Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich

Transkrypt

Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie
i ich zastosowanie
Rafał M. Łochowski
Wrocław 2015
Twierdzenie o indykatrysie
Wrocław 2015
1 / 42
Plan odczytu
1
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie i jego uogólnienie
2
Zastosowanie do estymacji wartości oczekiwanej uciętego wahania
3
Problem Skorohoda na [−c/2, c/2] i liczby przecięć (przeskoków)
przedziałów
4
Asymptotyka uciętego wahania a czasy lokalne
Wrocław 2015
2 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją ciągłą. Twierdzenie Banacha o
Indykatrysie (Banach 1925, Vitali 1926) podaje ciekawy związek pomiędzy
wahaniem całkowitym funkcji f , zdefiniowanym jako
TV(f , [a, b]) := sup
sup
n
X
n a¬t0 <t1 <...<tn ¬b
i=1
|f (ti ) − f (ti−1 )|
oraz liczbą przecięć poziomów przez funkcję f , zdefiniowaną jako
N y (f ) := # {x ∈ [a, b] : f (x) = y } .
(#A ∈ R ∪ {+∞} oznacza liczbę elementów zbioru A.)
Wrocław 2015
3 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie, c.d.
Okazuje się, że R 3 y 7→ N y ∈ {0, 1, 2, . . .} ∪ {+∞} jest funkcją klasy
Baire’a ¬ 2.
(Funkcje klasy Baire’a 0 to funkcje ciągłe.
Funkcje klasy Baire’a 1 to funkcje, które są granicami punktowymi funkcji
ciągłych.
Funkcje klasy Baire’a 2 to funkcje, które są granicami punktowymi funkcji
klasy Baire’a ¬ 1 itd.)
Co ważniejsze, pomiędzy N a wahaniem całkowitym f zachodzi
następujący związek
Z
TV(f , [a, b]) =
N y (f ) dy .
R
Wrocław 2015
4 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - uogólnienie na
przypadek funkcji regulowanych
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie można uogólnić (Lozinskii 1948,1958)
na przypadek tzw. funkcji regulowanych, czyli funkcji, które posiadają
granice prawostronne oraz granice lewostronne (alternatywna definicja:
funkcje regulowane to te, które są granicami jednostajnymi funkcji
schodkowych). Wtedy jednak należy odpowiednio zdefiniować liczbę
przecięć poziomów.
Pomysł jest taki, że dziedzinę funkcji f się ”rozdmuchuje” w punktach jej
nieciągłości (takich punktów jest przeliczalnie wiele) a następnie łączy się
wartości w tych punktach z wartościami granic prawostronnych i
lewostronnych linią prostą tak aby powstała funkcja była ciągła i miała
takie samo wahanie jak funkcja wyjściowa.
Wrocław 2015
5 / 42
funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie i jego uogólnienie niewiele mówią w
przypadku gdy f ma wahanie nieskończone. Okazuje sie jednak, ze można
je ”sensownie” uogólnić, gdy zamiast przecięć poziomów będziemy
rozpatrywać przecięcia przedziałów.
Definicja
Niech c 0. Zdefiniujmy σ0c = a oraz dla n = 0, 1, ...
τnc = inf {t > σnc : t ¬ b, f (t) > y + c} ,
c
σn+1
= inf {t > τnc : t ¬ b, f (t) < y } .
Wówczas liczbę przeskoków w dół f z nad poziomu y + c do poziomu y
definiujemy jako
dcy (f , [a, b]) := max {n : σnc ¬ b} .
Wrocław 2015
6 / 42
funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu, c.d.
Definicja
Niech c 0. Zdefiniujmy σ̃0c = a oraz dla n = 0, 1, ...
τ̃nc = inf {t > σ̃nc : t ¬ b, f (t) < y } ,
c
σ̃n+1
= inf {t > τ̃nc : t ¬ b, f (t) > y + c} .
Wówczas liczbę przeskoków w górę f z poziomu y nad poziom y + c
definiujemy jako
ucy (f , [a, b]) := max {n : σ̃nc ¬ b} .
Na koniec zdefiniujmy
Definicja
ncy (f , [a, b]) := dcy (f , [a, b]) + ucy (f , [a, b]) .
Wrocław 2015
7 / 42
funkcje regulowane o nieskończonym wahaniu, c.d.
W przypadku gdy f : [a, b] → R jest funkcją regulowaną, wówczas ncy jest
liczbą skończoną dla dowolnego c > 0.
