Część 4 (zmiany 20.11.2016)

Andrzej Pietruszczak
Materiały do wykładu
„Logiczne podstawy kognitywistyki”∗
Cześć
˛ 4
1. Różne rodzaje pojęć
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Jak już wcześniej stwierdziliśmy, poszczególne pojęcia mogą odnosić się do pojedynczych obiektów,
jak również do par uporządkowanych obiektów, ich trójek uporządkowanych itd.
Przykładowo słowo ‘kocha’ odnosi się do uporządkowanej pary osób, a nie do pojedynczej osoby.
Dlatego do pary uporządkowanej, gdyż może być tak, że osoba x kocha osobę y, a y nie kocha x-a. Zatem
para uporządkowana hx, yi spełnia wskazane pojęcie, a różna od niej para uporządkowana hy, xi już nie
spełnia. Ponadto, dana para uporządkowana, może być utworzona z jednego obiektu. Przykładowo, gdy x
kocha siebie, czyli x kocha x-a, to para uporządkowana hx, xi spełnia to pojęcie. Pary uporządkowane są
obiektami abstrakcyjnymi. Parę uporządkowaną hx, yi należy odróżnić zarówno od pary uporządkowanej
hy, xi, jaki i od pary nieuporządkowanej {x, y}. Pamiętamy, że w przypadku tych ostatnich, gdy x = y, to
{x, y} = {x} = {y}. Takiej redukcji nie ma zaś w przypadku par uporządkowanych.
Takie pojęcie, jak leżenie między odnosi się do trójki uporządkowanej. Chociaż w tym przypadku
można zamieniać miejscami elementy pierwszy i trzeci. Przykładowo, to pojęcie spełniają obie uporządkowane trójki hGdańsk, Sopot, Gdyniai i hGdynia, Sopot, Gdański, gdyż Sopot leży między Gdynią i
Gdańskiem. Oczywiście, znajdziemy też takie trójczłonowe relacje, dla których kolejność wszystkich
elementów będzie istotna. Mamy też czteroargumentowe pojęcia relacyjne, czyli takie, które odnoszą się
do czwórek uporządkowanych. Takim jest przykładowo pojęcie użyte z stwierdzeniu: punkt x jest tak
samo oddalony od punktu y, jak punkt u od punktu w (tu można zamieniać miejscami punkty x i y, oraz
punkty u i w).
Przykładami pojąć relacyjnych są także te, które związane są z takimi słowami, jak ‘przyjaciel’, czy
‘brat’. Słowa te tworzą relacje zachodzące pomiędzy parą ludzi: x jest przyjacielem y-a; x jest bratem
y-a. Ta ostatnia fraza ma znaczyć: x jest mężczyzną, który ma co najmniej jednego wspólnego rodzica z
y-iem.1 Również z relacyjnym pojęciem mamy do czynienia we frazie ‘x jest ojcem y-a’.
W jednej z poprzednich części stwierdziliśmy, że pojęcia, które nie są relacyjne, czyli takie, które
odnoszą się do pojedynczych obiektów, określamy mianem nazw. Jednakże do nazw zaliczymy również
innego rodzaju wyrażenia, które mają ustalone reguły znaczeniowe nie poprzez swoją treść. Dlatego też
nazwami zajmiemy się w oddzielnym punkcie.
Zauważmy, że niektóre nazwy mogą znaczyć to samo, co odpowiednie zwroty, w których występują
one same jako zwroty relacyjnych. I tak jest ze słowem ‘ojciec’. Mianowicie, możemy traktować frazę
‘x jest ojcem’ jako równoznaczną z frazą ‘x jest ojcem kogoś’. czyli: ‘istnieje osoba y taka, że x jest
ojcem y-a’. Z drugiej strony możemy też uważać, że sama nazwa ojcem ma to samo znaczenia, co zwrot
‘mężczyzna, który ma córkę i/lub syna’.2
Podobnie, gdy mówimy, że x jest ministrem, to mamy na myśli to, że x jest ministrem danego rządu.
∗
c 2016 Prawa autorskie do całości materiałów do wykładu z „Logicznych podstaw kognitywistyki” ma wyłącznie autor.
Oczywiście słowo ‘brat’ ma także inne znaczenia. W jednym z nich nie wyznacza już pojęcia relacyjnego, lecz ma
znaczyć: zakonnik bez święceń kapłańskich.
2
Także słowo ‘ojciec’ ma inne znaczenia. W jednym z nich ma znaczyć: zakonnik mający święcenia kapłańskie.
1
45
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
46
2. Zależność zakresu od treści
Treść danego pojęcia wyznacza jego zakres w tym sensie, że dla dowolnego obiektu x i dowolnego
pojęcia P zachodzi poniższa prawidłowość:
obiekt x jest desygnatem pojęcie P wtedy i tylko wtedy, gdy obiektowi x ma wszystkie
cechy występujące w treści pojęcia P.
(D)
Stąd wynika, że
Zakres pojęcia P składa się z wszystkich tych i tylko tych obiektów, które mają wszystkie
cechy występujące w treści pojęcia P, tj.
(Z)
Z(P) = { x : x ma wszystkie cechy z T(P) },
gdzie Z(P) i T(P) to odpowiednio zakres i treść pojęcia P.
Udowodnimy twierdzenie mówiące, że wszystkie pojęcia synonimiczne są koekstensywne:
Twierdzenie 2.1. Dla dowolnych pojęć P1 i P2 : jeżeli T(P1 ) = T(P2 ), to Z(P1 ) = Z(P2 ).
Wyrazimy to słowami: Jeśli pojęcia P1 i P2 mają identyczną treść, to mają też identyczny zakres.
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Dowód. Musimy wykazać, że prawdziwość założenia gwarantuje prawdziwość wniosku. Zatem załóżmy,
iż T(P1 ) = T(P2 ). Mamy pokazać, że Z(P2 ) = Z(P1 ).
Zakresy to zbiory dystrybutywne, a równość zbiorów dystrybutywnych pokazujemy stosując pewnik
ekstensjonalności, który głosi, że jeśli zbiory X i Y mają dokładnie te same elementy, to X = Y.
Bierzemy dowolny obiekt x i dokonujemy następujących przekształceń równoważnościowych: x jest
desygnatem pojęcia P1 wtw x ma wszystkie cechy występujące w treści pojęcia P1 wtw x ma wszystkie
cechy występujące w treści pojęcia P2 wtw x jest desygnatem pojęcia P2 . Najpierw zastosowano prawo
(D), następnie przyjęte założenie, a na koniec ponownie prawo (D) (lecz teraz w drugą stronę). Zatem
zbioryZ(P2 ) i Z(P1 ) mają dokładnie te same elementy, czyli Z(P2 ) = Z(P1 ).
CND
M
a te
r ia
ły
do
w
Uwaga 2.1. Przykład 4.2 z poprzedniej części pokazuje, że twierdzenie 2.1 nie jest odwracalne, tzn.
istnieje para koekstensywnych pojęć, które nie są synonimiczne. Innymi słowy, istnieją pojęcia o tym
samy zakresie, lecz o różnej treści. Takimi przykładowo są następujące nazwy: ‘zwierzę mające serce’
oraz ‘zwierzę mające nerki’.
⋄
Przypomnijmy, że zapis ‘T(P1 ) ≺ T(P2 )’ ma znaczyć, że treść pojęcia P1 jest częścią treści pojęcia P2 ,
albo inaczej mówiąc, treść pojęcia P1 jest węższa od treści pojęcia P2 . Znaczy to, że ogół cech związanych
z treścią pojęcia P1 jest węższy od ogółu cech związanych z treścią pojęcia P2 . Przyjęliśmy także, że zapis
‘T(P1 ) T(P2 )’ ma zaś znaczyć, że treść pojęcia P1 jest częścią albo całością treści pojęcia P2 . Inaczej
mówiąc, treść pojęcia P1 albo jest węższa albo identyczna z treścią pojęcia P2 .
Ponadto, skoro zakresy pojęć są zbiorami dystrybutywnymi, więc standardowo zapis ‘Z(P1 ) ⊆ Z(P2 )’
znaczy, że zakres pojęcia P1 zawiera się w zakresie pojęcia P2 , co jednak dopuszcza przypadek, w którym
oba zakresy są identyczne. Jeśli zaś to ostatnie jest wykluczone, to stosujemy zapis: ‘Z(P1 ) ( Z(P2 )’.
Przy powyższych oznaczeniach udowodnimy ciekawsze twierdzenie:
Twierdzenie 2.2. Dla dowolnych pojęć P1 i P2 : jeżeli T(P1 ) ≺ T(P2 ), to Z(P2 ) ⊆ Z(P1 ).
Wyrazimy to następującymi słowami: Jeśli treść pojęcia P1 jest węższa od treści pojęcia P2 , to zakres
pojęcia P2 zawiera się w zakresie pojęcia P1 .3
Dowód. Musimy wykazać, że prawdziwość założenia gwarantuje prawdziwość wniosku. Zatem załóżmy,
iż T(P1 ) ≺ T(P2 ). Mamy pokazać, że Z(P2 ) ⊆ Z(P1 ).4
Zakresy to zbiory dystrybutywne, a zawieranie się zbiorów dystrybutywnych znaczy, że każdy element jednego zbioru jest desygnatem drugiego.
Weźmy zatem dowolny obiekt x. Jeśli x desygnatem pojęcia P2 , to x ma wszystkie cechy występujące
w treści pojęcia P2 , na mocy prawa (D), Jednakże na mocy przyjętego założenia, T(P1 ) T(P2 ), więc
obiekt x ma również wszystkie cechy występujące w treści pojęcia P1 . A stąd, ponownie stosując prawo
3
Należy pamiętać, że użyty tu zwrot ‘zawiera się’ dopuszcza również identyczność treści (co nie jest zgodne z potocznym
użyciem tego zwrotu).
4
Dowód tego twierdzenia pokaże, że wystarczyłoby słabsze założenie: T(P1 ) T(P2 ), tj. dowodzimy: jeżeli T(P1 ) T(P2 ),
to Z(P2 ) ⊆ Z(P1 ). Jednakże przypadek, gdy T(P1 ) = T(P2 ) został już rozpatrzony w twierdzeniu 2.1. Zatem pozostał jedynie
przypadek, gdy T(P1 ) ≺ T(P2 ). I to ma właśnie pociągać: Z(P2 ) ⊆ Z(P1 ).
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
47
(D) (lecz teraz w drugą stronę), x jest także desygnatem pojęcia P1 . To pokazuj, że wszystkie desygnaty
pojęcia P2 są desygnatami pojęcia P1 . Zatem Z(P2 ) ⊆ Z(P1 ).5
CND
Przykład z uwagi 2.1 pokazuje, że także twierdzenie 2.2 nie jest odwracalne. Podaliśmy dwa pojęcia
o identycznych zakresach, lecz takich treściach, że żadna z nich nie jest częścią drugiej.
Uwaga 2.2. Czasami treść twierdzenia 2.2 odczytuje się następująco: Jeśli treść pojęcia P1 jest węższa od
treści pojęcia P2 , to zakres pojęcia P2 jest węższy od zakresu pojęcia P1 . Jest to jednak błędne odczytanie
tego twierdzenia.
Mianowicie, nie jest ogólnie prawdziwa następująca wersja twierdzenia: Jeżeli T(P1 ) ≺ T(P2 ), to
Z(P2 ) ( Z(P1 ). Tzn. można znaleźć pojęcia P1 i P2 , dla których założenie będzie prawdziwe, a wniosek
fałszywy, czyli zachodzi równość zakresów: Z(P2 ) = Z(P1 ).
Takimi pojęciami są przykładowo (patrz przykład 4.2 z poprzedniej części wykładów):
P1 = pojęcie zwierzęcia mającego serce,
P2 = pojęcie zwierzęcia mającego serce i nerki.
Mamy T(zwierzę mające serce) ≺ T(zwierzę mające serce i nerki), lecz
Z(zwierzę mające serce) = Z(zwierzę mające nerki)
= Z(zwierzę mające serce i nerki).
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Zatem nie zachodzi zawieranie właściwe.
Widzimy, że przykład ten jest sztucznie dobrany. Pojęcie P2 było złożeniem pojęcia P1 i innym pojęciem z nim koekstensywnym (tj. pojęciem o tym samym zakresie). Zatem to złożenie nie mogło zmienić
zakresu pojęcia P1 .
Często jednak (np. takich przypadkach jak pojęcia bycie kwadratem i bycie prostokątem), w twier⋄
dzeniu 2.2 symbol ‘⊆’ można zamienić na symbol ‘(’.
M
a te
r ia
ły
do
w
Przykład 2.1. Z ostatniego przykładu widzimy, że musimy posiadać określoną wiedzę o świecie (a nie
tylko znać treść wyrażeń), aby pokazać, iż dane dwie nazwy mają różną treść, lecz ten sam zakres.
Z geografii Polski wiemy, że takimi nazwami są przykładowo:
miasto wchodzące w skład Trójmiasta,
miasto leżące nad Zatoką Gdańską i mające ponad 30 tys. mieszkańców.
Desygnatami obu nazw są jedynie Gdańsk, Gdynia i Sopot. Zatem nazwy te mają wspólny zakres 
trójelementowy zbiór {Gdańsk, Gdynia, Sopot}.
⋄
Zadanie 2.1. Proszę wskazać inne nazwy niż w uwadze 2.1 i przykładzie 2.1, które są koekstensywne,
lecz nie są synonimiczne.
3. Zdania analityczne w sensie Kanta
Przez podstawowe rozumienie terminów jest takie ich rozumienie, które używamy «na codzień» i
przy ich używaniu nie potrzeba dodatkowych wyjaśnień. Zatem słowa ‘kwadrat’, ‘prostokąt’ i ‘kula’ mają
się odnosić do odpowiednich obiektów geometrycznych. Słowo ‘ojciec’ rozumiemy w sensie: mężczyzna
mający syna i/lub ma córkę (nie jest podstawowym rozumieniem użycie słowa ‘ojciec’ w sensie: zakonnik
ze święceniami kapłańskimi). Podstawowym sensem słowa ‘kawaler’ jest: mężczyzna, który niegdy nie
był żonaty.
Rozpatrzymy poniższe zdania przy podstawowym rozumieniu występujących w nich terminów:
1. Każdy kwadrat jest prostokątem.
2. Każda kula jest figurą geometryczną.
3. Każdy mężczyzna mający syna jest ojcem.
4. Każdy mężczyzna mający syna i/lub córkę jest ojcem.
5. Każdy kawaler jest nieżonatym mężczyzną.
6. Każdy kawaler jest mężczyzną, który niegdy nie był żonaty.
7. Każdy kartofel jest ziemniakiem.
Wszystkie one mają postać ‘Każde S jest P-em’. W zdaniach 1, 2, 3, 5 i 7 treść terminu stojącego w
orzeczeniu jest węższa od treści terminu stojącego w podmiocie, tj. T(P) ≺ T(S ). W zdaniach 4, 6 i 7
5
Gdyby pojęcie P2 było puste, tj. nie miało desygnatów, to jego zakres byłby zbiorem pustym, symbolicznie: Z(P2 ) = ∅.
Wiemy jednak, że zbiór pusty zawiera się w dowolnym zbiorze. Zatem otrzymujemy tezę Z(P2 ) ⊆ Z(P1 ) (bez korzystania z
przyjętego założenia).
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
48
treści obu terminów są identyczne, tj. T(P) = T(S ). Zatem w sądach 1–7 mamy T(P) T(S ), tzn. treść
terminu stojącego w orzeczeniu jest węższa lub równa treści terminu stojącego w podmiocie. Pamiętamy,
że w takich przypadkach mówi się również, że treść terminu S zawiera się w treści terminu P. Zatem użyty
tu zwrot ‘zawiera się’ dopuszcza również identyczność treści (co nie jest zgodne z potocznym użyciem
tego zwrotu).
Zdaniem analitycznym w sensie Kanta nazywamy dowolne zdanie ogólne postaci:
Każde S jest P-em,
dla którego T(P) T(S ), tzn. treść pojęcia P jest węższa lub równa (inaczej mówiąc: zawiera się w)
treści pojęcia S . Przykładami zdań analitycznych w sensie Kanta są zdania 1–7.
Na mocy twierdzeń 2.1 i 2.2, dla wszystkich zdań analitycznych w sensie Kanta zachodzi: Z(S ) ⊆
Z(P), tj. zakres pojęcia S zawiera się w zakresie pojęcia P. Biorąc pod uwagę określenie pojęcia zakresu
pojęcia, mówi to, że dystrybutywny zbiór S -ów zawiera się w dystrybutywnym zbiorze P.
4. Nazwy
4.1. Określenie
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Lapidarnie rzecz ujmując, nazwy to wyrażenia językowe, które mają odnosić się do obiektów (albo
inaczej, «nazywać» je). W pierwszej części wykładów podaliśmy, że znaczeniem danego wyrażenia językowego jest sposób jego używania w danym języku. Tak samo będzie dotyczyć nazw. Mianowicie, nazwy
muszą mieć ustalone reguły znaczeniowe. Reguły te mogą być związane ze sposobem użycia danej nazwy
i/lub z jej treścią.6 Zamiast wyrazu ‘treść’ można użyć wyrazów ‘sens’ lub ‘znaczenie’. W tym drugim
przypadku jednak znaczenie danej nazwy nie należy mylić z przysługującą jej regułą znaczeniową. Dodajmy, że reguła znaczeniowa danej nazwy może być powszechnie znana lub znana nielicznym osobom.
Mówiąc lapidarnie  podobnie jak w przypadku pojęć  nazwa to odpowiedni wyraz plus przysługująca mu reguła znaczeniowa. Wyjaśnimy to na odpowiednich przykładach:
1. Słowo ‘Warszawa’ odnosi się do kilku miast (w tym stolicę Polski oraz jakieś w USA), kin oraz do
marki samochodu. Jednak jeżeli chcemy użyć go jako nazwy (znaku!) musimy związać z tym wyrazem
odpowiednią regułę znaczeniową mówiącą w tym przypadku do czego odnosi się ten wyraz, tzn. musimy
ustalić sposób jego użycia. Tzn. musimy ustalić czy mówimy o marce samochodu, czy o kinie, czy o
mieście i oczywiście, o którym mieście.
2. Podobnie jest np. ze słowem ‘Jan’. Stanie się ono nazwą dopiero wtedy, gdy ustalimy, do którego
człowieka go odnosimy (z wyrazem ‘Jan’ związanych jest tyle nazw, ile jest osób noszących to imię).
Należy odróżnić imię ‘Jan’ od nazwy ‘człowiek noszący imię ‘Jan’ ’.
3. Wyraz ‘zamek’ (podobnie: ‘cylinder’, ‘babka’ itp.) ma różne treści (może być użyty w różnym
sensie; jest wieloznaczny). Wyraz ten dopiero wówczas staje się nazwą, gdy ustalimy w jakim sensie został
użyty, czyli gdy utworzymy z niego odpowiednie pojęcie. W tym przypadku reguła znaczeniowa nazwy
to sens użycia tego wyrazu. W rzeczywistości mamy kilka nazw (nierelacyjnych pojęć) utworzonych z
wyrazu ‘zamek’.
4.2. Nazwy indywidualne (własne) i nazwy generalne (ogólne)
Wśród nazw wyróżnimy nazwy indywidualne (inaczej nazwy własne) oraz nazwy generalne. Pierwsze nadajemy przedmiotom nie przypisując im przy tym żadnych cech. Natomiast te drugie przypisują
przedmiotom, o których są orzekane, określone cechy poprzez treść danej nazwy.
Przymiotnik użyty w określeniu drugiego rodzaju nazw jest oczywiście pochodzenia łacińskiego,
a termin ‘nazwy generalne’ znaczy miej więcej tyle, co: nazwy ogólne. Dodajmy, że ten termin odpowiada
dokładnie anielskiemu terminowi ‘general name’. Zatem równie dobrze zamiast o nazwach generalnych
moglibyśmy mówić o nazwa ogólnych, czyli mających ogólny sposób użycia, ogólnie stosowanych, odnoszących się ogólnie do różnych obiektów itd.
Jednakże, ze względów historycznych, w polskiej literaturze przedmiotu przyjęło się robić użytek
z istnienia w języku polskim dwóch przymiotników: obcego pochodzenia – ‘generalna’; i rodzimego –
6
W przypadku tworzenia pojęć znaczenie danego wyrażenia zastępujemy jego treścią znaczeniową i ona stanowi znaczenie
tego wyrażenia.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
49
‘ogólna’. Ten drugi stosuje się do nazw oznaczających więcej niż jeden obiekt (zob. następny punkt).7
W tym tekście nie będziemy stosować tradycji odróżniania terminów ‘nazwa generalna’ i ‘nazwa ogólna’.
Będziemy używać ich zamiennie.
Przykładami nazw indywidualnych są: ‘Warszawa’, ‘Wisła’, ‘Księżyc’, ‘Rysy’ i ‘0’. Zauważmy, że
obiekty oznaczane przez te nazwy są odpowiednio wskazywane przez następujące opisy: ‘stolica Polski’,
‘najdłuższa rzeka w Polsce’, ‘naturalny satelita Ziemi’, ‘najwyższa góra w Polsce’ i ‘najmniejsza liczba
naturalna’. Takie opisy  określane mianem deskrypcji  zaliczamy do nazw generalnych (albo inaczej:
ogólnych). Innymi przykładami nazw generalnych są: ‘miasto’, ‘rzeka’, ‘księżyc’, ‘góra’ i ‘liczba naturalna’. Powtórzmy, dlatego generalnych (ogólnych), gdyż nazwy te w ogólny sposób odnoszą się do obiektów.
Orzekając taką nazwę o danym obiekcie nadajemy mu odpowiednie cechy (związane z jej treścią).
4.3. Desygnaty nazwy. Zakres nazwy
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Tak jak w przypadku pojęć, desygnatem danej nazwy ma być każdy obiekt, do którego ona się odnosi obiekt (przy czym dana nazwa ma ustaloną regułę znaczeniową). Innymi słowy, desygnatem danej
nazwy jest każdy oznaczany («nazywany») przez nią obiekt. Zatem oznaczanie ma być relacją zachodzącą
pomiędzy nazwami a obiektami.
Nie można mylić pojęcia oznaczania z pojęciem znaczenia (treścią, sensem). Przykładowo, dana
nazwa może oznaczać obiekty fizyczne, a jej treścią zawsze jest obiekt abstrakcyjny, złożony z innych
obiektów abstrakcyjnych – cech (o ile ma ona jakąś treść).
Ze względu na ilość posiadanych desygnatów nazwy dzielimy na:
1. puste  każda z nich nie ma żadnego desygnatu (czyli nie oznacza żadnego obiektu);
2. jednostkowe  każda z ma dokładnie jeden desygnat;
3. pozostałe  każda z nich ma więcej niż jeden desygnat.
Jak już wspomnieliśmy w poprzednim punkcie, często w polskiej literaturze przedmiotu nazwy mające więcej niż jeden desygnat określa się mianem nazw ogólnych, czyli robi się użytek z istnienia w
języku polskim dwóch przymiotników: obcego pochodzenia – ‘generalna’; oraz rodzimego – ‘ogólna’.
My zaś będziemy stosować termin ‘nazwa ogólna’ w tym samym sensie, co termin ‘nazwa generalna’,
czyli będziemy zamiennie stosować te dwa terminy.
Także, tak jak w przypadku pojęć, zakresem danej nazwy ma być dystrybutywny zbiór jej wszystkich desygnatów, tj. dystrybutywny zbiór wszystkich oznaczanych przez nią obiektów. Zatem wszystkie
nazwy puste mają ten sam zakres  zbiór pusty ∅. Zakresem każdej z nazw jednostkowych jest jakiś
jednoelementowy zbiór (tzw. singleton), a pozostałe nazwy mają zakresy co najmniej dwuelementowe.
Na koniec dodajmy, że niektóre z nazw nie mają zakresu (jako zbioru dystrybutywnego wszystkich
swoich desygnatów). Tak jest np. z nazwami ‘zbiór dystrybutywny’ oraz ‘dystrybutywny zbiór, który nie
jest swoim elementem’, gdyż  jak pamiętamy  nie ma ani zbioru dystrybutywnego wszystkich zbiorów
dystrybutywnych, ani dystrybutywnego zbioru wszystkich dystrybutywnych zbiór, które nie są swoi elementami. Wydaje się, że przykłady nazw, które nie mają swoich zakresów znajdziemy wyłącznie wśród
tzw. nazw abstrakcyjnych.
4.4. Nazwy konkretne. Nazwy abstrakcyjne
Przyjmuje się, że dla obiektów fizycznych stosuje się także miano obiekt konkretny.8 Zatem, mówiąc
lapidarnie, takimi obiektami mają być te, które «bytują» w czasoprzestrzeni. Zatem lepsze byłoby tu pozostanie przy zwrocie ‘przedmiot fizyczny’. Jednakże, obiektom fizycznym (konkretnym) mają odpowiadać
nazwy określane mianem nazwa konkretna (a tu zupełnie nie pasowałby zwrot ‘nazwa fizyczna’).
Mianowicie, mówimy, że dana nazwa jest konkretna, gdy może oznaczać jedynie przedmioty konkretne. Zatem, gdy taka nazwa oznacza jakiś przedmiot, to każdy oznaczanych przez nią obiektów jest
fizyczny. Jeśli zaś taka nazwa okazuje się być pusta (tzn. nie oznacza żadnego obiektu), to gdyby coś
oznaczała, to musiałoby to być obiekt fizyczny.
7
W angielskiej literaturze przedmiotu nie robi się użytku z dwóch przymiotników. To czasami powoduje trudności w
tłumaczeniu. I tak chcąc zachować polską tradycję, angielski zwrot ‘empty general name’ musimy przetłumaczyć jako ‘pusta
nazwa generalna’, gdyż termin ‘pusta nazwa ogólna’ jest wewnętrznie sprzeczny (gdy stosujemy polską tradycję odnośnie terminu ‘nazwa ogólna’). Tłumacząc zaś na angielski polski termin ‘nazwa ogólna’ musimy użyć odpowiedniego opisu, gdyż użycie
‘general name’ nie odda tego, o co chodzi.
8
Oczywiście, «kłuci się to» z potocznym użyciem przymiotnika ‘konkretny’.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
50
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Przykładowo, załóżmy, że ustalmy mężczyznę, który nosi imię ‘Jan’ i który nie ma syna. W takim
przypadku nazwa ‘syn Jana’ jest pusta. Jest to jednak nazwa konkretna, gdyż gdyby wybrany Jan miał
syna, to jego syn byłby obiektem konkretnym (fizycznym). Nie można mylić desygnatu nazwy ‘syn Jana’
z jej treścią. Ta nazwa nie ma żadnego desygnat, lecz ma treść. Tą treścią jest pewien obiekt abstrakcyjny.
Jednakże, gdyby ta nazwa miała jakiś desygnat, to byłby on obiektem fizycznym, a nie abstrakcyjnym.
W opisanym przypadku, nazwa ‘syn Jana’ po prostu nie ma żadnego desygnatu, a nie jakiś «abstrakcyjny
desygnat», który mylimy z jej treścią (znaczeniem).
Innym przykładem pustej nazwy konkretnej jest termin ‘naturalny satelita Merkurego’. Wiadomo
przecież, że planeta Merkury nie ma żadnego satelity. Gdyby jednak takowy satelita istniał, to byłby
to przecież obiekt fizyczny.
Przykłady konkretnych nazw, już nie pustych, to: ‘miasto’, ‘rzeka’ ‘Księżyc’. Ta ostanie jest nazwą
jednostkową. Nie jest już taką nazwa ‘księżyc’, stosowana jako skrót zwrotu ‘naturalny satelita jakiejś
planety’.
Przedmiotami abstrakcyjnymi mają być te, które nie są fizyczne (konkretne). Zaliczymy do nich obiekty badane w matematyce (liczby, zbiory, funkcje itp.), jak również różnego rodzaju obiekty fikcyjne (np.
fikcji literackich, filmowych i tym podobnych fikcji).9
Mówimy, że dana nazwa jest abstrakcyjna, gdy może oznaczać jedynie przedmioty abstrakcyjne.
Zatem, gdy taka nazwa oznacza jakiś przedmiot, to każdy oznaczanych przez nią obiektów jest abstrakcyjny. Jeśli zaś taka nazwa okazuje się być pusta, to gdyby coś oznaczała, to musiałoby to być obiekt
abstrakcyjny.
Przykładowo, weźmy nazwę (deskrypcję; opis) ‘największa liczba naturalna’. Jest to nazwa pusta.
Ponadto, jest to nazwa abstrakcyjna, gdyż znaczenie użytych słów mówi, że gdyby istniał taki obiekt,
to byłby on abstrakcyjny (jak wszystkie liczby). Nie można mylić desygnatu nazwy ‘największa liczba
naturalna’ z jej treścią. Ta nazwa nie ma żadnego desygnat, lecz ma treść. Tą treścią jest pewien obiekt
abstrakcyjny. Nazwa ‘syn Jana’ po prostu nie ma żadnego desygnatu, a nie jakiś «abstrakcyjny desygnat»,
który mylimy z jej treścią (znaczeniem).
Przykłady abstrakcyjnych nazw, już nie pustych, to: ‘liczba’, ‘zbiór liczb naturalnych’, ‘zbiór dystrybutywny’, ‘funkcja matematyczna’, ‘najmniejsza liczna naturalna’ itp.
Widzimy więc, że nie należy mylić pojęcia bycia nazwą pustą z pojęciem bycia nazwą abstrakcyjną.
Oczywiście, niektórych z nazw nie zaliczymy ani do konkretnych, ani do abstrakcyjnych. Taką jest np.
uniwersalna nazwa ‘obiekt’ (‘przedmiot’). Istotnie, istnieją zarówno obiekty konkretne (fizyczne), jak i
abstrakcyjne. Podobnie jest z nazwą ‘zbiór kolektywny’. Mianowicie, jeśli dany zbiór kolektywny składa
się z samych obiektów fizycznych, to jest również obiektem fizycznym. W przeciwnym wypadku, jest to
obiekt abstrakcyjny.10
Uwaga 4.1. Niektóre z wieloznacznych (dwuznacznych) wyrażeń mogą sprawić nam tę trudność, że w
jednym ze swych znaczeń utworzą nazwę konkretną, a w innym zaś nazwę abstrakcyjną, a do tego w
pierwszym przypadku otrzymamy nazwę pustą, a w drugim niepustą.
Takim wieloznacznym słowem jest przykładowo ‘krasnoludek’. W jego zasadniczym, potocznym,
użyciu ten wyraz ma odnosić się do obiektów fizycznych, jednak nie oznacza żadnego z nich.11 Oczywiście, nazwa ta ma sens, jednak nie oznacza swego sensu. Innymi słowy, nazwa ta ma treść, lecz niczego
nie oznacza. To, że jest to nazwa konkretna wynika z tego, że jeśliby istniał jakiś krasnoludek (przyjętym
tutaj sensie słowa ‘krasnoludek’), to byłby to żywy osobnik (czyli obiekt konkretny).
Na podstawie słowa ‘krasnoludek’ tworzy się jednak inną nazwę, która tym razem ma się odnosić do
obiektów z fikcji literackich, czyli ma być nazwą abstrakcyjną. Mamy tu inne użycie słowa ‘krasnoludek’,
czyli powstaje druga nazwa z inną regułą znaczeniową.
⋄
•
•
•
•
Przykłady nazw jednostkowych znajdziemy w obu rodzajach nazw (abstrakcyjne; konkretne):
dystrybutywny zbiór liczb naturalnych
(abstrakcyjna i generalna; deskrypcja)
N
(abstrakcyjna i indywidualna)
dystrybutywny zbiór pusty
(abstrakcyjna i generalna; deskrypcja)
∅
(abstrakcyjna i indywidualna)
9
Niektórzy filozofowie odrzucają obiekty fikcyjne, czyli w ogóle nie zaliczają ich do obiektów abstrakcyjnych. Nie będziemy tutaj przeprowadzać szczegółowych analiz, gdyż nasze rozważania ma ją na celu jedynie zilustrować całe zagadnienie
nazw.
10
Pamiętamy, że wszystkie zbiory dystrybutywne są obiektami abstrakcyjnymi bez względu na «naturę» ich elementów.
11
Nie piszemy, że krasnoludki są obiektami fizycznymi, gdyż użyte w tym sensie słowo ‘krasnoludek’ niczego nie oznacza.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
51
najmniejsza liczba naturalna
(abstrakcyjna i generalna; deskrypcja)
0
(abstrakcyjna i indywidualna)
naturalny satelita Ziemi
(konkretna i generalna; deskrypcja)
Księżyc
(konkretna i indywidualna)
W obu rodzajach nazw (abstrakcyjne; konkretne) znajdziemy także przykłady, które nie są ani nazwami pustymi, ani jednostkowymi (tj. mają co najmniej dwa desygnaty):
• liczba naturalna
(abstrakcyjna i generalna)
• zbiór dystrybutywny
(abstrakcyjna i generalna)
• naturalny satelita Jowisza
(konkretna i generalna; deskrypcja)
• planeta
(konkretna i generalna)
•
•
•
•
4.5. Deskrypcje
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Deskrypcje to wyrażenia językowe, które mają wyróżniać (wskazywać) obiekty poprzez przypisanie
im jakichś cech. Zatem deskrypcje mają mieć charakter nazwowy, czyli możemy zaliczyć je do nazw
generalnych (ogólnych).
Napisaliśmy, że deskrypcje „mają wyróżniać (wskazywać)” (albo inaczej: «mają opisywać») obiekty.
Może się jednak zdarzyć, że dana deskrypcja nie robi tego do czego została stworzona. Przykładowo,
poniższe deskrypcje niczego nie opisują, gdyż nie ma takich obiektów, do których miałby one się odnosić:
• miasto leżące nad Drwęcką i mające ponad trzysta tysięcy mieszkańców,
• naturalny satelita Merkurego,
• największa liczna naturalna,12
• najmniejsza liczba całkowita,13
• liczba rzeczywista będąca pierwiastkiem kwadratowym z liczby −1,
• rozwiązanie równania ‘x2 + 1 = 0’ w liczbach rzeczywistych.14
Tak jak to było z nazwani generalnymi (ogólnymi), mianem pustych określamy wszystkie deskrypcje,
które nie wskazuję na żaden obiekt.
Skoro deskrypcje mają wskazywać obiekty, więc można je także podzielić ze względu na intencje
jaka przysługiwała nam, gdy tworzyliśmy daną deskrypcję. Czy z założenia miała ona służyć nam do
wyróżniania dokładnie jednego obiekt, czy miała opisywać pewną grupę obiektów? Z tym pierwszym
przypadkiem mamy do czynienia np. wówczas, gdy do budowy danej deskrypcji użyjemy takich słów jak
‘najwyższy(a,e)’, ‘najniższy(a,e)’, ‘największy(a,e)’, ‘najmniejszy(a,e)’ itp., czyli odpowiednich słów z
przedrostkiem ‘naj. . . ’. Takie są np. poniższe deskrypcje:
• najwyższa góra świata,15
• najdłuższa rzeka świata,16
• najmniejsza liczba naturalna,17
• największa liczna naturalna,
• najmniejsza liczba całkowita.
Treść każdej z powyższych deskrypcji wskazuje na to, że została utworzona po to, aby wyróżnić (poprzez
opis) dokładnie jeden obiekt. Jednakże  jak już wspomnieliśmy  nie robią tego dwa ostanie przykłady,
gdyż są to deskrypcje puste.
To, że deskrypcja ma wyróżniać tylko jeden obiekt może również wskazywać to, że zaczyna się ona
od słowa ‘jedyny(a,e)’. Przykładowo:
• jedyne rozwiązanie równania ‘x + 1 = 0’,
• jedyny syn Andrzeja.
Dokładniej, powyższe deskrypcje mają wskazywać na dokładnie jeden obiekt. W pierwszym przypadku tak właśnie jest (jedynym rozwiązaniem jest liczba −1). W drugim przypadku może okazać się, że
wyróżniony Andrzej w ogóle nie ma syna.
12
13
14
15
16
17
Nie ma takiej liczby, lecz gdyby była, to tylko jedna.
Jak powyżej.
Istnieje jednak rozwiązanie tego równania w liczbach zespolonych. Jest nim właśnie pierwiastek kwadratowy z −1.
Nie znając geografii możemy nie wiedzieć, że to jest Mont Everest.
Obojętne jest, czy tą rzeką jest Amazonka, czy też Nil  jest tylko jedna najdłuższa rzeka świata.
Jest nią liczba 0. Kiedyś, gdy 0 nie było zaliczane do liczb naturalnych, najmniejszą liczbą naturalną było 1.
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
52
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Czasami przy budowie deskrypcji zbędne jest dodawanie słowa ‘jedyny(a,e)’. Jest tak np. wówczas,
gdy dana deskrypcja ma przedrostek ‘naj. . . ’.18 Słowo ‘jedyny(a,e)’ opuszczamy również wówczas, gdy
wiemy, że dany opis (deskrypcja) odnosi się do dokładnie jednego obiektu. Tak właśnie jest z deskrypcją:
• naturalny satelita Ziemi.
Takich przypadkach deskrypcjom mogą odpowiadać nazwy własne. Np. powyższej deskrypcji odpowiada
nazwa własna ‘Księżyc’ (pisana przez wielkie ‘k’). Może jednak wydawać nam się, że dana deskrypcja
(opis) odnosi się do jakiegoś (jedynego) obiektu, a takiego obiektu nie ma. Przykładowo, kiedyś astronomowie sądzili, że pomiędzy Słońcem a Merkurym krąży jakaś planeta. Zatem sądzili, że deskrypcja:
• planeta krążąca wokół Słońca bliżej niż Merkury
opisuje dokładnie jeden obiekt. Tej domniemanej planecie nadano nawet imię ‘Wulkan’ (pisane przez
wielkie ‘w’).
Często opuszczamy formułując zdania po prostu opuszczamy słowo ‘jedyny(a,e)’. Tak będzie np. w
zdaniach, ‘Syn Andrzeja chodzi do szkoły’, czy ‘Naturalny satelita Merkurego krąży wokół Merkurego’.
Chcemy przez to powiedzieć, że Andrzej ma dokładnie jednego syna, a planeta Merkury ma dokładnie
jednego naturalnego satelitę.
Powstaje następujący problem (techniczny): Jakim mianem określić deskrypcje, które mają odnosić
się do dokładnie jednego obiektu? Narzuca się tutaj następujące rozwiązanie: deskrypcje jednostkowe.
Jednakże kłuci się ono z tym, że poprzednio mianem nazw jednostkowych określiliśmy nazwy, które
oznaczają dokładnie jeden obiekt. A przecież podaliśmy przykłady deskrypcji, które w zamierzeniu miały
odnosić się do dokładnie jednego obiektu, a okazały się być puste. Ponadto, istnieją takie deskrypcje,
których intencją było wskazanie dokładnie jednego obiektu, a mimo to wskazują one na więcej niż jeden
obiekt.19
Należałoby zatem przyjąć, że połączenie miana jednostkowa z mianem deskrypcja nie ma mówić,
że dana deskrypcja ma być nazwą jednostkową (tj. ma dokładnie jeden desygnat), lecz że jedynie była
taka intencja, gdy wprowadzaliśmy tę deskrypcję. Jednakże, możemy uniknąć wszelkich nieporozumień
poprzez użycie jakiegoś terminu pochodzenia obcego. Przykładowo, deskrypcjom o intencji jednostkowej
można nadać miano deskrypcji singularnych. Zauważmy, że oba słowa ‘singularna’ i ‘generalna’ powstają
w podobny sposób z obcych słów.
Będziemy mówić, że dana deskrypcja singularna (jednostkowa) jest skuteczna, gdy oznacza dokładnie jeden obiekt, czyli gdy okazuje się ona nazwą jednostkową.
Podobny problem mamy z deskrypcjami, których intencją jest ogólne odnoszenie się do obiektów, tzn.
ich intencją nie jest wskazywanie tylko jednego obiektu. Dla takich deskrypcji możemy przyjąć miana
ogólne, co miałoby wskazywać na ich intencję ogólnego opisywania grupy obiektów. Można też dla nich
użyć jakiegoś terminu obcego pochodzenia. Takim mianem może być np. deskrypcja pluralna.20 Oto
przykłady deskrypcji pluralnych:
1. miasto leżące nad Wisłą, mające więcej niż 50 tysięcy mieszkańców,
2. miasto leżące nad Pilicą, mające więcej niż 50 tysięcy mieszkańców,
3. miasto leżące nad Wisłą, mające więcej niż milion mieszkańców,
4. miasto leżące nad Pilicą, mające więcej niż 100 tysięcy mieszkańców,
5. liczba naturalna podzielna przez 2.
Wszystkie powyższe deskrypcje powstały po to, aby ogólnie opisywać obiekty, dopuszczają przy tym, że
będzie to jakaś grupa obiektów. Pomimo ogólnych intencji, czwarta z nich jest pusta, czyli nie odnosi się
do żadnego obiektu. Druga i trzecia z podanych pluralnych deskrypcji mają tylko po jednym desygnacie
(odpowiednio sa to miasta Warszawa i Tomaszów Mazowiecki). Zatem deskrypcje druga i trzecia są
nazwami jednostkowymi. Tylko pierwsza i piąta z deskrypcji oznaczają więcej niż jeden obiekt.
Często mamy do czynienia z nazwami indywidualnymi, które są skrótami deskrypcji singularnych
(jednostkowych). Jeżeli dana deskrypcja jednostkowa jest skuteczna, to powstaje w ten sposób nazwa
jednostkowa. Przykładowo:
• nazwa ‘0’ to skrót deskrypcji ‘najmniejsza liczba naturalna’.
18
W zapisach formalnych jednak zawsze, gdy chcemy wyróżnić dokładnie jeden obiekt, to dodaje się słowo ‘jedyny(a,e)’.
Przykładem takiej deskrypcji jest ‘stolica województwa kujawsko-pomorskiego’, która odnosi się do Bydgoszczy i Torunia, a wydawać by się mogło, że dane województwo może mieć tylko jedną stolicę. Podobnie jest z deskrypcją ‘stolica województwa lubuskiego’, która odnosi się do Gorzowa i Zielonej Góry. Można przyjąć, że deskrypcja ‘stolica Południowej Afryki’
ma aż trzy desygnaty: Pretoria (stolica egzekutywna), Kapsztad (stolica legislacyjna) i Bloemfontein (stolica sądownicza).
20
Miano deskrypcja generalna raczej nie wchodzi w grę, gdyż także deskrypcje o intencji jednostkowej (tj. singularne)
zaliczamy do nazw generalnych (ogólnych). Podobnie tę samą wadę ma miano deskrypcja ogólna.
19
Andrzej Pietruszczak: Materiały do wykładu „LPK” 2016/20017 – część 4
53
Gdy mamy już nazwę ‘0’, to wprowadzamy kolejne nazwy indywidualne:
• nazwa ‘1’ to skrót deskrypcji ‘liczba naturalna będąca następnikiem liczby 0’,
• nazwa ‘2’ to skrót deskrypcji ‘liczba naturalna będąca następnikiem liczby 1’, czyli nazwa ‘2’ to także
skrót deskrypcji ‘liczba naturalna będąca następnikiem następnika liczby 0’,
• nazwa ‘1000’ to skrót deskrypcji ‘liczba naturalna będąca następnikiem liczby 999’.
Ten proces możemy ciągnąć w nieskończoność według podanego schematu: nazwa ‘n’ to skrót deskrypcji
‘liczba naturalna będąca następnikiem liczby n − 1’. Oczywiście, trzeba wyliczyć n − 1 i podstawić do
powyższego schematu.21
Jak pamiętamy nie wszystkie deskrypcje singularne muszą być skuteczne (czyli oznaczać dokładnie
jeden obiekt). Czasami także dla takich deskrypcji stosowano skróty. Pamiętamy, że
• nazwa ‘Wulkan’ to skrót deskrypcji ‘planeta układu słonecznego krążąca bliżej Słońca niż Merkury’.
Skoro użyta deskrypcja okazała się nie być skuteczną, więc otrzymano nazwę, która «niczego nie nazywa», czyli nie odnosi się do żadnego obiektu. Zatem trudno zaliczyć ją do nazw własnych.
5. Zdania z czasownikiem ‘istnieje’
M
a te
r ia
ły
do
w
yk
ła d
uL
PK
,2
01
6/2
01
7
Z gramatycznego punktu widzenia słowo ‘istnieje’ jest czasownikiem nieprzechodnim, więc służy do
tworzenia gramatycznego orzeczenia. Jest to jednak orzeczenie specyficznego rodzaju. Mianowicie, nie
orzeka ono żadnych dodatkowych cech cech o obiekcie, o którym jest orzekane. Mówi się, że to słowo
‘istnieje’ nie tworzy tzw. predykatu. Predykatami mają być takie zwroty językowe, które służą do stwierdzenia, że dany obiekt ma jakąś cechę bądź jest w jakieś relacji z jakimś obiektem. Z logicznego punktu
widzenia, wyraz ‘istnieje’ raczej jest tzw. kwantyfikatorem (szczegółowym) niż predykatem. Dlatego też
zdaniom z czasownikiem ‘istnieje’ nadajemy trochę inną postać gramatyczną niż zdaniom zbudowanym
z użyciem predykatów.
Powyższe uwagi o czasowniku ‘istnieje’ są zgodnie z poglądami wielkiego niemieckiego filozofia
Immanuela Kanta. Według niego czasownik ‘istnieje’ nie jest orzecznikiem, albo  mówiąc bardziej fachowo  nie jest predykatem. Innymi słowy, nie służy do przypisywania obiektom żadnych własności.
Nawiązując do przykładu podanego przez Kanta, zapytajmy: czym miałaby się różnić złotówka w mojej
kieszeni, od istniejącej złotówki w mojej kieszeni? Czy zatem znajdziemy różnicę sensu dwóch poniższych zdań:
• Złotówka w mojej kieszeni jest czysta.
• Istniejąca złotówka w mojej kieszeni jest czysta.
Czy dodanie słowa ‘istniejąca’ zmienia sens pierwszego zdania? Podobnie zdanie:
• Złotówka w mojej kieszeni istnieje.
nic nie głosi o monecie w mojej kieszeni (złotówce), lecz raczej o mojej kieszeni, a dokładniej głosi, że
w mojej kieszeni znajduje się złotówka. Zatem lepszą formą powyższego zdania jest następujący zapis:
• Istniej złotówka w mojej kieszeni.
Skoro zatem z logicznego punktu widzenia czasownik ‘istnieje’ gra rolę kwantyfikatora, a nie predykatu, więc w przypadku gdy a jest nazwą jednostkową, lub deskrypcją singularną jednostkową lub
skrótem takiej deskrypcji, to zamiast zdania postaci:
a istnieje
używamy formy:
Istnieje a.
Oczywiście, jeśli a jest nazwą jednostkową (tj. wskazującą na dokładnie jeden obiekt), to w powyższy
sposób uzyskamy zdanie prawdziwe. Innymi słowy, przy takim założeniu prawdziwe jest zdanie postaci
‘Istnieje a’. Jeśli zaś a jest deskrypcją singularną bądź skrótem takiej deskrypcji, to zdanie ‘Istnieje a’
jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy deskrypcja a jest niepusta. Zatem, gdy a jest pusta deskrypcją
bądź skrótem takiej deskrypcji, to zdanie ‘Istnieje a’ jest fałszywe.
Widzimy więc, że zdania postaci ‘a istnieje’ są szczególnego rodzaju. Mianowicie wszystkie one mają
wartość logiczną, czyli są albo prawdziwe albo fałszywe. Bierze się to stąd, że zdania tego typu mówią
coś o świecie  mianowicie o tym, że jest w nim obiekt będący desygnatem wyrażenia a. Nie mówią zaś
o tym, że coś, co ma być przedstawione przez wyrażenie a ma «własność istnienia».
21
Istnieją jednak również takie nazwy jednostkowe, które nie są skrótami deskrypcji singularnych. Powstają one z jednoczesnym wskazaniem obiektu, który mają nazywać. Zatem tego rodzaju nazwy nie mogą być puste.