ECTS – Arkusz przedmiotu

ECTS – Arkusz przedmiotu
Nazwa
przedmiotu
Kod
ANALIZA MATEMATYCZNA I
Prowadzący przedmiot Prof. dr hab. Petru Cojuhari
Osoby prowadzące
zajęcia
Klasa przedmiotu
Rodzaj
przedmiotu
P
C
Wydział Matematyki Stosowanej
Kierunek Matematyka
Rodzaj studiów
Rodzaje zajęć *
Liczba godzin
stacjonarne
Suma
Wykłady
120
60
Stopień studiów pierwszy
Ćwiczenia Laboratoria Seminaria
60
Semestr
Projekty
I
ECTS
12
WWW
Uwagi
Cel przedmiotu - zdobyte umiejętności
Opanowanie umiejętności obliczania granic ciągów i funkcji jednej zmiennej, badania
zbieżności ciągów i szeregów liczbowych, obliczania pochodnych oraz badania
przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej.
Streszczenie przedmiotu
Liczby rzeczywiste. Podstawowe funkcje elementarne i ich własności. Ciągi i szeregi
liczbowe. Granice funkcji. Funkcje ciągłe i ich własności. Różniczkowanie funkcji
zmiennej rzeczywistej. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego. Ekstrema
funkcji. Badania przebiegu zmienności funkcji. Całka nieoznaczona.
Warunki uczestnictwa brak
w przedmiocie
Forma zaliczenia Zaliczenie ćwiczeń na podstawie oceny aktywności studenta i
przedmiotu kolokwiów pisemnych; egzamin pisemny i ustny.
Zasada wystawiania Średnia ważona: zaliczenie z wagą 1/3 plus egzamin z wagą 2/3.
oceny końcowej
Program wykładów
1. Ciało liczb rzeczywistych. Konstrukcja Dedekinda ciała liczb rzeczywistych (twierdzenie o
istnieniu). Twierdzenie o jednoznaczności (bez dowodu).
2. Uporządkowanie zbioru liczb rzeczywistych. Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych. Krańce
zbiorów liczbowych. Rozszerzony układ liczb rzeczywistych.
3. Odwzorowania (funkcje) – podstawowe określenia. Sposoby określenia funkcji. Wykres
funkcji. Ważniejsze klasy funkcji. Superpozycja funkcji. Pojęcie funkcji odwrotnej. Funkcje
cyklometryczne (kołowe).
4. Ciągi liczbowe. Granica ciągu. Ciągi zbieżne/rozbieżne. Twierdzenie o ograniczoności
ciągu zbieżnego. Twierdzenie o arytmetyce granic ciągów. Granice niewłaściwe
(nieskończone) ciągu. Wyrażenia nieoznaczone. Przejście do granicy w równości i w
nierówności. Twierdzenie o trzech ciągach.
5. Podciągi. Twierdzenie o granicy podciągu. Granica częściowa. Punkty skupienia ciągu.
Granice dolna i górna.
6. Twierdzenie Weierstrassa o ciągu monotonicznym i ograniczonym. Liczba e .
7. Zasada Cantora o zstępujących przedziałach. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągach
ograniczonych.
8. Ciągi Cauchy'ego. Własności. Kryterium zbieżności Cauchy'ego.
9. Ciągi zespolone. Granice ciągów zespolonych. O przenoszenie podstawowych pojęć oraz
twierdzeń o zbieżności ciągów (tzn. twierdzenie o arytmetyce granic ciągów; ciągi
ograniczone; twierdzenie Bolzano-Weierstrassa o ciągach ograniczonych; zasada Cantora kul
zstępujących (ściągających się do punktu); ciągi Cauchy'ego oraz kryterium Cauchy'ego) na
przypadek ciągów zespolonych.
10. Szeregi liczbowe. Sumy częściowe szeregu. Szeregi zbieżne/rozbieżnie. Suma i reszta
szeregu. Twierdzenie o zbieżności reszty szeregu. Warunek konieczny zbieżności szeregu.
Ogólne kryterium Cauchy'ego zbieżności szeregu.
11. Szeregi o wyrazach nieujemnych. Twierdzenie o porównaniu szeregów. Kryteria zbieżności
Cauchy'ego, d'Alemberta i inne.
12. Zbieżność bezwzględna i zbieżność warunkowa. Twierdzenie o zbieżności szeregów
zbieżnych bezwzględnie. Szeregi naprzemienne. Twierdzenie Leibniza o zbieżności szeregu
naprzemiennego.
13. Przekształcenie Abela (sumowanie częściowe). Kryteria Abela i Dirichleta.
14. Zmiana kolejności sumowania. Prawo przemienności szeregów bezwzględne zbieżnych.
Twierdzenie Riemanna o sumie szeregu warunkowo zbieżnego.
15. Szeregi o wyrazach zespolonych. Podstawowe twierdzenia o zbieżności.
16. Granice funkcji (definicje). Granice jednostronne. Warunki istnienia granicy funkcji.
Twierdzenie o arytmetyce granic funkcji. Twierdzenie o granicy funkcji złożonej. Granica funkcji
monotonicznej. Ogólne kryterium Bolzano-Cauchy'ego.
17. Granice nieskończone i granice w nieskończoności. Klasyfikacja wielkości nieskończenie
małych i nieskończenie dużych. Symbole o, O. Asymptoty funkcji.
18. Funkcje ciągłe (definicje). Działania na funkcjach ciągłych. Superpozycja funkcji ciągłych.
Ciągłość jednostronna. Warunki ciągłości funkcji. Nieciągłość funkcji. Klasyfikacja nieciągłości
(rodzaje nieciągłości).
19. Ciągłość funkcji monotonicznej. Twierdzenie o ciągłości funkcji odwrotnej. Twierdzenie
Bolzano-Cauchy'ego o zerowaniu się funkcji. Twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego o wartości
średniej.
20. Twierdzenie Weierstrassa o ograniczoności funkcji. Najmniejsza i największa wartość
funkcji. Oscylacja funkcji, moduł ciągłości. Pojęcie ciągłości jednostajnej. Twierdzenie Cantora.
21. Pochodne funkcji (definicje). Interpretacja geometryczna pochodnej. Interpretacje fizyczne.
Równanie stycznej do wykresu funkcji. Pochodne jednostronne. Warunki istnienia pochodnej.
22. Ciągłość i różniczkowalność. Różniczka. Reguły różniczkowania. Niezmienniczość wzoru
na różniczkę. Pochodne i różniczki wyższych rzędów.
23. Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego: twierdzenie Fermata; twierdzenie
Rolle'a; twierdzenie Lagrange'a; twierdzenie Cauchy'ego; twierdzenia de L'Hospitala.
24. Wielomiany Taylora i Maclaurena. Wzór Taylora z resztą Peana. Reszta w postaci
Lagrange'a i inne. Rozwinięcie Taylora/Maclaurina funkcji elementarnych.
25. Warunek monotoniczności funkcji. Ekstrema lokalne funkcji. Warunki konieczne oraz
warunki dostateczne istnienia ekstremum. Ekstrema globalne.
26. Funkcje wypukłe i wklęsłe. Warunki wypukłości oraz wklęsłości funkcji. Punkty przegięcia.
Konstrukcja wykresów funkcji.
27. Pojęcie funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Reguły całkowania. Całkowanie przez
części. Zamiana zmiennych.
28.
Całkowanie funkcji wymiernych. Całkowanie pewnych wyrażeń zawierających pierwiastki,
funkcje trygonometryczne i inne.
Program pozostałych zajęć (ćwiczenia, laboratoria, projekty, seminaria)
Ćwiczenia: rozwiązywanie zadań dotyczących treści przekazywanych na kolejnych
wykładach.
Bibliografia
1. J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, WNT, 1997.
2. G. N. Berman, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1977.
3. G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
4. J. Kaczor, M. T. Nowak, Zadania z analizy matematycznej, t. 1, 2. Warszawa, PWN, 2005.
5. W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, Warszawa, PWN, 1982.
* Rodzaje zajęć: ćwiczenia – ćwiczenia audytoryjne, lektoraty, zajęcia wf,
laboratoria – ćwiczenia laboratoryjne, zajęcia praktyczne, zajęcia terenowe, seminaria – seminaria,
konwersatoria, projekty – ćwiczenia projektowe, prace kontrolne i przejściowe