Co więcej, dla c > 0 zachodzi równość
Z
ncy (f , [a, b]) dy = TVc (f , [a, b]) ,
(1)
R
gdzie TVc (f , [a, b]) jest uciętym wahaniem zdefiniowanym jako
TVc (f , [a, b]) := sup
sup
n
X
n a¬t0 <t1 <...<tn ¬b
i=1
max {|f (ti ) − f (ti−1 )| − c, 0} .
(2)
Uwaga
Dla dowolnej funkcji regulowanej f : [a, b] → R i dowolnego c > 0,
TVc (f , [a, b]) < +∞.
Wrocław 2015
8 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie a równość (1)
Ponieważ równość n0y (f , [a, b]) = N y (f ) zachodzi dla prawie wszystkich
(poza przeliczalnym zbiorem) liczb rzeczywistych y , to równość
Z
ncy (f , [a, b]) dy = TVc (f , [a, b])
R
można potraktować jako uogólnienie Twierdzenia Banacha o Indykatrysie.
Zachodzą również następujące równości
Z
ucy (f , [a, b]) dy = UTVc (f , [a, b])
R
oraz
Z
dcy (f , [a, b]) dy = DTVc (f , [a, b]) .
R
Wrocław 2015
9 / 42
Ucięte wahanie w górę, ucięte wahanie w dół
Po prawej stronie dwóch poprzednich równości występują ucięte wahanie w
górę i ucięte wahanie w dół, zdefiniowane za pomocą wzorów
UTVc (f , [a, b]) := sup
sup
n
X
n a¬t0 <t1 <...<tn ¬b
i=1
max {f (ti ) − f (ti−1 ) − c, 0}
oraz
c
DTV (f , [a, b]) := sup
sup
n
X
n a¬t0 <t1 <...<tn ¬b
i=1
max {f (ti−1 ) − f (ti ) − c, 0} .
Zauważmy, że w przypadku c = 0, UTVc (f , [a, b]) i DTVc (f , [a, b]) są
niczym innym jak dodatnim i ujemnym wahaniem (całkowitym) funkcji f
występującymi w klasycznym rozkładzie Jordana. Ponadto zachodzi wzór
TVc (f , [a, b]) = UTVc (f , [a, b]) + DTVc (f , [a, b]) .
Wrocław 2015
10 / 42
Szkic dowodu, że
R
y
R uc
(f , [a, b]) dy = UTVc (f , [a, b])
1. (techniczny) krok polega na zauważeniu, że twierdzenie wystarczy
udowodnić dla funkcji schodkowych postaci
f (t) =
n
X
f2k 1{t(2k)} (t) +
k=0
n−1
X
f2k+1 1(t(2k+1);t(2k+2)) (t) ,
k=0
gdzie
a = t (0) = t(1) < t (2) = t(3) < . . . < t(2n−2) = t(2n−1) < t (2n) = b.
2. krok polega, że ucięte wahanie w górę można obliczyć jako sumę
przyrostów funkcji f (pomniejszonych o c) na przedziałach kolejnych
spadków o c :
UTVc (f , [a, b]) =
K
X
{Mk − mk − c} =
Z X
K
1(mk ,Mk −c) (y ) dy .
R k=0
k=0
3., ostatni krok polega na zauważeniu równości
ucy (p, [0, 2n]) = # {k ∈ {0, 1, . . . , K } : y ∈ (mk , Mk − c)} .
Wrocław 2015
11 / 42
Ilustracja
M0
c
c
m0
a=t(0)=t(1)
ID,-1=0
t(4)=t(5)
t(8)=t(9)
IU,0=4
ID,0=9
t
Wrocław 2015
12 / 42
Przykład zastosowania
Niech Wt = µt + Bt , t 0, będzie ruchem Browna z dryfem (Bt , t 0,
jest standardowym ruchem Browna) zastopowanym w losowym,
niezależnym od B czasie τ, o rozkładzie wykładniczym z parametrem v .
Mamy równość
c
Z
EUTV (W , [a, b]) = E
ucy
Z
(W , [a, b]) dy =
R
Eucy (W , [a, b]) dy .
R
Prawdopodobieństwa przekroczenia poziomu danego poziomu przez ruch
Browna z dryfem do czasu τ są znane, więc korzystając z mocnej
markowskości i braku pamięci rozkładu wykładniczego otrzymujemy
√
2
e µ(y +c)−(|y |+c) µ +2v
y
√
Euc (W , [0, τ ]) =
2
1 − e −2c µ +2v
a stąd
√
p
Z µ(y +c)−(|y |+c) µ2 +2v
e µc µ2 + 2v
e
c
p
.
