. Z piśmiennictwa
wynika, że na retencję [37] wypełnienia w ubytku
klinowym wpływają naprężenia powstające pod
wpływem sił zwarcia. Z wytrzymałościowego
punktu widzenia jednym z elementów decydują−
cych o trwałości wypełnienia jest jakość połącze−
nia adhezyjnego między tkanką zęba a materiałem
wypełniającym, którego miarą jest wytrzymałość
na ścinanie połączeń adhezyjnych. Na połączeniu
wypełnienia z tkanką twardą zęba powstają mię−
dzypowierzchniowe naprężenia, z których naj−
istotniejszą rolę mają naprężenia ścinające, które
wywołują ruch ślizgania się wzdłuż powierzchni
łączenia i prowadzą do zniszczenia wiązania. Z te−
go powodu, uwzględniając złożone oddziaływanie
na ząb zmiennych sił, należy dążyć do eliminacji
wszystkich zaburzeń okluzyjnych, które mogą
przyspieszać proces utraty wypełnienia z ubytku
klinowego.
W podsumowaniu należy stwierdzić, że zasto−
sowanie metody elementów skończonych do bu−
dowy i analizy modeli numerycznych ułatwia opis
pól naprężeń i odkształceń w twardych tkankach
zęba w różnych sytuacjach klinicznych. Metoda
elementów skończonych umożliwia realną ocenę
wytężenia twardych tkanek zębów i może poz−
wolić na opracowanie bardziej racjonalnych me−
tod zapobiegania uszkodzeniom zębów powsta−
łym pod wpływem sił okluzyjnych.
Piśmiennictwo
[1] ŁODYGOWSKI T., KĄKOL W.: Metoda elementów skończonych w wybranych zagadnieniach mechaniki konstrukcji
inżynierskich. Wyd. PP, Poznań 1994, 1–2.
[2] ZIENKIEWICZ O. C.: Metoda elementów skończonych. Arkady, Warszawa 1972, 63–84.
[3] TRIBIŁŁO R., SZYMANIAK E., WASZKIEL D., SYCZEWSKI M.: Zastosowanie metody elementów skończonych do ana−
lizy stanu naprężeń w tkankach twardych zęba. Czas. Stomat. 1989, 42, 1–7.
[4] HASKELL B., DAY M., TETZ J.: Computer−aided modeling in the assessment of biomechanical determinants of di−
verse skeletal patterns. Am. J. Orthod. 1986, 89, 363–382.
[5] ZYDOROWICZ P.: Doświadczalna analiza mechanizmu przeciążenia kręgosłupa lędźwiowego (praca doktorska).
Politechnika Wrocławska 1994.
[6] BERNAKIEWICZ M.: Opracowanie kryteriów odkształceniowo−naprężeniowych doboru implantów stawu biodrowe−
go (praca doktorska). Politechnika Wrocławska 1999.
[7] ŚCIGAŁA K.: Badania modelowe charakterystyk odkształceniowych stawu kolanowego (praca doktorska). Poli−
technika Wrocławska 2002.
[8] SZYMANIAK E., KIERKLO A., TRIBIŁŁO R.: Praktyczne zastosowanie metody elementów skończonych (MES) do
analizy naprężeń w tkankach zęba i wypełnieniu. Czas. Stomat. 1991, 44, 271–275.
655
Metoda elementów skończonych w analizie naprężeń
[9] FARAH J. W., CRAIG R. G., SITARSKIE D. L.: Photoelastic and finite stress analysis of a restored axisymmetric first
molar. J. Biomechanics 1973, 6, 511–520.
[10] CRAIG R. G., POWERS J. H., WATOHA J. C.: Materiały stomatologiczne. Urban & Partner, Wrocław 2000, 22–24.
[11] DEJAK B., MŁOTKOWSKI A.: Badanie naprężeń w zębach w zależności od wielkości części korzeniowej wkładów.
Stomat. Współcz. 1995, 2, 410–419.
[12] HO M. H., LEE S. Y., CHEN H. H., LEE M. C.: Three−dimensional finite element analysis of the effect of post on
stress distribution in dentin. J. Prosthet. Dent. 1994, 72, 367–372.
[13] HONG−SO Y., LISA A., YANG H. S. LANG L. A., GUCKES A. D., FELTON D. A.: The effect of thermal change on va−
rious dowel−and−core restorative materials. J. Prosthet. Dent. 2001, 86, 74–80.
[14] HABELITZ S., MARSHALL S. J., MARSCHALL G. W. JR., BALOOCH M.: Mechanical properties of human dental ena−
mel on the nanometre scale. Arch. Oral Biol. 2001, 46, 173–183.
[15] RESS J. S., JACOBSEN P. H.: Elastic modulus of the periodontal ligament. Biomaterials 1997, 18, 995–999.
[16] DEJAK B.: Wpływ anizotropowych właściwości szkliwa na naprężenia występujące w zębach trzonowych podczas
żucia. Prot. Stomat. 2004, 3,162–167.
[17] TRIBIŁŁO R., SZYMANIAK E., WASZKIEL D., SYCZEWSKI M.: Sposoby dyskretyzacji ośrodka i charakteryzowania
cech sprężystych tkanek twardych zęba. Czas. Stomat. 1989, 42, 109–115.
[18] KIERKLO A., TRIBIŁŁO R., WALENDZIUK A.: Zanik wyrostka zębodołowego a stan wytężenia w tkankach zęba
i przyzębiu. Czas. Stomat. 1996, 49, 487–494.
[19] MILEWSKI G.: Wytrzymałościowe aspekty interakcji biomechanicznej tkanka twarda–implant w stomatologii.
Zesz. Nauk. Pol. Krak. 2002, 89.
[20] WALTIMO A., KONONEN M.: Maximal bite force and its association with signs and symptoms of craniomandibular
disorders in young Finnish non−patients. Acta Odontol. Scand. 1995, 53, 54–58.
[21] AHLBERG J. P., KOVERO O. A., HURMERINTA K. A., ZEPA I., NISSINEN M. J., KONONEN M. H.: Maximal bite force
and its association with signs and symptoms of TMD, occlusion, and body mass index in a cohort of young adults.
Cranio 2003, 21, 248–252.
[22] LIPSKI T., CHLADEK W.: Wartości sił zgryzu w zależności od wieku i płci. Prot. Stomat. 1997, 47, 284–287.
[23] PICHUT M.: Czynniki wpływające na siły zgryzowe generowane w układzie stomatognatycznym. Porad. Stomat.
2003, 3, 9, 20–23.
[24] LEE W. C., EAKLE W. S.: Stress−induced cervical lesion: Review of advances in the past 10 years. J. Prosthet. Dent.
1996, 75, 487–494.
[25] KIERKLO A., SZYMANIAK E., TRIBIŁŁO R., WALENDZIUK A.: Zastosowanie metody elementów skończonych (MES)
do oceny naprężeń w zębie z kanałem wypełnionym gutaperką. Czas. Stomat. 1995, 48, 495–500.
[26] KAEWSURIYATHUMRONG C., SOMA K.: Stress of tooth and PDL structure created by bite force. Bull. Tokyo Med.
Dent. Univ. 1993, 40, 17–32.
[27] PALAMARA D., PALAMARA J. E., TYAS M. J., MESSER H. H.: Strain patterns in cervical enamel of teeth subjected to
occlusal loading. Dent. Mater. 2000, 16, 412–419.
[28] GOEL V. K., KHERA S. C., SINGH K.: Clinical implications of the response of enamel and dentin to masticatory
loads. J. Prosthet. Dent. 1990, 64, 446–454.
[29] DEJAK B.: Wpływ szerokości i głębokości wkładów koronowo−korzeniowych na naprężenia występujące w trzo−
nowcach podczas cyklu żucia. Prot. Stomat. 2004, 54, 86–92.
[30] LEE H. E., LIN C. L.,WANG C. H., CHENG C. H., CHENG C. H.: Stresses at the cervical lesion of maxillary premo−
lar – a finite element investigation. J. Dent. 2002, 30, 283–290.
[31] TANAKA M., NAITO T., YOKOTA M., KOHNO M.: Finite element analysis of the possible mechanism of cervical le−
sion formation by occlusal force. J. Oral Rehabil. 2003, 30, 60–67.
[32] KIERKLO A.: Studium hipotez wytrzymałościowych tkanek twardych kości i zęba. Zesz. Nauk. Polit. Biał., Bu−
downictwo 1997, 16, 95–106.
[33] LITONJUA L. A., ANDREANA S., BUSH P. J., TOBIAS T. S., COHEN R. E.: Noncarious cervical lesions and abfractions:
a re−evaluation. J. Am. Dent. Assoc. 2003, 134, 845–850.
[34] LITONJUA L. A., ANDREANA S., PATRA A. K., COHEN R. E.: An assessment of stress analyses in the theory of ab−
fraction. Biomed. Mater. Eng. 2004, 14, 311–321.
[35] LYONS K.: Aetiology of abfraction lesions. N. Z. Dent. J. 2001, 97, 93–98.
[36] RESS J. S., HAMMADEH M.: Undermining of enamel as a mechanizm of abfraction lesion formation: a finite ele−
ment study. E. J. Oral Sci. 2004, 112, 347–352.
[37] KIERKLO A.: Wpływ ubytku klinowego na stan wytężenia twardych tkanek zęba. Czas. Stomat. 1999, 52, 355–360.
Adres do korespondencji:
Anna Dobosz
Katedra i Zakład Protetyki Stomatologicznej AM
ul. Krakowska 26
50−425 Wrocław
tel. +48 71 784 02 90
e−mail: [email protected]
Praca wpłynęła do Redakcji: 1.08.2005 r.
Po recenzji: 20.10.2005 r.
Zaakceptowano do druku: 14.11.2005 r.
Received: 1.08.2005
Revised: 20.10.2005
Accepted: 14.11.2005