Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu:
Transkrypt
Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu:
Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu: MATEMATYKA WYŻSZA dla studentów kierunku GEODEZJA I KARTOGRAFIA (po I semestrze) 1. Podstawowe pojęcia logiki, prawa logiczne, prawa de Morgana i inne tautologie logiczne. Formy zdaniowe, kwantyfikatory 2. Podstawowe pojęcia teorii mnogości; działania na zbiorach, iloczyn kartezjański zbiorów. 3. Relacje, relacje równoważności, klasy abstrakcji; przykłady. 4. Relacja częściowego porządku i porządkująca; majoranta, minoranta, supremum, infimum; przykłady. 5. Funkcja jako relacja, obraz, przeciwobraz, twierdzenia o obrazie i przeciwobrazie; przykłady. 6. Funkcja monotoniczna, różnowartościowa; przykłady. 7. Złożenie funkcji, funkcja odwrotna, przykłady 8. Warunek konieczny i wystarczający odwracalności funkcji. 9. Funkcje cyklometryczne: arcsin, arccos, arctg, argctg; sposoby ich konstrukcji i własności. 10. Działania, podstawowe struktury algebraiczne; przykłady. Ciało liczb wymiernych i rzeczywistych. 11. Podstawowe własności zbioru liczb rzeczywistych, zasada osiągania kresów, zasada Archimedesa. Wartość bezwzględna i jej własności. 12. Ciało liczb zespolonych, zasadnicze twierdzenie algebry. 13. Postać trygonometryczna liczby zespolonej. Obliczanie potęg i pierwiastków liczb zespolonych. 14. Ciągi liczbowe, monotoniczność, zbieżność, jedyność granicy, zbieżność do nieskończoności. 15. Ciągi – warunek Cauchy’ego, twierdzenia o zbieżności. Zbieżność ciągu a działania. 16. Ciągi – zbieżność a ograniczoność, twierdzenie o trzech ciągach, definicja liczby e. 17. Zbieżność ciągów funkcyjnych; przykłady. 18. Szeregi liczbowe, zbieżność, warunek konieczny zbieżności, szereg geometryczny, szereg harmoniczny. 19. Kryteria zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych; porównawcze, d’Alemberta, Cauchy’ego. 20. Szeregi o wyrazach dowolnych, kryterium Leibniza. Zbieżność względna i bezwzględna. 21. Szeregi funkcyjne, kryterium Weierstrassa, szeregi potęgowe, promień zbieżności. 22. Funkcje ciągłe, definicja – warunek Heinego, ciągłość a działania. Ciągłość funkcji odwrotnej. Funkcje ciągłe a nierówności. 23. Własność Darboux i jej zastosowanie do rozwiązywania równań; twierdzenie Weierstrassa. 24. Granica funkcji, definicja, warunek Heinego, jedyność granicy; przykłady. 25. Twierdzenia o granicach, granica a działania, granice i nierówności. x 26. Obliczanie granic niektórych funkcji, np. lim sinx x 1 lim a x1 1 lim (1 1x ) x e x 0 x 0 x 27. Ciągłość funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych: arcsin, arccos, arctg, argctg. 28. Asymptoty wykresu funkcji. 29. Definicja różniczkowalności i podstawowe własności. Różniczkowalność a ciągłość; funkcja pochodna, pochodne jednostronne. 30. Różniczkowalność funkcji elementarnych, działania a różniczkowalność. Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej. 31. Twierdzenie o wartości średniej Lagrange’a. 32. Reguła de l’Hospitala, przykłady zastosowań do symboli nieoznaczonych. 33. Monotoniczność a pochodna; przykłady zastosowań. 34. Pochodne wyższych rzędów, twierdzenie o wzorze Taylora. 35. Szereg Taylora; przykłady szeregów funkcji elementarnych. 36. Warunek konieczny istnienia ekstremum; przykłady. 37. Ekstrema; warunki wystarczające istnienia ekstremów. 38. Funkcje wypukłe, druga pochodna a wypukłość. 39. Warunek konieczny i wystarczający istnienia punktu przegięcia.