√
EUTV (W , [0, τ ]) =
dy =
2
R
2v sinh c µ2 + 2v
1 − e −2c µ +2v
Wrocław 2015
13 / 42
Twierdzenie Banacha o Indykatrysie - kolejne uogólnienie
Kolejnym możliwym uogólnieniem Twierdzenie Banacha o Indykatrysie
byłoby podanie formuły na
Z
ncy (f , [a, b]) m(y )dy
R
czyli gdy pewne poziomy y są wyróżnione w stosunku do innych.
Niestety tego typu uogólnienie nie jest znane, jednak gdy f jest funkcją
càdlàg , można wówczas podać zadowalające (z punktu możliwych
zastosowań) formuły na
Z
ucy (f , [a, b]) m(y )dy
R
oraz
Z
dcy (f , [a, b]) m(y )dy .
R
Wrocław 2015
14 / 42
Problem Skorohoda na [−c/2, c/2] a liczby przecięć
(przeskoków) przedziałów
Okazuje się, że liczba przecięć (przeskoków) przedziału [y , y + c] przez
dowolną funkcję càdlàg f : [a, b] → R jest zawsze prawie równa liczbie
przecięć poziomu y + c/2 przez rozwiązanie tzw. problemu Skorohoda na
odcinku [−c/2, c/2] dla funkcji f .
D[a, b] - zbiór funkcji càdlàg na odcinku [a, b]
BV + [a, b] - zbiór funkcji càdlàg , niemalejących na odcinku [a, b]
BV [a, b] - zbiór funkcji càdlàg o wahaniu skończonym na odcinku
[a, b], przedziałami monotonicznych
Wrocław 2015
15 / 42
Problem Skorohoda na [−c/2, c/2] - definicja, istnienie
Definicja
Niech c > 0 oraz x ∈ R.
Para funkcji (φx,c , ξ x,c ) ∈ D[a, b] × BV [a, b] jest rozwiązaniem problemu
Skorohoda na [−c/2, c/2] z warunkiem początkowym ξ x,c (a) = u(a) − x
dla u jeżeli zachodzą następujące warunki:
(a) dla dowolnego t ∈ [a, b], φx,c (t) = u (t) − ξ x,c (t) ∈ [−c/2, c/2] ;
(b) ξ x,c = ξux,c − ξdx,c , gdzie ξux,c , ξdx,c ∈ BV + [a, b] i odpowiadające miary
dξux,c , dξdx,c mają nośniki {t ∈ [a, b] : φx,c (t) = c/2} i
{t ∈ [a, b] : φx,c (t) = −c/2} odpowiednio;
(c) ξ x,c (a) = u(a) − x.
Twierdzenie
Jeżeli u : [a, b] → R, c > 0 oraz x ∈ [−c/2, c/2] wówczas istnieje
dokładnie jedno rozwiązanie problemu Skorohoda dla u na [−c/2, c/2].
Wrocław 2015
16 / 42
Problem Skorohoda na [−c/2, c/2] ilustracja
Wrocław 2015
17 / 42
Własności rozwiązania problemu Skorohoda na
[−c/2, c/2].
Jeżeli (φx,c , f x,c ) jest rozwiązaniem problemu Skorohoda na [−c/2, c/2]
dla f , z warunkiem początkowym f x,c (a) = f (a) − x, x ∈ [−c/2, c/2], to
dla dowolnego t ∈ [a, b],
|f x,c (t) − f (t)| ¬ c/2 oraz ∆f x,c (t) ¬ ∆f (t).
Okazuje się także, że (dodatnie, ujemne) wahanie całkowite rozwiązania
problemu Skorohoda, f x,c , jest prawie równe uciętemu wahaniu (w górę, w
dół) funkcji f .
Dokładniej, dla dowolnego x ∈ [−c/2, c/2] zachodzą oszacownia
UTVc (f , [a, b]) ¬ UTV0 (f x,c , [a, b]) ¬ UTVc (f , [a, b]) + c,
DTVc (f , [a, b]) ¬ DTV0 (f x,c , [a, b]) ¬ DTVc (f , [a, b]) + c
a stąd również
TVc (f , [a, b]) ¬ TV0 (f x,c , [a, b]) ¬ TVc (f , [a, b]) + 2c.
Wrocław 2015
18 / 42
Problem Skorohoda na [−c/2, c/2] a liczby przecięć
(przeskoków) przedziałów, c.d.
