Wstęp do teorii miary

Wstęp do teorii miary
SPPI, rok II
Wykład 9
1. Dalsze fakty o funkcjach mierzalnych
Twierdzenie 1 Niech c ∈ R i niech f , g będą funkcjami mierzalnymi o tej samej (mierzalnej) dziedzinie. Wtedy funkcje f + c, cf , |f |, f + g, f − g i f g są mierzalne. Jeśli g nie
przyjmuje wartości zero, to także funkcja fg jest mierzalna.
Dowód
{x : f (x) + c > a} = {x : f (x) > a − c} ,
a to jest zbiór mierzalny, o ile f jest mierzalna. To daje mierzalność f + c. Podobnie,
(
{x : cf (x) > a} =
x : f (x) > ac
dla c > 0
a
x : f (x) < c
dla c < 0
a dla c = 0 jest to zbiór pusty lub cała dziedzina. Zawsze jednak jest to zbiór mierzalny.
Dla |f |:
{x : |f (x)| > a} = {x : f (x) > a} ∪ {x : f (x) < −a}
jest sumą zbiorów mierzalnych.
Rozważmy teraz f + g. Warunek f (x) + g(x) > a jest równoważny warunkowi f (x) >
a − g(x). Ponieważ w każdym odcinku można znaleźć liczbę wymierną, f (x) > a − g(x)
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba wymierna r spełniająca f (x) > r > a − g(x). Zatem
{x : f (x) + g(x) > a} =
[
({x : f (x) > r} ∪ {x : r > a − g(x)}) ,
r∈Q
co jest mierzalne.
Mierzalność f − g wynika z poprzednich dla c = −1.
Zauważmy teraz, że gdy f jest mierzalna, to f 2 też, bo
n
o
x : f 2 (x) > a = x : f (x) >
√ √ a ∪ x : f (x) < − a
dla a ­ 0, zaś dla a < 0 zbiór x : f 2 (x) > a jest całą dziedzina. Stąd f g = 21 [(f + g)2 −
f 2 − g 2 ] jest mierzalna.
Aby udowodnić, że fg jest mierzalna wystarczy pokazać teraz, że g1 jest mierzalna. Zostawiamy to jako ćwiczenie. Wniosek 2 Jeśli f i g są funkcjami mierzalnymi, to {x : f (x) < g(x)}, {x : f (x) ¬ g(x)}
i {x : f (x) = g(x)} są zbiorami mierzalnymi.
Twierdzenie 3 Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji mierzalnych o jednakowej dziedzinie.
Wtedy funkcje inf fn , sup fn , lim inf fn i lim sup fn są mierzalne.
n
n
n→∞
n→∞
Dowód Wykorzystać równości
n
o
x : inf fn (x) < a =
n
{x : fn (x) < a} ,
n
x : sup fn (x) > a =
n
[
{x : fn (x) > a} ,
n
lim inf fn = sup inf fk ,
n
\
lim sup fn = inf sup fk .
n k>n
n
n k>n
Fakt 4 Funkcja
1A jest mierzalna ⇔ zbiór A jest mierzalny.
Definicja 1 Funkcję f : R → R nazywamy borelowską, gdy jest mierzalna względem σ-ciała
borelowskiego.
Twierdzenie 5 Funkcje ciągłe f : R → R są borelowskie (to samo twierdzenie jest prawdziwe w dowolnych przestrzeniach topologicznych).
2. Funkcje proste
Definicja 2 Funkcję f : X → R nazywamy prostą, gdy jej zbiór wartości jest skończonym
podzbiorem R
W szczególności, każda funkcja charakterystyczna jest prosta.
Każda funkcja prosta jest postaci
f (x) =
n
X
ci · 1Ei .
i=1
Wystarczy przyjąć, że {ci : i = 1, ..., n} jest zbiorem wartości f , a Ei = {x : f (x) = ci }.
Fakt 6 Funkcja prosta f (x) =
E1 , ..., En są mierzalne.
Pn
i=1 ci
· 1Ei jest mierzalna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiory