Całka i jej własności.

Wykład 10
1
Funkcje mierzalne
Przez R̄ będziemy oznaczali zbiór liczb rzeczywistych uzupełniony o dwa elementy: −∞, +∞.
Przyjmujemy, że przedziały (a, +∞ >, < −∞, a), a ∈ R są zbiorami otwartymi w R̄.
Definicja 1.1 (funkcja mierzalna) Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Funkcję f : X 7−→
R̄ nazywamy mierzalną względem σ-ciała M (lub krótko M − mierzalną), jeśli f −1 (G) ∈ M
dla każdego zbioru G otwartego w R̄.
Uwaga: definicja ta przenosi się bezpośrednio na odwzorowania o wartościach w dowolnej
przestrzeni metrycznej (a nawet topologicznej :-))
Przykład:
• Dowolna funkcja stała jest mierzalna.
• Jeśli f : R → R jest ciągła, to jest mierzalna.
Twierdzenie 1.1 Jeśli A ∈ M oraz f : A → R̄, to następujące warunki są równoważne:
a) funkcja f jest M-mierzalna;
b) dla każdego przedziału P postaci P =< −∞, a), a ∈ R zachodzi:
(*)
f −1 (P ) ∈ M;
c) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< −∞, a >, a ∈ R;
d) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P = (a, +∞ >, a ∈ R;
e) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< a, +∞ >, a ∈ R.
Twierdzenie 1.2 Niech f : X → R̄ - M - mierzalna, g : R̄ → R̄ - ciągła. Wtedy złożenie
g ◦ f jest M - mierzalne.
Twierdzenie 1.3 Jeśli funkcja f : A → R̄ jest M-mierzalna, to: ∀a∈R̄ zbiory {x ∈ X : f (x) =
a}, {x ∈ X : f (x) 6= a} są mierzalne
Twierdzenie 1.4 Jeśli funkcje f, g : A → R̄ są M-mierzalne oraz suma f +g jest wykonalna
(tzn. dla żadnego x ∈ A liczby f (x) i g(X) nie są jednocześnie nieskończonościami różnych
znaków), to jest ona funkcją mierzalną. Podobnie dla funkcji f − g,
f · g, max{f, g}, min{f, g}.
Definicja 1.2 Częścią nieujemną funkcji f nazywamy funkcję f + = max{f, 0}, a częścią
niedodatnią f − = max{−f, 0}.
Stwierdzenie 1.1 Następujące warunki są równoważne:
1
(i) f jest mierzalna;
(ii) f + i f − są mierzalne;
(iii) |f | i jedna z funkcji f + , f − jest mierzalna.
Definicja 1.3 (granica górna i dolna) Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji o wartościach
w R̄ określonych na przestrzeni X. Granicą górną ciągu funkcyjnego (fn )n∈N nazywamy funkcję:
lim sup fn (x) = n→∞
lim (sup{fn+k (x) : k ∈ N}).
n→∞
Analogicznie, granicą dolną nazywamy funkcję:
lim
inf fn (x) = n→∞
lim (inf{fn+k (x) : k ∈ N}).
n→∞
Zauważmy, że granice te zawsze istnieją (skończone lub nie), gdyż ciągi:
(sup{fn+k (x) : k ∈ N})n∈N , (inf{fn+k (x) : k ∈ N})n∈N
są monotoniczne (odpowiednio nierosnący i niemalejący). Bezpośrednio z definicji wynika
następujące
Stwierdzenie 1.2
∀x∈X
lim
inf fn (x) ¬ lim sup fn (x),
n→∞
n→∞
przy czym powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica
lim n → ∞fn (x) (i jest ona wtedy oczywiście równa granicy dolnej i górnej).
Stwierdzenie 1.3 Niech (fn )n∈N będzie ciągiem funkcji o wartościach w R̄ określonych na
przestrzeni X M-mierzalnych. Wtedy funkcje lim supn→∞ fn i lim inf n→∞ fn są mierzalne.
Ponadto zbiór A = {x ∈ X : limn→∞ fn (x)istnieje} jest mierzalny i granica limn→∞ fn jest
funkcją mierzalną.
2
Konstrukcja całki Lebesgue’a
Uwaga: mówiąc ”funkcja nieujemna” mamy na myśli funkcję ze zbioru X ⊂ R o wartościach
w R̄+ .
Definicja 2.1 funkcją charakterystyczną zbioru A ⊂ X nazywamy funkcję χA : X → R
określoną wzorem:
(
1 dla x ∈ A
χA (x) =
0 dla x ∈
/A
Definicja 2.2 Funkcją prosta nazywamy funkcję o skończonym zbiorze wartości.
Każdą funkcję prosta można przedstawić w następującej postaci:
f=
n
X
ai χAi , gdzie Ai = {x ∈ X : f (x) = ai }
i=1
2
Twierdzenie 2.1 Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzalną, to istnieje niemalejący ciąg fn
funkcji prostych nieujemnych i mierzalnych, takich że ∀x∈X limn→∞ fn (x) = f (x).
Definicja 2.3 Niech fn = ni=1 ai χAi - nieujemna funkcja prosta mierzalna określona na
zbiorze X. Całką funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę (skończoną lub nie):
P
Z
f (x)dµ =
X
n
X
ai µ(Ai ).
i=1
Definicja 2.4 Niech f -nieujemna, mierzalna funkcja, fn - ciąg nieujemnych mierzalnych
funkcji prostych zbieżnych punktowo do f . Całką na zbiorze X funkcji f względem miary µ
nazywamy liczbę:
Z
Z
f (x)dµ(x) = n→∞
lim
fn (x)dµ(x).
X
X
Definicja 2.5 Niech f - funkcja mierzalna. Jeśli przynajmniej jedna z wielkości:
Z
Z
+
f (x)dµ(x);
X
f − (x)dµ(x)
X
jest skończona, to całką funkcji f względem miary µ nazywamy:
Z
f (x)dµ(x) =
X
Z
+
f (x)dµ(x) −
X
Z
f − (x)dµ(x).
X
Definicja 2.6 Funkcję mierzalną f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a na zbiorze A
jeśli:
Z
f (x)dµ(x)
A
jest skończona.
Definicja 2.7 Niech A ⊂ X. Całkę na mierzalnym zbiorze A ⊂ X funkcji f względem miary
µ definiujemy:
Z
Z
f (x)dµ(x) =
f (x)χA (x)dµ(x)
A
X
3