Twierdzenie (1)
Niech f : [a, b] → R będzie funkcją càdlàg , c > 0, x ∈ [−c/2, c/2] oraz
(φx,c , f x,c ) będzie rozwiązaniem problemu Skorohoda na [−c/2, c/2] dla
f , z warunkiem początkowym f x,c (a) = f (a) − x. Wówczas dla wszystkich
y ∈ R \ A, gdzie A jest co najwyżej przeliczalny, zachodzą oszacowania
y +c/2
(f x,c , [a, b]) ¬ ucy (f , [a, b]) + 1,
y +c/2
(f x,c , [a, b]) ¬ dcy (f , [a, b]) + 1.
ucy (f , [a, b]) ¬ u0
dcy (f , [a, b]) ¬ d0
Co więcej,
y +c/2
ucy (f , [a, b]) = u0
y +c/2
dcy (f , [a, b]) = d0
f −c/2,c , [a, b] ,
f c/2,c , [a, b] .
Wrocław 2015
19 / 42
Formuły na y ∈R u0y (f x,c , [a, b]) m(y )dy ,
R
y
x,c
, [a, b]) m(y )dy
y ∈R d0 (f
R
Korzystając z faktu, że f x,c jest przedziałami monotoniczna, dla mierzalnej
i ograniczonej funkcji m łatwo udowodnić następujące formuły:
Z
u0y (f x,c , [a, b]) m(y )dy =
R
X
+
Z b
m (f x,c (t)) dUTV(f x,c , [a, t])
a
Z
m (y ) − m (f x,c (t−)) dy
(3)
[f x,c (t−),f x,c (t)]
a<t¬b,∆f x,c (t)>0
oraz
Z
d0y
(f
x,c
Z b
, [a, b]) m(y )dy =
+
m (f x,c (t)) dDTV(f x,c , [a, t])
a
R
X
a<t¬b,∆f x,c (t)<0
Z
m (y ) − m (f x,c (t−)) dy .
(4)
[f x,c (t−),f x,c (t)]
Wrocław 2015
20 / 42
Formuły na
R
y
R uc
(f , [a, b]) m(y )dy ,
R
y
R dc
(f , [a, b]) m(y )dy
Łącząc formuły (3) i (4) z Twierdzeniem (1) otrzymujemy
Z
ucy
Z b
(f , [a, b]) m(y )dy =
a
R
Z
X
+
m f −c/2,c (t) dUTV f −c/2,c , [a, t]
[f −c/2,c (t−),f −c/2,c (t)]
a<t¬b,∆f −c/2,c (t)>0
m (y ) − m f −c/2,c (t−) dy
(5)
oraz
Z
dcy
Z b
(f , [a, b]) m(y )dy =
a
R
+
m f c/2,c (t) dDTV f c/2,c , [a, t]
X
a<t¬b,∆f c/2,c (t)<0
Z
[f c/2,c (t−),f c/2,c (t)]
m (y ) − m f c/2,c (t−) dy .
Wrocław 2015
(6)
21 / 42
Przecięcia poziomów a gęstość przebywania
Korzystając z (5) i (6) dostaje się następujące twierdzenie.
Twierdzenie (M1)
Załóżmy, że f : [a, b] → R jest funkcją càdlàg oraz istnieje taka
niemalejąca funkcja ϕ : (0; +∞) → (0; +∞) , że limc→0+ ϕ (c) = 0 i taka
funkcja ζ : [a, b] → R, że dla t ∈ [a, b] zachodzi zbieżność
lim ϕ (c) TVc (f , [a, t]) = ζ(t)
c→0+
(lub równoważnie limc→0+ ϕ (c) UTVc (f , [a, t]) = 21 ζ(t) lub
limc→0+ ϕ (c) DTVc (f , [a, t]) = 12 ζ(t)).
Wówczas ζ jest niemalejącą funkcją ciągłą i dla dowolnej ciągłej
m : R → R zachodzi
Z
lim ϕ (c)
c→0+
ncy (f , [a, t])m (y ) dy
R
Z t
=
m (f (s)) dζs .
a
Wrocław 2015
22 / 42
Przecięcia poziomów a gęstość przebywania, c.d.
Niech T > 0 i f : [0, T ] → R. Równość
Z
lim
c→0+ R
ϕ (c) ncy (f , [0, t])m (y ) dy =
Z t
m (f (s)) dζs .
0
prawdziwa dla dowolnej funkcji ciągłej m sugeruje, że istnieje granica
Lyt (f ) := lim ϕ (c) ncy (f , [0, t]),
c→0+
którą możemy interpretować jako ”gęstość przebywania” funkcji f na
poziomie y do momentu t względem miary ζ :
Z
R
Lyt (f )m (y ) dy =
Z t
m (f (s)) dζs .
0
Wrocław 2015
23 / 42
Przecięcia poziomów a czasy lokalne
Okazuje się, że są procesy Xt , t 0, dla których czas lokalny można
rzeczywiście zdefiniować jako granicę (w normie Lp dla p 1)
lim ϕ (c) ncy (X , [0, t])
c→0+
dla odpowiednio dobranej funkcji ϕ.
Nie jest to jednak regułą. Podam przykład procesu α-stabilnego, dla
którego co prawda istnieje (słaba) granica w topologii zbieżności
jednostajnej na zbiorach zwartych
lim ϕ (c) TVc (X , [0, t]) = t
c→0+
ale ich czasu lokalnego nie można zdefiniować jako
limc→0+ ϕ (c) ncy (X , [0, t]).
Wrocław 2015
24 / 42
Gęstość przebywania jako czas lokalny procesu Markowa
Załóżmy teraz, że Xt , t ∈ [0, T ], jest (jednorodnym) procesem Markowa z
przestrzenią stanów (R, B (R)) , gdzie B (R) jest σ−ciałem zbiorów
borelowskich. Dla dowolnego t > 0 i ω ∈ Ω definiujemy miarę przebywania
X (ω) w zbiorze Γ ∈ B (R) do momentu t :
µt (Γ) := λ (s ∈ [0, t] : Xs (ω) ∈ Γ) ,
gdzie λ jest miarą Lebesgue’a na półprostej [0, +∞).
Definicja
Powiemy, że proces X ma czas lokalny względem σ−skończonej miary π
na B (R) jeżeli miara µT jest absolutnie ciągła względem π, Px −prawie na
pewno dla każdego x ∈ R. W szczególności oznacza to, że dla t ∈ [0, T ] i
dla dowolnej funkcji ciągłej m : E → R zachodzi
Z t
Z
m (Xs ) ds =
0
Z
m(y )dµt (y ) =
R
m(y )
R
dµt (y )
dπ(y ).
dπ(y )
Wrocław 2015
25 / 42
Czas lokalny procesu Markowa
Jeżeli założenia definicji istnienia czasu lokalnego są spełnione, to ten czas
lokalny w momencie t jest wówczas równy gęstości Radona-Nikodyma
miary µt względem miary π :
Lyt (X ) :=
dµt (y )
.
dπ(y )
Inna definicja czasu lokalnego procesu Markova pochodzi od Blumenthala i
Getoora. Niech Tx będzie czasem dotarcia do zbioru {x} oraz Er będzie
zbiorem punków regularnych procesu X czyli takich, dla których zachodzi
Px (Tx = 0) = 1.
Zakładając, że odwzorowanie (x, y ) 7→ Ex e −Ty jest B (R) × B (R)
mierzalne, dla y ∈ Er czas lokalny Lyt jest jednoznacznie wyznaczonym
funkcjonałem addytywnym t 7→ Lyt , dla którego zachodzi
Ex e −Ty = Ex
Z +∞
0
e −t dLyt .
Wrocław 2015
26 / 42
Czas lokalny semimartyngału
Idea czasów lokalnych dla semimartyngałów pojawia się w nieco inny
sposób - na gruncie teorii całki stochastycznej. Dla dowolnego
(rzeczywistego) semimartyngału X dowodzi się, że dla każdego y ∈ R
istnieje taki addytywny, nieujemny, niemalejący i ciągły proces Lyt (X ) ,
t 0, że dla dowolnej funkcji wypukłej g : R → R zachodzi formuła
Meyera-Itô:
Z t
1
g (Xt ) − g (X0 ) =
g (Xs− ) dXs +
2
0+
+
0
X Z
Lyt (X ) dµ(y )
R
g (Xs ) − g (Xs− ) − g 0 (Xs− ) ∆Xs ,
0<s¬t
gdzie g 0 is pochodną prawostronną Rzaś µ jest uogólnioną pochodną g
drugiego rzędu (g (x) = a + bx + 21 R |x − y |dµ(y )).
Wrocław 2015
27 / 42
Czas lokalny semimartyngału, c. d.
Ważną konsekwencją formuły Meyera-Itô jest formuła
Z t
0
m (Xs ) d [X , X ]cont
s
Z
=
m(y )Lyt (X ) dy ,
R
gdzie [X , X ]cont
oznacza ciągłą część wahania kwadratowego X a
s
mR → R jest dowolną funkcją mierzalną i ograniczoną.
