Filip Kawczyński

Dlaczego Russell o tym mówi?
- czyli problemy logiczne powodowane przez deksrypcje∗
F ilip Kawczyński
(1) Zawodność schematu dictum de omni
Wnioskowania podpadające pod prawo dictum de omni, czyli prowadzące od ∀ x φ (x) do φ (d), uchodzą za niezawodne.
Załóżmy, że x przebiega zbiór liczb całkowitych; φ reprezentuje warunek posiadania następnika; d reprezentuje deskrypcję: „liczba całkowita większa od 1 i mniejsza od 2”.
Wówczas, ∀ x φ (x) ⇒ φ (d) okazuje się fałszem, na mocy prawdziwości
poprzednika i fałszywości następnika.
(2) Uogólnianie egzystencjalne
Uogólnianie egzystencjalne to wnioskowanie prowadzące od φ (d) do
∃ x φ (x).
Określmy φ (d) jako d = d.
Wówczas, z d = d wyprowadzić należy wniosek: ∃ x (x = d), który jest
fałszem, jeżeli d nie spełnia warunku istnienia (tak, jak w przykładzie
(1) ).
Z drugiej strony przesłanka d = d jest z konieczności prawdziwa, na
mocy podstawienia w prawie identyczności x = x.
(3) Zasada wyłączonego środka
W języku teorii mnogości zasadę tę można sformułować jako:
(d ∈ A) ∨ (d ∈ −A)
Czyli, prawdziwe musi być jedno z dwóch zdań: (a) „Sześćdziesięciometrowy człowiek jest łysy”; (b) „Sześćdziesięciometrowy człowiek nie
jest łysy”. Jak wiemy, żadne z nich nie jest prawdziwe, bo nie istnieje
szcześćdziesięciometrowy człowiek.
∗
Na podstawie: W. Marciszewski, Logika formalna, PWN, 1987.
1
(4) Równoważność
W teorii mnogości, wyrażenia: (α) „¬ (d ∈ A)” oraz (β) „(d ∈ −A)” są
równoważne.
Przy założeniu, że A i −A są niepuste, jeżeli d nie spełnia warunku
istnienia, przestają być równoważne. Albowiem (α) jest prawdą, ponieważ d nie istnieje, więc nie należy do żadnego zbioru; natomiast (β)
jest fałszem, ponieważ implikuje ono, że ∃ x [ (x = c) ∧ (x ∈ −A)].
ROZWIĄZANIA RUSSELLA
Jedno z nich naturalnie już znamy. Polega ono na tym, by „pilnować”, aby do
wnioskowania nie wdarła się deskrypcja, która nie spełnia warunku jedyności
lub istnienia. To wystarczy do uniknięcia kłopotów (1) i (2).
Na problemy (3) i (4) (czyli zdania z negacjami) Russell podaje dodatkową receptę — rozróżnienie między prymarnym (P), a sekundarnym (S)
wystąpieniem deskrypcji. Na przykładzie deskrypcji (ιx)(φx) - „sześćdziesięciometrowy człowiek”, w zdaniu ∃ ! x [φ (x) ∧ ψ (x)] - „Sześćdziesięciometrowy
człowiek jest łysy”:
(P) ∃ ! x [φ (x) ∧ ¬ ψ (x)]
(S) ¬ ∃ ! x [φ (x) ∧ ψ (x)]
Te dwa rodzaje wystąpienia deskrypcji różnią się zasięgiem. W (S) zasięg
jest mniejszy — bycie łysym orzekane jest w pierwszym rzędzie o sześćdziesięciometrowym człowieku, a negowane dopiero w drugim kroku dotyczącym
całego zdania. W (P) zasięg jest szerszy — to, co orzekane o sześćdziesięciometrowym człowieku jest bardziej złożoną własnością bycia nie-łysym.
ad (3) Jeżeli pojmiemy alternatywę „Sześćdziesięciometrowy człowiek jest
łysy lub sześćdziesięciometrowy człowiek nie jest łysy” jako zawierającą sekundarne wystąpienie deskrypcji, człon negatywny (przeczączy istnieniu sześćdziesięciometrowego człowieka) jest prawdziwy, a
drugi człon jest fałszywy i w ten sposób ocaliliśmy zasadę wyłączonego środka.
ad (4) (α) może zostać przełożone zarówno na (P), jak i (S), podczas gdy
(β) tylko na (P). W związku z tym, wyrażenia te pozostaną równoważne, jeżeli oba zintepretujemy w sensie (P).
2
( ( Deser
((
Na deser, alternatywne rozwiązanie wskazanych problemów, zaproponowane przez Hintikkę1 . Jego zdaniem, należy pozbyć się wszelkich założeń
egzystencjalnych, takich jak dictum de omni, które zastąpione zostaje sformułowaniem;
Jeżeli ∀ x F (x) i jeżeli ∃ x (x = a), to F (a)
Zmodyfikowana zostaje również kontekstowa definicja deskrypcji (poprzez
pominięcie warunku istnienia):
a = (ι x) (φ x) zamiast [φ (a) ∧ ∀ x (φ (x) ⇒ x = a)]
Łącznie, te dwie formuły zapewniają uniknięcie problemu przedstawionego
w (1). Aby rozwiązać (2) należy analogicznie przeformułować zasadę uogólniania egzystencjalnego, na:
Jeżeli F (a) i ∃ x (x = a), to ∃ x F (x)
Aby uniknąć pułapek (3) i (4), należy ostrożniej sformułować definicję dopełnienia zbioru (zazwyczaj wyglądającą tak: (x ∈ −A ≡ ¬ (x ∈ A)), na
przykład w postaci warunkowej:
!
"
∃ x (x = d) ⇒ (d ∈ −A) ≡ ¬ (d ∈ A)
1
Hintikka podaje je, na przykład, w: Studies in the logic of existence and necessity,
„Monist” L, 1966, ss. 55-76.
3