TEORIA MIARY Lista 5 1. Jakie jest pole prostej na płaszczyźnie

TEORIA MIARY
Lista 5
1. Jakie jest pole prostej na płaszczyźnie? Uzasadnij.
2. Znajdź miarę Lebesgue’a sympleksu {(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd : 0 < x1 < ... < xd < 1}.
3. (a) Sprawdź, że funkcja R 3 x 7→ dxe jest mierzalna1 .
(b) Wykaż, że jeśli f jest funkcją mierzalną, to df e jest mierzalna.
4. Niech f będzie A/B mierzalna i A ∈ A. Sprawdź, że mierzalna jest funkcja:
f (x) gdy x ∈ A
g(x) =
0
gdy x ∈
/ A.
5. Uzasadnij, że granica dolna ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna.
6. Uzasadnij, że funkcja π1 (x1 , x2 , x3 ) = x1 , gdzie x1 , x2 , x3 ∈ R, jest (borelowsko) mierzalne. Opisz σ-ciało π1−1 (B(R)). Sprawdź, że π2 (x1 , x2 , x3 ) = x2 nie jest π1−1 (B(R))mierzalna. Opisz σ-ciało generowane (razem) przez π1 i π2 .
7. Przypomnij, co to jest transport miary przez przekształcenie mierzalne i uzasadnij,
że miara Lebesgue’a zwiększa się przy transporcie przez funkcję f (x) = x/2, x ∈ Rd .
8. Niech Ω = {OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR}, A = P(Ω), µ({ω}) =
1/8 dla każdego ω ∈ Ω. Podaj rozkład liczby wystąpień "O" w ω.
P
9. Ile najwięcej różnych wartości może mieć funkcja liczbowa f (x) = ni=1 yi 1Ai (x)?
10. Udowodnij, że f ∈ E implikuje g(f ) ∈ E dla dowolnej (liczbowej) funkcji g.
11. Wykaż, że jeżeli f i g > 0 są mierzalne, to f /g też.2
***3
12. Oblicz λd ({(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd : 0 < x1 < x1 + x2 < ... < x1 + x2 + . . . + xd < 1}).4
13. Oblicz pole elipsy {(x, y) ∈ R2 : 2x2 + (y − 3)2 /4 ≤ 52 } wychodząc od zadania 2 z
listy 1.
14. Niech (X, A) będzie przestrzenią miarową i niech f : X → R. Udowodnij, że f jest
mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy {x ∈ X : f (x) > a} ∈ A dla każdego a ∈ Q.
15. Wykaż, że jeśli f jest funkcją mierzalną, to f 2 jest mierzalna.
16. Rozwijając zadanie 8, podaj rozkład kwadratu liczby orłów w trzech rzutach monetą.
17. Oblicz λ ◦ arctg−1 ([−π/4, π/4]).
1
tzn. borelowsko mierzalna; tutaj dxe oznacza zaokrąglenie x w górę
Można użyć funkcji prostych albo zauważyć, że funkcja (x, y) 7→ x/y jest ciagła dla y > 0.
3
Zadania następujące po *** są pulą rezerwową i materiałem do pracy własnej.
4
Użyj odpowiedniego przekształcenia liniowego.
2