Porównując powyższą równość z formułą
Z t
Z
m (f (s)) dζs =
0
m (y ) Lyt (f )dy
R
i definicją ζs = limc→0+ ϕ(c)TVc (f , [0, s]) nasuwa się pytanie, czy dla
pewnej funkcji ϕ spełniającej limc→0+ ϕ(c) = 0 i dla prawie każdej ścieżki
X (ω) semimartyngału X zachodzi
lim ϕ(c)TVc (f , [0, s]) = [X , X ]cont
?
s
c→0+
Wrocław 2015
28 / 42
Czas lokalny semimartyngału, c. d.
Okazuje się, że rzeczywiście, dla dowolnego rzeczywistego semimartyngału
Xs , s 0, z prawdopodobieństwem 1 zachodzi
lim c · TVc (X , [0, s]) = [X , X ]cont
.
s
c→0+
Co więcej, wynik Nicole El Karoui z 1978 r. mówi, że jeżeli X = M + V
(M - martyngał lokalny, V - proces
ciągłym
h o wahaniu skończonym) ijest
p
cont
semimartyngałem, dla którego E [X , X ]T + TV(V , [0, T ]) < +∞,
p 1, T > 0, to
p
lim E sup c · ncy (X , [0, t]) − Lyt (X ) = 0.
c→0+
0¬t¬T
Uwaga
Jeżeli zbieżność w Lp zastąpi się poprzez zbieżność wg
prawdopodobieństwa, to analogiczny wynik zachodzi dla dowolnych
ciągłych semimartyngałów. Hipoteza: analogiczna równość zachodzi dla
dowolnych (niekoniecznie ciągłych) semimartyngałów.
Wrocław 2015
29 / 42
Czas lokalny semimartyngału a czas lokalny procesu
Lévy’ego
Wnioskiem ze zbieżności
lim c · TVc (X , [0, s]) = [X , X ]cont
.
s
(7)
c→0+
jest fakt, że część ciągła semimartyngału X ”dominuje”
przecięcia/przeskoki małych przedziałów przez X .
Z formuły Meyera-Itô wynika również, że czysto nieciągłe semimartyngały
mają czas lokalny (występujący w formule Meyera-Itô) ≡ 0.
Co zatem z czasami lokalnymi procesów Lévy’ego bez składnika
brownowskiego, które są czysto nieciągłymi semimartyngałami? Każdy
proces Lévy’ego jest również procesem Markowa, można więc dla niego
zdefiniować czas lokalny tak jak dla procesów Markowa.
Z (7) wynika, że wówczas odpowiednia funkcja normalizująca ϕ, dla której
limc→0+ ϕ(c)ncy (X , [0, t]) = Lyt (X ) (o ile w jakimś sensie ta granica
istnieje) będzie zbiegała do 0 dla c → 0+ wolniej niż c.
Wrocław 2015
30 / 42
Rodzaje zbieżności
Niech Yt , t 0 będzie procesem càdlàg zdefiniowanym na przestrzeni z
filtracją (Ω, F, F = (Ft , t 0) , P) , dla której zachodzą zwykłe warunki
(usual conditions) oraz niech Y c , c > 0, będzie rodziną procesów càdlàg
Ytc , t 0, zdefiniowaną na tej samej przestrzeni.
’Y c → Y ’ będzie oznaczać zbieżność prawie pewną Y c do Y gdy
c → 0+ w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych
’Y c ⇒ Y ’ będzie oznaczać słabą zbieżność (funkcyjną) Y c do Y
gdy c → 0+ w topologii zbieżności jednostajnej na zbiorach
zwartych
’Y c =⇒ Y ’ będzie oznaczać słabą zbieżność (funkcyjną) Y c do Y
gdy c → 0+ w topologii J Skorohoda na zbiorach zwartych
Id będzie oznaczać proces deterministyczny Id(t) = t dla t 0.
Wrocław 2015
31 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy’ego
Twierdzenie (LPU)
Niech Xt , t 0, będzie procesem Lévy’ego, o nieskończonym wahaniu na
dowolnym niezdegenerowanym przedziale. Zdefiniujmy
n
o
TDc X := inf t 0 : sup0¬s¬t Xs − Xt > c ,
ξUc := sup0¬s<t<T c X (Xt − Xs − c)+ ,
D
c := ET c X
θU
D
ηUc := EξUc .
Wrocław 2015
32 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy’ego
Twierdzenie (LPU)
n
o
TDc X := inf t 0 : sup0¬s¬t Xs − Xt > c ,
ξUc := sup0¬s<t<T c X (Xt − Xs − c)+ ,
D
c := ET c X
θU
D
ηUc := EξUc .
Załóżmy, że E sup0¬t<T c0 X Xt < +∞ dla pewnego c0 > 0. Jeżeli
D
c
χU (c) := θU
/ηUc
c → 1 gdy c → 0+, wówczas
i dla dowolnego u > 0, P (ξUc ¬ u/χU (c)) /θU
zachodzi następująca zbieżność
χU (c) TVc (X , ·) ⇒ 2 · Id.
Wrocław 2015
32 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy’ego, c.d.
Twierdzenie (LPD)
TUc X := inf {t 0 : Xt − inf 0¬s¬t Xs > c} ,
c := sup
ξD
0¬s<t<T c X (Xs − Xt − c)+ ,
U
c := ET c X
θD
U
c := Eξ c .
ηD
D
Wrocław 2015
33 / 42
Funkcja ϕ dla procesu Lévy’ego, c.d.
Twierdzenie (LPD)
TUc X := inf {t 0 : Xt − inf 0¬s¬t Xs > c} ,
c := sup
ξD
0¬s<t<T c X (Xs − Xt − c)+ ,
U
c := ET c X
θD
U
c := Eξ c .
ηD
D
Załóżmy, że E sup0¬t<T c0 X Xt < +∞ dla pewnego c0 > 0. Jeżeli
U
c
c
χD (c) := θD
/ηD
c ¬ u/χ (c)) /θ c → 1 gdy c → 0+,
i dla dowolnego u > 0, P (ξD
D
D
wówczas zachodzi następująca zbieżność
χD (c) TVc (X , ·) ⇒ 2 · Id.
Wrocław 2015
33 / 42
Przykład - spektralnie ujemny proces z prawie α-stabilnymi
skokami, α ∈ (1, 2)
Twierdzenie
Niech Xt , t 0, będzie procesem Lévy’ego bez składnika brownowskiego,
z miarą Léviego Π
L(−x)
Π(dx) =
1x<0 dx
(−x)1+α
dla α ∈ (1; 2) i pewnej funkcji borelowskiej L : (0, +∞) → (0, +∞) , wolno
c α−1
zmieniającej się w 0. Wówczas χD (c) ∼ α(α−1)
Γ(2−α) L(c) , tzn.
χD (c)
α(α−1)
c α−1
c→0+
Γ(2−α) L(c)
lim
oraz
=1
α (α − 1) c α−1
TVc (X , ·) ⇒ 2 · Id.
Γ (2 − α) L (c)
Wrocław 2015
34 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle α-stabilnych,
α ∈ (1, 2)
Niech Xt , t 0, będzie procesem ściśle α-stabilnym z wykładnikiem
charakterystycznym
ΨX (θ) = C0 |θ|α 1 − iγ tg
πα
sgnθ ,
2
(8)
gdzie α ∈ (1; 2) jest indeksem, C0 > 0 jest parametrem skali oraz
γ ∈ [−1; 1] jest parametrem skośności. Zdefiniujmy
A :=
lim E TV1 (X , [0; N + 1]) − TV1 (X , [0; N]) .
N→+∞
(mozna udowodnić, że ta granica istnieje) oraz
Ttc,α := TVc (X , [0, t]) − c 1−α A · t.
Wrocław 2015
35 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle α-stabilnych,
α ∈ (1, 2), c.d.
Twierdzenie (SecondOrder)
Niech α ∈ (1; 2) oraz Xt , t 0, będzie ściśle α-stabilnym procesem z
wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą (8). Wówczas
T c,α =⇒ L1 + L2 ,
gdzie L1 i L2 są dwoma niezależnymi, spektralnie dodatnimi procesami
takimi, że X = L1 − L2 oraz L1 + L2 jest ściśle α-stabilnym, spektralnie
dodatnim procesem z wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą
ΨL1 +L2 (θ) = C0 |θ|α 1 − i tg
πα
sgnθ .
2
Wrocław 2015
36 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle 1-stabilnych
Niech Xt , t 0, będzie ściśle 1-stabilnym procesem z wykładnikiem
charakterystycznym
ΨX (θ) = C0 |θ| + iηθ,
(9)
z parametrem skali C0 > 0 i dryfem η ∈ R. (Wykładnik charakterystyczny
procesu ściśle 1-stabilnego musi być takiej postaci.) Połóżmy
B=
lim E TV1 (X , [0; N + 1]) − TV1 (X , [0; N]) − TV(Y , [0; N]) ,
N→+∞
gdzie Y =
N<s¬N+1 |Xs
P
− Xs− | 1|Xs −Xs− |1 oraz
Ttc,1 := TVc (X , [0, t]) −
2
C0 ln c −1 · t − B · t.
π
Wrocław 2015
37 / 42
Zbieżność II rzędu dla procesów ściśle 1-stabilnych, c.d.
Twierdzenie (SecondOrder1)
Niech Xt , t 0, będzie ściśle 1-stabilnym procesem z wykładnikiem
charakterystycznym danym za pomocą (9), wówczas
T c,1 =⇒ M 1 + M 2 ,
gdzie M 1 , M 2 są dwoma niezależnymi, spektralnie dodatnimi procesami
takimi, że X = M 1 − M 2 oraz M 1 + M 2 jest procesem 1-stabilnym z
wykładnikiem charakterystycznym danym za pomocą
2 (1 − C)
2
C0 θ,
ΨM 1 +M 2 (θ) = C0 |θ| 1 + i sgn (θ) log |θ| − i
π
π
gdzie C = Γ0 (1) ≈ 0.577 jest stałą Eulera-Mascheroniego.
Wrocław 2015
38 / 42
Funkcja ϕ dla procesów ściśle α-stabilnych, α ∈ (1, 2)
Z Twierdzenia (SecondOrder) wynika, że dla ściśle α-stabilnego procesu X
z α ∈ (1, 2)
A−1 · c α−1 TVc (X , [0, ·]) ⇒ Id.
(10)
Zatem można wziąć ϕ = c α−1 /A. Wiadomo, że dla α ∈ (1, 2) czas lokalny
względem procesu α-stabilnego istnieje. Ogólniej, zachodzi następujące
Twierdzenie (LTE)
Niech Xt , t 0, będzie procesem Lévy’ego z wykładnikiem
charakterystycznym Ψ. Następujące warunki są równoważne
(i)
1
Re
ds < +∞;
1
+
Ψ(s)
R
Z
(ii) Dla każdego t > 0, X posiada czas lokalny Lyt (X ) ∈ L2 (dx ⊗ dP)
względem miary Lebesgue’a.
Co więcej, jeżeli warunek (ii) jest niespełniony, to X nie posiada czasu
lokalnego względem miary Lebesgue’a.
Wrocław 2015
39 / 42
Hipoteza dla procesów ściśle α-stabilnych, α ∈ (1, 2)
Z istnienia czasu lokalnego Lyt (X ) i ze zbieżności (10) wynika, że dla
dowolnej funkcji ciągłej (a stąd i borelowskiej, ograniczonej) m
lim
Z h
c→0+ R
i
A−1 c α−1 ncy (X , [0, ·]) − Ly (X ) m(y )dy ⇒ 0.
Hipoteza: jeżeli Xt , t 0, jest procesem ściśle α-stabilnym z α ∈ (1, 2),
to
A−1 c α−1 ncy (X , [0, ·]) ⇒ Ly (X ) .
Uwaga
Z faktu, że dla dowolnej
borelowskiej i ograniczonej funkcji m : R → R
R
zachodzi limc→0+ R rc (y )m(y )dy = 0 nie wynika, że istnieje prawie
wszędzie granica limc→0+ rc (y ). Przykład: rc (y ) = φb1/cc (y )1[0,1] (y ), gdzie
{φn }- np. baza ortonormalna na [0, 1].
Wrocław 2015
40 / 42
Odrzucenie hipotezy dla procesów 1-stabilnych
Z Twierdzenia (SecondOrder1), że dla procesu ściśle 1-stabilnego
2
C0 ln c −1
π
−1
TVc (X , [0, ·]) ⇒ Id.
zatem odpowiednia funkcja normalizująca ma postać
−1
.
φ(c) = π2 C0 ln c −1
Z Twierdzenia (LTE) wynika jednak, że w tym przypadku nie istnieje czas
lokalny względem miary Lebesgue’a, zatem proces
2
C0 ln c −1
π
−1
ncy (X , [0, ·])
nie może być zbieżny do czasu lokalnego względem miary Lebesgue’a.
Wrocław 2015
41 / 42
Dziękuję za uwagę!
Wrocław 2015
42 / 42

Wariacje na temat Twierdzenia Banacha o Indykatrysie i ich

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wymagania do egzaminu dyplomowego

Zagadnienia na ćwiczenia Algebra liniowa z geometrią analityczną

Jędrzej `James` Osiński

Matematyka – studia magisterskie aktualizacja: semestr letni 2015

Oto co trzeba koniecznie wiedzieć/znać: • Własności i definicje

Zagadnienia do egzaminu z przedmiotu:

SYLABUS PRZEDMIOTU: Funkcje analityczne

Zasada szufladkowa Dirichleta Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji