Wymiary w teorii pierścieni

Wymiary w teorii pierścieni
Opracowanie zagadnień egzaminacyjnych.
1
Klasyczny wymiar Krulla
1.1
Ideały pierwsze i radykał pierwszy
Definicja 1.1 Mówimy, że P jest ideałem pierwszym, jeśli:
aRb ⊆ P ⇒ a ∈ P lub b ∈ P,
P 6= R.
Pierścień R nazywamy pierwszym wtedy i tylko wtedy, gdy ideał {0} jest ideałem
pierwszym w R. Równoważnie, zachodzi następująca implikacja:
aP b = 0 ⇒ a = 0 lub b = 0.
Stwierdzenie 1.1 Następujące warunki są równoważne:
• R jest pierścieniem pierwszym
• dla dowolnych ideałów dwustronnych I, J ⊳ R mamy
IJ = 0 ⇒ I = 0 lub J = 0.
Stwierdzenie 1.2 Jeśli φ : R → S jest homomorfizmem pierścieni, to jeśli
Q ⊳ S jest ideałem pierwszym, to φQ ⊳ R jest ideałem pierwszym. Co więcej
jeśli P ⊳ R oraz ker(φ) ⊆ P , to jeśli P jest pierwszy w R, to φ(P ) jest pierwszy
w S.
na
Definicja 1.2 Niech R będzie pierścieniem, T ⊆ R, przy czym:
• 0∈
/T
• a, b ∈ T ⇒ ab ∈ T
• T nie ma dzielników zera.
Wówczas T nazywamy systemem multiplikatywnym w R.
Jeśli R jest dziedziną, to kładąc T = R \ {0} dostajemy system multiplikatywny.
Inny przykład: jeśli P ⊳R jest ideałem pierwszym, wówczas R \P jest systemem
multiplikatywnym.
1
Definicja 1.3 Niech R będzie pierścieniem, zaś T -systemem multiplikatywnym
w R. Na zbiorze R × T rozpatrujemy relację ∼ określoną w następujący sposób:
(r1 , t1 ) ∼ (r2 , t2 ) wtedy i tylko wtedy, gdy r1 t2 = t1 r2 . Nietrudno pokazać, że
zbiór klas abstrakcji tej relacji z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia klas abstrakcji par (analogicznymi do dodawania i mnożenia ułamków) jest
pierścieniem. Nazywamy go lokalizacją pierścienia R względem systemu multiplikatywnego T i oznaczamy przez RT −1 lub RT .
Jeśli R jest dziedziną, a T = R \ {0}, to RT jest ciałem ułamków dziedziny R.
Definicja 1.4 Pierścień R jest lokalny jeśli posiada dokładnie jeden ideał maksymalny. Jest to równoważne stwierdzeniu, że zbiór elementów nieodwracalnych
tego pierścienia tworzy ideał.
Przykładem pierścienia lokalnego jest pierścień K[x]/(xn ).
Stwierdzenie 1.3 Niech P ⊳ R będzie ideałem pierwszym, zaś T = R \ P .
Wówczas
• P T −1 = {pt−1 | p ∈ P, t ∈ T } ⊳ RP −1
• RT −1 \ P T −1 to elementy nieodwracalne w RT −1
• RT −1 jest lokalny i jego jedyny ideał maksymalny to P T −1 .
*
*
*
Definicja 1.5 Element r pierścienia R nazwiemy nilpotentnym, o ile istnieje
n, dla którego an = 0.
Definicja 1.6 (Nil-ideał) Największy ideał pierścienia R złożony z elementów
nilpotentnych oznaczamy przez N (R) i nazywamy nil-radykałem pierścienia R.
Twierdzenie 1.1 Jeśli R jest pierścieniem przemiennym, to nil-radykał równy
jest przecięciu wszystkich ideałów pierwszych ideału R.
Definicja 1.7 Niech R będzie pierścieniem, niekoniecznie przemiennym. Niech
a ∈ R. Powiemy, że a jest silnie nilpotentny, jeśli istnieje ciąg x1 , . . . , xn elementów pierścienia R, że jeśli:
a0 := a,
a1 = a0 x1 a0 ,
...
ar = ar−1 xr ar−1 ,
to an = 0.
Twierdzenie 1.2 Jeśli R jest dowolnym pierścieniem, to przecięcie wszystkich
ideałów pierwszych, nazywane B(R) (radykał Baera) równe jest zbiorowi wszystkich elementów silnie nilpotentnych w R.
Definicja 1.8 Powiemy, że ideał I ⊳ R hest półpierwszy, jeśli spełniony jest
jeden z równoważnych warunków:
2
• dla każdego a ∈ R mamy implikację: aRa ∈ I ⇒ a ∈ I,
• jeśli mamy ideał J ⊳ R i J 2 ⊆ I, to J ⊆ I.
Definicja 1.9 Pierścień R jest pierwszy, jeśli 0 jest ideałem pierwszym w R.
Podobna jest definicja pierścienia półpierwszego
Stwierdzenie 1.4 Pierścień jest półpierwszy wtedy i tylko wtedy, gdy przecięcie
wszystkich ideałów pierwszych w R jest zerowe. Równoważnie - pierścień ten nie
ma niezerowych ideałów nilpotentnych.
Przykładem pierścienia półpierwszego, który nie jest pierwszy jest suma ciał
K ⊕ K, bo nie ma elementów nilpotentnych.
Stwierdzenie 1.5 Pierścień R jest pierwszy (półpierwszy) wtedy i tylko wtedy
gdy R[x] jest pierwszy (półpierwszy).
Twierdzenie 1.3 (Amitsur-McCoy) Zachodzą równości:
B(Mn (R)) = Mn (B(R)),
*
*
B(R[x]) = B(R)[x].
*
Definicja 1.10 Niech MR będzie prawostronnym R-modułem. Nazywamy go
noetherowskim jeśli spełniony jest jeden z trzech równoważnych warunków:
• M ma a.c.c. na podmoduły
• każdy podmoduł N modułu M jest skończenie generowany
• każda niepusta rodzina podmodułów modułu M ma element maksymalny
(względem inkluzji)
Pierścień R nazywamy prawostronnie noetherowskim jeśli RR jest modułem noetherowskim.
Stwierdzenie 1.6 Jeśli NR ⊆ MR to MR jest noetherowski wtedy i tylko wtedy,
gdy NR oraz MR /NR są noetherowskie.
Stwierdzenie 1.7 Jeśli R ⊆ S pierścienie oraz S jest skończenie generowanym
R-modułem prawostronnym, to jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to S też.
Wniosek 1.1 Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to Mn (R) też, bo Mn (R)
2
to Rn jako R-modul.
Twierdzenie 1.4 (Levitzky) Niech R będzie prawostronnie noetherowski. Wówczas każdy jednostronny nil-ideał jest nilpotentny. W szczególności B(R) =
N (R) jest nilpotentny.
Twierdzenie 1.5 (Hilbert) Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to R[x]
też.
3
Wniosek 1.2 Jeśli A jest skończenie generowaną algebrą przemienną nad ciałem K, to A jest noetherowska.
*
*
*
Definicja 1.11 Niech R będzie pierścieniem, oraz M = MR . Powiemy, że MR
jest artinowski jesli M ma d.c.c. na podmoduły. Równoważnie - każda rodzina
podmodułów w M ma element minimalny ze względu na inkluzję. Pierścień R
nazywamy prawostronnie artinowskim jeśli RR jest prawostronnie artinowski.
Pierścień Z jest przykładem pierścienia, który jest noetherowski, ale nie jest
artinowski.
⊆ M2 (Q jest lewostronnie noetherowski, ale nie jest praPierścień R = Q0 Q
Z
wostronnie noetherowski.
Jeśli G jest grupą policykliczną, to K[G] jest noetherowska (nie wiadomo czy
odwrotnie tak jest).
Twierdzenie 1.6 Jeśli R jest pierścieniem artinowskim, to ma skończenie wiele ideałów pierwszych.
Twierdzenie 1.7 (Hopkins) Każdy pierścień artinowski jest noetherowski.
1.2
Definicja wymiaru
Definicja 1.12 Niech R będzie pierścieniem (niekoniecznie przemiennym). Przez
dim(R) oznaczamy największe n naturalne, że istnieje łańcuch:
P0 ( P1 ( P2 ( . . . ( Pn
ideałów pierwszych w R, o ile takie n istnieje. Jeśli nie istnieje, to dim(R) = ∞.
Przykłady:
• R-ciało ⇒ dim(R) = 0,
• R = Z ⇒ dim(Z) = 1.
1.3
Elementy algebr. całkowite, rozszerzenia całkowite
Definicja 1.13 R ⊆ S - pierścienie ze wspólną 1. Niech s ∈ S. Element s ∈ S
jest całkowity nad R jeśli istnieje wielomian unormowany nad R, którego s jest
pierwiastkiem.
Przykłady:
• Jeśli R jest ciałem, a S jest rozszerzeniem R, to elementy całkowite =
elementy algebraiczne
4
√
√
• Jeśli rozważymy rozszerzenie Z ⊆ Z[ 2], to 2 jest całkowity nad Z.
Lemat 1.1 Niech R ⊆ S oraz s ∈ S. Jeśli s jest całkowity nad R, to R[s]
jest skończenie generowanym R-modułem, przy czym przez R[s] to z definicji
najmniejszy podpierścień w S zawierający R, s (oraz 1).
Lemat 1.2 Niech R ⊆ S. Rozpatrujemy warunki:
(a) R ⊆ S jest rozszerzeniem całkowitym jeśli każdy s ∈ S jest całk. nad R
(b) dla każdych s1 , . . . , sn ∈ S pierścień R[s1 , . . . , sn ] jest skończenie generowanym R-modułem
Wówczas (a) ⇒ (b) oraz (b) ⇒ (a), jeśli R jest dziedziną1
Wniosek 1.3 Niech R ⊆ S będą dziedzinami. Wówczas zbiór elementów S całkowitych nad R tworzy podpierścień R.
Stwierdzenie 1.8 Jeśli R ⊂ T i R ⊂ S są rozszerzeniami całkowitymi, to
R ⊂ T też jest całkowite.
Stwierdzenie 1.9 Jeśli R ⊆ S jest rozszerzeniem całkowitym to:
• Jeśli φ : S → S ′ oraz φ(1) = 1, to φ(R) ⊆ φ(S) jest rozszerzeniem
całkowitym.
• Jeśli Z ⊆ R jest multiplikatywnie domkniętym zbiorem nie-dzielników zera
w S, to RZ −1 ⊆ SZ −1 jest całkowite.
Lemat 1.3 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym, przy czym S-dziedzina.
Wtedy R jest ciałem ⇔ S jest ciałem.
Wniosek 1.4 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Jeśli P ⊳ R jest
pierwszy, to:
P jest maksymalny w S ⇔ P ∩ R jest maksymalny w R.
Wniosek 1.5 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Niech Q ⊳ R
będzie ideałem pierwszym. Jeśli P1 ⊆ P2 to ideały w S takie, że Pi ∩ R = Q oraz
Pi są pierwsze, to P1 = P2 .
Lemat 1.4 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Załóżmy, że Q ⊳ R
jest ideałem pierwszym. Wtedy istnieje P ⊳ R, pierwszy i taki, że P ∩ R = Q.
Twierdzenie 1.8 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Niech
Q1 ⊂ Q2 ⊂ . . . ⊂ Qn
będą ideałami pierwszymi w R, zaś
P1 ⊂ P 2 ⊂ . . . ⊂ Pm
niech będą ideałami pierwszymi w S. Niech m < n oraz Pi ∩ R = Qi . Wtedy
istnieja ideały Pm+1 , . . . , Pn , że Pi ∩ R = Qi oraz Pi ⊳ S są pierwsze.
1 Można
pokazać bez tego założenia, że (a) ⇔ (b).
5
Twierdzenie 1.9 Niech R ⊆ S będzie rozszerzeniem całkowitym. Wówczas
dim(R) = dim(S).
Twierdzenie 1.10 (Charakteryzacja pierścieni Dedekinda) Następujące
warunki są równoważne (dla pierścienia przemiennego R):
• R jest dziedzina noetherowską, całkowicie domkniętą, dim(R) = 1,
• R ma jednoznaczność rozkładu na ideały pierwsze
1.4
Lemat Noether o normalizacji
Twierdzenie 1.11 (Noether o normalizacji) Niech R będzie dziedziną, skończenie generowaną jako algebra nad ciałem K. Wtedy istnieją x1 , . . . , xn ∈ R
takie, że K[x1 , . . . , xn ] (czyli najmniejszy pierścień zawierający: K, elementy xi oraz 1) jest zawarty w R, przy czym R jest skończenie generowanym
K[x1 , . . . , xn ]-modułem, oraz K[x1 , . . . , xn ] jest izomorficzny z pierścieniem wielomianów, tzn. x1 , . . . , xn są algebraicznie niezależne nad K.
1.5
Wymiar pierścienia wielomianów
Wniosek 1.6 Niech S = K[x1 , . . . , xn ] będzie pierścieniem wielomianów o n
przemiennych zmiennych. Wówczas dim(S) = n.
1.6
Wymiar algebry sk. generowanej (nad ciałem K)
Definicja 1.14 Jeśli K ⊆ L jest rozszerzeniem ciał, to przez stopień przestępny
L nad K, ozn. degtrK (L), rozumiemy:
sup{n | L zawiera n niezależnych elementów nad K}.
Twierdzenie 1.12 Jeżeli R jest dziedziną, sk. generowaną nad ciałem K, wówczas dim(R) = degtrK (L), gdzie L = (R) jest ciałem ułamków R.
Wniosek 1.7 Niech R będzie skończenie generowaną algebrą nad ciałem K
taką, że R jest ciałem. Wówczas K ⊆ R jest rozszerzeniem skończonym.
1.7
Zbiory algebraiczne i wymiar geometryczny; związek
z wymiarem Krulla
Wniosek 1.8 Jeśli K = K, to każdy maksymalny ideał w R = K[x1 , . . . , xn ]
jest postaci:
n
X
(x − ai )K[x1 , . . . , xn ],
M=
i=1
dla pewnych ai ∈ K.
Wniosek 1.9 Jeśli K = K oraz I⊳K[x1 , . . . , xn ], przy czym I 6= K[x1 , . . . , xn ],
to niepusty jest następujący zbiór:
V (I) := {a ∈ K n | f (a) = 0, ∀f ∈I }.
6
Wniosek 1.10 (Twierdzenie Hilberta o zerach) Niech K = K. Niech f ∈
K[x1 , . . . , xn ] będzie takie, że f (a) = 0, dla każdego a ∈ V (I), gdzie I ⊳
K[x1 , . . . , xn ]. Wtedy
√
f ∈ I := {g ∈ K[x1 , . . . , xn ] | ∃r g r ∈ I}.
Definicja 1.15 Podzbiór A ⊆ K n nazwiemy algebraicznym, jeśli jest on postaci A = V (I), dla pewnego ideału I. Innymi słowy jest to zbiór rozwiązań
skończonego układu równań algebraicznych.
Twierdzenie 1.13 Niech K = K. Wówczas:
• V (0) = K n
• V (K[x1 , . . . , xn ]) = ∅
• V (I1 + I2 ) = V (I1 ) ∩ V (I2 ) (i analogicznie dla sumy dowolnej ilości ideałów)
• V (I ∩ J) = V (I) ∪ V (J).
Definicja 1.16 Na K n określić możemy topologię, w której zbiorami domkniętymi będą zbiory V (I), gdzie I ⊳ K[x1 , . . . , xn ]. Nazywamy ją topologią Zariskiego.
Twierdzenie 1.14 Załóżmy, że K = K. Jeśli A ⊆ K n , to niech I(A) oznacza
najmniejszy ideał I w K[x1 , . . . , xn ] taki, że dla każdego f ∈ I oraz dla każdego
a ∈ A zachodzi równość f (a) = 0. Wówczas:
1. V (I(A)) = A, dla każdego zbioru algebraicznego A.
√
2. Jeśli J ⊳ K[x1 , . . . , xn ], to I(V (J)) = J ⊇ J.
√
Wniosek 1.11 Jesli J = J, to I(V (J)) = J. Są to tzw. ideały półpierwsze.
Przekształcenia I, V zadają odwracającą porządek bijekcję pomiędzy ideałami w
K[x1 , . . . , xn ], a zbiorami algebraicznymi w K n .
Definicja 1.17 Niech A ⊆ K n będzie zbiorem algebraicznym. Powiemy, że jest
on przywiedlny jeśli jest sumą dwóch zbiorów algebraicznych w K n , różnych od
samego siebie. Zbiór A jest nieprzywiedlny (inaczej: jest rozmaitością) jeśli nie
jest przywiedlny.
Twierdzenie 1.15 Niech A będzie zbiorem algebraicznym. Równoważne są następujące warunki:
1. A jest zbiorem nieprzywiedlnym w K n
2. I(A) jest ideałem pierwszym w K[x1 , . . . , xn ].
Definicja 1.18 Wymiarem geometrycznym zbioru algebraicznego A nazywamy
liczbę:
sup{n | A = An ) An−1 ) . . . ) A1 ) A0 = ∅}.
gdzie Ai są niepustymi podzbiorami nieprzywiedlnymi.
7
Wniosek 1.12 Wymiar geometryczny zbioru A ⊆ K n równy jest dim(K[x1 , . . . , xn ]/I(A)).
Obserwacja 1.1 Niech A będzie podzbiorem algebraicznym w K n . Wówczas
istnieją nieprzywiedlne zbiory algebraiczne A1 , . . . , Ar w K n takie, że:
A = A1 ∪ A2 ∪ . . . ∪ Ar .
Co więcej, jeśli istnieją także nieprzywiedlne zbiory algebraiczne B1 , . . . , Bs w
K n takie, że:
A = B1 ∪ B2 ∪ . . . ∪ Bs ,
to r = s oraz istnieje takie σ ∈ Sr , że Aσ(i) = Bi .
2
2.1
Wymiar Gelfanda-Kiryłowa
Funkcja wzrostu algebry; funkcja wzrostu półgrupy i
grupy
Definicja 2.1 Niech K będzie ciałem. Powiemy, że K-algebra jest skończenie
generowana jeśli istnieją a1 , . . . , an ∈ A takie, że A to najmniejsza podalgebra
w A, która zawiera a1 , . . . , an . Inaczej mówiąc, istnieje n oraz homomorfizm
φ : Khx1 , . . . , xn i → A,
na
gdzie Khx1 , . . . , xn i to K-algebra wolna o zbiorze wolnych generatorów x1 , . . . , xn .
Korespondując z powyższą definicją rozważmy dowolną skonczenie wymiarową
podprzestrzeń V algebry A, która generuje A, czyli na przykład V = span{a1 , . . . , an }.
Niech:
V 0 = K,
...,
V k = spanK {ai1 . . . aik | ij ∈ {1, 2, . . . , n}}.
Definicja 2.2 Niech A będzie algebrą, zaś V dowolną skończenie wymiarową
podprzestrzenią generującą A. Niech An = V 0 + V 1 + . . . + V n , gdie n ­ 0.
Wówczas:
A0 ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ . . .
oraz A jest sumą mnogościową wszystkich Ai . Określamy dV : N → R+ , gdzie:
dV (n) = dimK (An )
jako funkcję wzrostu odpowiadającą przestrzeni V . Jest to funkcja niemalejąca.
FUNKCJA WZROSTU PÓŁGRUPY I GRUPY ???
8
2.2
Porównywanie funkcji wzrostu; wzrost algebry i wymiar GKdim(R)
Definicja 2.3 Niech Φ będzie rodziną niemalejących funkcji N → R+ . Wprowadzamy relację na Φ: jeśli f, g ∈ Φ, to
f ¬∗ g ⇔ ∃c,m∈N f (n) ¬ cg(mn), dla prawie wszystkich n.
oraz f ∼ g wtedy i tylko wtedy, gdy f ¬∗ g oraz g ¬∗ f .
Łatwo pokazać, że ∼ jest relacją równoważności na Φ. Elementy Φ/ ∼ nazywamy
wzrostami funkcji z Φ. Klasa f to G(f ).
Lemat 2.1 Niech f, g ∈ Φ. Wtedy:
1. lim sup(logn (f (n)) = inf{ρ ∈ R | f (n) ¬ nρ , p.w.} = inf{ρ ∈ R | G(f ) ¬∗
Pρ } = t.
2. Jeśli G(f ) = G(g), to lim sup(logn (f (n)) = lim sup(logn (g(n)).
Definicja 2.4 Niech A będzie algebrą skończenie generowaną, zaś V - dowolną
podprzestrzenią generującą A. Wówczas wymiarem Gelfanda-Kiryłowa algebry
A, ozn. GKdim(A) nazywamy liczbę
lim sup(logn (dV (A)).
Jeśli A jest dowolną algebrą, to GKdim(A) to supremum z GLdim(B), po
wszystkich podalgebrach skończenie generowanych B algebry A.
2.3
Wartości wymiaru: 0, 1, 2 oraz (2, ∞) i ∞
Stwierdzenie 2.1 Niech A będzie skończenie generowana. Wówczas GKdim(A) =
0 wtedy i tylko wtedy, gdy A jest skończenie wymiarowa.
Twierdzenie 2.1 Dla każdego r ­ 2 istnieje algebra skończenie generowana R
taka, że GKdim(R) = r.
Twierdzenie 2.2 (Bergman’s Gap Theorem) Nie istnieje algebra A taka,
że 1 < GKdim(A) < 2.
WYMIAR 1
Twierdzenie 2.3 (Small, Warfield) Jeśli A jest skończenie generowana oraz
GKdim(A) = 1, to A jest PI.
Twierdzenie 2.4 Niech A będzie K-algebrą generowaną przez x, y oraz relacje:
x2 = xyx = yxy = 0.
Wówczas A nie jest noetherowska oraz GKdim(A) = 1.
9
Twierdzenie 2.5 Jeśli A jest skończenie generowana i półpierwsza, to GKdim(A) =
1 wtedy i tylko wtedy gdy A jest skończenie generowana jako moduł nad pewną algebrą wielomianów jednej zmiennej K[x] ⊆ Z(A). W szczególności A jest
noetherowska.
Twierdzenie 2.6 Niech K będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Jeśli Kalgebra A jest dzieziną i GKdim(A) ¬ 1, to A jest przemienna.
MAŁE WYMIARY
Był problem: jeżeli R jest algebrą z gradacją, R - skończenie generowana i
dimK (R0 ) < ∞. Założmy, że R jest dziedziną. Czy wymiar GKdim(R) ∈
N ∪ {∞}.
Ogólniejszy problem (bardzo trudny): jeżeli R jest dowolną dziedziną, to czy
GKdim(R) ∈ N ∪ {∞}?
Twierdzenie 2.7 Jeśli R jest z gradacją i dziedziną (sk. generowaną), z faktu,
że GKdim(R) > 2 wynika, że GKdim(R) ­ 3.
WYMIAR SKOŃCZONY
Definicja 2.5 Niech A będzie algebrą. Jeśli istnieje taki niezerowy wielomian
f ∈ Khx1 , . . . , xn i taki, że f (a1 , . . . , an ) = 0, dla każdych a1 , . . . , an ∈ A, to A
nazywamy P I-algebrą.
Przykłady:
• A - przemienna
• A - nilpotentna (bez 1)
• Mn (A), gdzie A - przemienna (ogólniej, gdzie A - PI)
• G-grupa prawie abelowa, to K[G] jest PI.
Twierdzenie 2.8 (A. Braun) Jeśli A jest skończenie generowana i P I, to
J(A) jest nilpotentny.
Twierdzenie 2.9 W powyższej sytuacji B(A) = J(A).
Twierdzenie 2.10 (Posner) Jeśli A jest skończenie generowaną algebrą PI,
pierwsza, to Z(A) \ {0} jest multiplikatywnie zamknięty zbiór składający się z
elementów regularnych w A. Zatem A ⊆ AS −1 . Co więcej, AS −1 ≃ Mn (D),
gdzie D jest dziedziną o skończonym wymiarze nad swoim centrum (równym
notabene Z(A)S −1 .)
Wniosek 2.1 GKdim(A) = GKdim(Z(A)) ∈ N, jeśli A jest skończenie generowaną PI algebrą pierwszą.
Wniosek 2.2 Jeśli A jest dowolną P I algebrą, to jej wymiar GKdim(A) < ∞.
10
Drugi problem (bardzo trudny): jeśli A - prawostronnie noetherowska, to czy
GKdim(A) jest liczbą naturalną lub nieskończonością?
Twierdzenie 2.11 (Braun) Jeśli A jest skończenie generowaną P I-algebrą
prawostronnie noetherowską, to A ֒→ Mn (F ) dla pewnego ciała F oraz pewnego
n.
Twierdzenie 2.12 (Markov) Jeśli A ֒→ Mn (F ) dla pewnego ciała F oraz
jeśli A jest skończenie generowana, to GKdim(A) jest liczbą naturalną.
WYMIAR NIESKOŃCZONY
Twierdzenie 2.13 Jeśli X jest zbiorem nieprzemiennych zmiennych, gdzie |X| ­
2, to GKdim(KhXi) = ∞.
Wniosek 2.3 Niech A będzie dziedziną. Jeśli GKdim(A) < ∞, to A jest Orego.
2.4
Wzrost wykładniczy, wielomiany i podwykładniczy
Definicja 2.6 Niech f (n) = nα , dla pewnego α > 1. Wówczas f ∈ Φ. Wtedy
G(f ) nazywamy wzsotem wielomianowym stopnia α, ozn. Pα .
ǫ
Definicja 2.7 Dla dowolnej liczby dodatniej ǫ niech f (n) = en . Wówczas G(f )
oznaczamy przez Eǫ . Wzrost równy E1 nazywamy wykładniczym. Wzrosty większe
nazywamy ponadwykładniczymi. Jeśli G(f ) < E1 , ale G(f ) 6¬ Pm , dla każdego
m ∈ N, to mówimy, że f ma wzrost podwykładniczy.
Definicja 2.8 Jeśli f ∈ Φ oraz f (n) ¬ nα , dla prawie wszystkich n wówczas
mówimy, że f ma wzrost wielomianowo ograniczony.
Dla każdego α istnieje algebra o wzroście Pα . Przykładem algebry o wzroście
wykładniczym jest Khx, yi.
Twierdzenie 2.14 (Smith) Niech L będzie nieskończenie wymiarową algebrą
Liego z bazą {x, y1 , . . .} oraz relacjami:
[x, yi ] = yi+1 ,
[yj , yj ] = 0.
Wówczas algebra obwiednia A = U (L) algebry A ma podprzestrzeń generującą
√
postaci V = Kx+Ky1 i dV (n) ∼ exp( n), a więc A ma wzrost podwykładniczy.
Twierdzenie 2.15 (Borho-Kraft) Niech A będzie skończenie generowaną algebrą nieskończenie wymiarową. Wóczas P1 ¬ G(A) ¬ ǫ1 .
11
2.5
Wzrost i wymiar algebr K[x1 , . . . , xn ], Khx, yi.
Niech A będzie algebrą wolną o dwóch generatorach równą Khx, yi. Wówczas
V = Kx + Ky jest przestrzenią generującą A oraz:
!
n
X
i
V
= 1 + 2 + 22 + . . . + 2n = 2n+1 − 1.
dV (n) = dimK
i=0
Stąd G(A) = E1 .
Niech A = K[x1 , . . . , xd ]. Wówczas przestrzeń V = Kx1 + . . . + Kxd jest przestrzenią generującą A oraz:
n+d
dim(V n+1 ) =
,
d−1
jest funkcją wielomianową zmiennej n stopnia d − 1. Stąd G(A) = Pd .
2.6
Zachowanie się wymiaru przy podstawowych konstrukcjach
Dotychczas było, że jeśli B ⊆ A lub A → B jest epimorfizmem, to GKdim(B) ¬
GKdim(A). Teraz szereg konstrukcji.
Stwierdzenie 2.2 GKdim(A1 ⊕ A2 ) = max{GKdim(A1 ) + GKdim(A2 )}.
Stwierdzenie 2.3 Jeśli I1 , . . . , In ⊳ A, to
GKdim(A/(I1 ∩ I2 ∩ . . . ∩ In )) = max{GKdim(A/Ij )}.
Twierdzenie 2.16 Jeśli I1 , . . . , In ⊳ A, to:
GKdim(A/I1 I2 . . . In ) ¬
n
X
GKdim(A/Ij ).
j=1
Wniosek 2.4 Jeśli I ⊳ A oraz I n = 0 dla pewnego n, to
GKdim(A) ¬ n · GKdim(A/I).
Wniosek 2.5 Jeśli A jest prawostronnie noetherowska, to wiemy, że B(A)n =
0, gdzie B(A) jest radykałem pierwszym, zatem GKdim(A) ¬ nGKdim(A/B(A)).
Stwierdzenie 2.4 Zachodzi równość: GKdim(A[x]) = GKdim(A) + 1.
Stwierdzenie 2.5 max{GKdim(A1 ), GKdim(A2 ) ¬ GKdim(A1 ⊗A2 ) ¬ GKdim(A1 )+
GKdim(A2 ).
Lemat 2.2 Niech MR będzie skończenie generowanym modułem prawostronnym nad R. Wtedy istnieje podalgebra S ⊆ Mn (R), dla pewnego n oraz homona
morfizm S →→ EndR (M ).
12
Wniosek 2.6 GKdim(EndR (M )) ¬ GKdim(S) ¬ GKdim(Mn (R)) = GKdim(R).
′
Stwierdzenie 2.6 Jesli R ⊆ R′ to algebry oraz RR
jest skończenie generowa′
nym modułem prawostronnym, to GKdim(R ) = GKdim(R).
Definicja 2.9 (Centralna lokalizacja) Niech A będzie algebrą, zaś C ⊆ Z(A).
Przypuśćmy, że C jest multiplikatywnie zamknięty oraz, że C składa się z samych elementów regularnych (nie będących dzielnikami 0). Wtedy istnieje tzw.
centralna lokalizacja R względem C, ozn. RC albo RC −1 złożony z elementów
ac−1 , przy pewnych utożsamieniach.
Stwierdzenie 2.7 GKdim(RC ) = GKdim(R).
Mamy pewne przykłady. Niech R = K[x1 , . . . , xn ] oraz C = R 6= {0}, zatem
RC −1 to funkcje wymierne K(x1 , . . . , xn ), a więc wymiar wielomianów i ciała
ułamków jest taki sam i równy n. Inny przykład. Jeśli G jest grupą abelową
skończenie generowaną. Rozważmy
K[G] ≃ K[Z n × H] ⊇ K[Z n ].
−1
Ale K[Z n ] = K[x1 , x−1
1 , . . . , xn , xn ]. Ale to ostatnie to lokalizacja przy odwróceniu jednomianów. Zatem GKdim(KG) jest rangą beztorsyjną tej grupy.
OSTRZEŻENIE. Jeśli lokalizacja jest niecentralna, to nie jest prawda. Jeśli
wezmę A1 – pierwszą algebrę Weyla. Można sprawdzić, że wymiar A1 to 2, a
ułamki nad nią mają wymiar nieskończony, co więcej zawierają algebrę wolną
nieprzemiennych zmiennych.
Twierdzenie 2.17 Niech S ⊆ Z(A), przy czym S jest multiplikatywnie zamknięty oraz zawiera jedynie elementy regularne. Wówczas GKdim(AS −1 ) =
GKdim(A).
2.7
Ważne twierdzenia o wzroście grup
Twierdzenie 2.18 (Gromov) Jeśli G jest skończenie generowana (a zatem
K[G] jest skończenie generowaną algebrą), to GKdim(K[G]) < ∞ wtedy i tylko
wtedy, gdy G jest grupą prawie nilpotentną.2
Definicja 2.10 Niech G będzie grupą. Określamy dolny ciąg centralny dla G:
ξ0 = G,
ξ1 = [G, G], ξk = [G, ξk−1 ].
Jasne, że:
G = ξ0 ⊇ ξ1 ⊇ ξ2 ⊇ . . .
Jeśli istnieje r takie, że ξr jest grupa trywialną, to mówimy, że G jest nilpotentna. Uwaga:
{abelowe} ⊆ {nilpotentne} ⊆ {rozwiązalne}.
2 Inna terminologia to nilpotent-by-finite, virtually nilpotent, a więc istnieje N ⊳ G, że N
jest nilpotentna, zaś G/N - skończona
13
Twierdzenie 2.19 (Tits) Jeżeli G jest nilpotentna, skończenie generowana,
to
X
GKdim(K[G]) =
i · di ,
i
gdzie di jest rangą beztorsyjną i-tego ilorazu.
Twierdzenie 2.20 Funkcja wzrostu dla skończenie generowanej grupy nilpotentnej G jest równoważna funkcji wielomianowej (w sensie ¬∗ ).
Twierdzenie 2.21 (Grigorczuk) Istnieją skończenie generowane grupy, których wzrost jest podwykładniczy, tzn. nie jest równoważny wykładniczemu ale
też nie jest ograniczony przez żaden wzrost wielomianowy.
Twierdzenie 2.22 (Grigorczuk) Jeśli S jest podpółgrupą w grupie nilpotentnej G, to grupa generowana przez S w G ma taki sam wzrost co S (a więc można
stosować poprzednie twierdzenia).
Wiemy, że jeśli G jest skończenie generowana prawie nilpotentna, to istnieje
nilpotentna podgrupa normalna N skończonego indeksu w G. Zatem K[G] jest
skończenie generowany jako K[N ]-moduł. Zatem wymiary K[G] oraz K[N ] są
równe.
Twierdzenie 2.23 (Alternatywa Titsa) Jeśli G ⊆ Gln (K), gdzie K jest dowolnym ciałem, jest skończenie generowaną podgrupą, to albo G zawiera podgrupę wolną rangi 2, albo G jest prawie rozwiązalna.
Twierdzenie 2.24 (Salwa, JO) Ponadto (alt. Titsa) albo G zawiera podpółgrupę wolną rangi ­ 2, albo G jest prawie nilpotentna.
Zatem jeśli jest grupa, którą da się włożyć w macierze nad ciałem to ma ona albo
wzrost wielomianowy, albo wykładniczy (czyli takie przykłady jak Grigorczuka
nie istnieją).
2.8
Porównanie wymiaru GK z klasycznym wym. Krulla
Jeśli nie założymy, że A jest skończenie generowana, to dwa wymiary nie mają
nic wspólnego. Jeśli K ⊆ L jest rozszerzeniem ciał, skończenie generowanym
jako algebra, to klasyczny wymiar Krulla L to 0. Ale GKdim(L) jest stopniem
przestępnym stopnia n nad K.
Twierdzenie 2.25 Załóżmy, że A jest skończenie generowaną algebrą przemienną (nad ciałem K). Wtedy Kdim(A) = GKdim(A).
Lemat 2.3 Niech B ⊆ A będzie podalgebrą taką, że A jest skończenie generowanym (lewostronnym) A-modułem. Wówczas GKdim(A) = GKdim(B).
14
2.9
Algebra jednomianowa stowarzyszona z daną skończenie generowaną algebrą R i zastosowania do liczenia
wymiaru GK
Powiemy najpierw czym są „monomial algebras”. Niech Khx1 , . . . , xn i - algebra wolna rangi n. Jeśli J jest ideałem generowanym przez pewien zbiór
Z słów z monoidu wolnego hx1 , . . . , xn i, to algebra monomialowa to algebra
Khx1 , . . . , xn i/J.
Jeśli X = hx1 , . . . , xn i jest półgrupą słów, to Khx1 , . . . , xn i = K[X] jest algebrą
połgrupową X. Teraz biorę ideał I - ideał półgrupowy hx1 , x2 , . . . , xn i generowany przez Z. Wówczas algebra monomianowa to jest K0 [X/I], gdzie X/I jest
ilorazem Reesa. Co więcej J = K[I].
Definicja 2.11 (Porządek deg-lex na X) Niech w = xi1 . . . xik oraz v =
xj1 . . . xjk będą elementami X. Powiemy, że:
(
|w| < |v|, czyli k < l
w < v ⇐⇒
|w| = |v| oraz w poprzedza v leksykograficznie.
Podstawowe własności. Określony porządek jest dobry (a więc też liniowy).
Co więcej, jeśli w < v oraz a, b ∈ X, to awb < avb. Półgrupa X jest uporządkowana przez <.
Cel jest taki, że jeśli dana jest algebra skończenie generowana A, to chcemy zbudować algebrę jednomianową o tym samym GKdim, a nawet o tej samej funkcji wzrostu. Biorę algebrę A, gdzie A = K[a1 , . . . , an ], dla pewnych
a1 , a2 , . . . , an ∈ A (OSTRZEŻENIE: ten zapis K[cos] oznacza skończone generowanie, a więc najmniejszą podalgebrę nad K zawierającą „coś”). Możemy
wykonać homomorfizm φ : Khx1 , . . . , xn i → A zadany przez xi 7→ ai . Teraz A ≃ KhXi/ ker(φ). Buduję pewien zbiór słów W ⊆ X (potem przyjmę
I = X \ W ). Robimy to rekurencyjnie.
• W0 = {1} (słowo puste).
• Jeśli W0 , . . . , Wn−1 zostały już zdefiniowane, to po pierwsze zapisujemy w
porządku leksykograficznym wszyskie słowa długości n w X, a po drugie
P
idąc od lewej strony wykreślamy każde słowo v takie, że φ(v) =
λi φ(vi ),
dla λi ∈ K, gdzie v1 , . . . vs , że vi < v. To co zostaje to w definicji Wn .
• W to suma wszystkich Wn .
Lemat 2.4 Zachodzą następujące fakty.
1. φ(W ) jest bazą algebry A
2. każde podsłowo (spójny kawałek) słowa w ∈ W jest też elementem zbioru
W
Konsekwencje.
15
• Jeśli I = X \ W , to I ⊳ X (chodzi o ideał półgrupowy). Bierze się to stąd,
że W jest zamknięty na branie podsłów.
• KhXi/ K[I] to algebra jednomianowa odpowiadająca pewnej prezentacji
A (czyli φ : KhXi → A. Bazą tej algebry jest W .
Wniosek 2.7 Funkcja wzrostu A (odpowiadająca podprzestrzeni V = {1, a1 , . . . , an }
równa się funkcji wzrostu algebry KhXi/ K[I] odpowiadającej podprzestrzeni V =
{1, x1 , . . . , xn }. Stąd GKdim(A) = GKdim(KhXi/ K[I]).
2.10
Wzrost i wymiar grafów i zastosowanie do liczenia
wymiaru GK dla pewnej klasy algebr
Definicja 2.12 Przez graf Γ rozumiemy parę (V, E), gdzie V ⊆ V × V . Określamy pojęcia: drogi, łańcucha (droga bez powtarzających się krawędzi), cykl
(łańcuch o początku równym końcowi), cykl prosty (każdy wierzchołek cyklu z
wyjątkiem początku jest użyty jeden raz).
Przyjmijmy, że X = hx1 , . . . , xn i jest monoidem wolnym. Niech I ⊳ X (ideał w
X) generowany przez skończony zbiór elementów. Zatem
I = Xw1 X ∪ Xw2 X ∪ . . . ∪ Xwr X.
Niech k ∈ N takie, że k + 1 jest maksymalną z długości słów w wi . Zakładamy,
że k 6= 0. Definiuję graf Γ(I). Jest to V = {v ∈ X \ I : |v| = k}. Natomiast jeśli
s, t ∈ V to (s, t) ∈ E wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją x, y ∈ {x1 , . . . , xn }, gdzie
sx = yt ∈
/ I.
Przykłady. Niech n = 4 oraz hx1 , x2 , x3 , x4 i podzielone przez ideał generowany
przez xj xi , dla każdego j > i. Zatem słów w X jest skończenie wiele. Każde
z tych słów jest długości 2, a zatem k = 1. Zatem V = {x1 , x2 , x3 , x4 }. Na
przykład x1 · x1 = x1 · x1 ∈
/ I. Mam więc pętelkę w x1 . Mamy też x1 x2 = x1 x2 ∈
/
I. Ale nie ma strzałki z x2 do x1 , bo x2 x1 ∈ I.
Był już jeden przykład. A terax kolejny. Niech X = hx, yi oraz I = (x3 , yxy, xyx).
Długości generatorów I wynoszą 3, a więc k = 2. A więc piszemy wszystkie słowa długości 2: {x2 , y 2 , yx, xy}. I to są wierzchołki. Aby mieć strzałki patrzę na
słowa długości 3 i patrzę, czy one mogą mieć „dwa zapisy”. Wypisujemy słowa
długości 3, ale te, których nie ma w I: xxy, yxx, xyy, yyx, yyy. Każde z nich da
jedną strzałkę w grafie. Zatem mamy strzałki x2 → xy, yx → x2 , y 2 → yx oraz
y 2 → y 2 . Ten graf ma wierzchołki podwójnie cykliczne, tzn. v ∈ V takie, że v
należy do dwóch różnych cykli prostych (dokładniej, w tym przypadku jeden
wierzchołek jest cykliczny).
UWAGA. Krawędzie Γ(I) są w bijekcji ze słowami w X o długości k + 1 nie
należącymi do I. Istotnie, jeśli y1 . . . yk+1 ∈ X \ I, przy czym yi ∈ {x1 , . . . , xn },
zatem mamy krawędź z y1 . . . yk do y2 . . . yk+1 . Odwrotnie, jeśli (s, t) ∈ E, to
jeśli s = y1 . . . yk oraz t = z1 . . . zk takie, że si , zi ∈ {x1 , . . . , xn }. Zatem sx = yt.
To jest równość słów. Co więcej z założenia element ten nie należy do I. Z tych
równości łatwo produkujemy odpowiednie słowa.
16
Definicja 2.13 Funkcja wzrostu dla grafu Γ to funkcja dΓ (m) równa z definicji
liczbie dróg długości ¬ m w grafie Γ. Wymiarem GK grafu Γ nazywamy liczbę
lim sup(logn (dΓ (m)).
Stwierdzenie 2.8 Rozważmy graf (na karteczce), gdzie σ1 , . . . , σd to cykle proste, zaś z1 , . . . , zd+1 to łańcuchy proste. Wówczas Γ ma wzrost wielomianowy.
Twierdzenie 2.26 Jeśli I = (w1 , . . . , wn ) jest skończenie generowanym ideałem w X = hx1 , . . . , xn i, to KhXi/KhIi oraz Γ(I) maja równoważne funkcje
wzrostu.
Twierdzenie 2.27 (Ufnarovskii) Wzrost grafu Γ(I) jest wykładniczy lub wielomianowy oraz:
1. GKdim(Γ) = d < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy Γ nie ma wierzchołków podwójnie cyklicznych oraz d to maksymalna liczba taka, że Γ zawiera podgraf
z PRZYKŁADU (długośći d).
2. GKdim(P (I)) = ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy P am wierzchołek podwójnie
cykliczny.
Lemat 2.5 Niech Γ będzie skończonym zorientowanym grafem. Wówczas:
1. Jeśli przez każde dwie krawędzie Γ przechodzi pewna doga oraz v ∈ V
nie leży w żadnym cyklu, to co najwyżej jedna krawędź wychodzi z v i co
najwyżej jedna wchodzi do v.
2. Załóżmy, że Γ nie ma wierzchołków podwójnie cyklicznych. Niech σ będzie
cyklem prostym oraz y to pewna krawędź nie należąca do σ, ale taka, że
początek (lub koniec) należy do σ. Wtedy dla każdej drogi z o pierwszej
krawędzi (ostatniej krawędzi) y wierzchołek v jest jedynym wierzchołkiem
σ zawartym w z.
3. Jeśli y1 , y2 ∈ E są takie, że żadna droga nie zawiera na raz y1 i y2 to
funkcje dΓ oraz dΓ1 + dΓ2 są równoważne, gdzie Γi = Γ \ {yi }. A więc
GKdim(Γ) = sup{GKdim(Γi )}.
2.11
Ważne rezultaty o PI algebrach skończenie generowanych
Twierdzenie 2.28 Radykał pierwszy, a także radykał Jacobsona PI algebry
skończenie generowanej jest nilpotentny.
Twierdzenie 2.29 PI algebra skończenie generowana ma skończenie wiele minimalnych ideałów pierwszych P1 , . . . , Pn .
Twierdzenie 2.30 Niech A będzie skończenie generowana i PI. Wówczas GKdim(A/P )
jest liczbą całkowitą dla każdego ideału pierwszego P , także GKdim(A) jest liczbą całkowitą jeśli A jest prawostronnie noetherowska.
17
2.12
Ważne przykłady
Rozważmy grupę Heisenberga o prezentacji postaci:
G = hx, y, z : zy = yz, zx = xz, yx = zxyi.
Jest to grupa powstająca przez iloraz grupy wolnej rangi 3 przez najmniejszy
dzielnik normalny zawierający zyz −1 y −1 , zxz −1 x−1 , yxy −1 x−1 z −1 . W tej grupie
zawarty jest monoid M o takiej samej prezentacji będący jako półgrupa ilorazem
monoidu wolnego o trzech wolnych generatorach przez najmniejszą kongruencję
zawierającą pary (zy, yz), (zx, xz), (yx, zxy). Jest to grupa skończenie prezentowalna, ale ideał I (algebry monomianowej) jest nieskończenie prezentowalny.
Niech R = K[y, y −1 , z, z −1 ] ⊆ K[G]. Jest to przemienna podalgebra. Określamy też S = R[x, σ] - wielomiany skośne, gdzie σ ∈ Aut(R) zadane jest przez
σ(y) = z −1 y, σ(z) = z. Można zauwazyć, że T = K[G]. Warto zauważyć, że G
ma podgrupę normalną izomorficzną z Z × Z i powstaje jako produkt półprosty
tej podgrupy z pewną podgrupą skończoną.
Stwierdzenie 2.9 Niech K[hx, yi] ≃ R ⊆ S ⊆ T . Wówczas
• GKdim(R) = 2
• GKdim(S) = 4
• GKdim(T ) = 4
Stwierdzenie 2.10 Niech A1 będzie pierwszą algebrą Weyla, tzn. algebrą postaci Khx, yi/(xy − yx − 1). Wówczas GKdim(A1 ) = 2.
Jakie są powody rozważania tego przykładu? Algebra A1 jest prostą noetherowską dziedziną. Ułamki nad nią(wg Ore’go): D1 są algebrą z dzieleniem. Dość
trudne twierdzenie Makara-Limanova mówi, że zawierają one podalgebrę wolną
o dwóch generatorach. A więc jej wymiar GK jest nieskończony. To pokazuje,
że przy niecentralnej lokalizacji nie mamy kontroli między związkiem wymiaru
algebry i jej lokalizacji.
δ
Pokazuje się, że A1 ≃ K[x][y, δ], gdzie δ = δx
jest różniczkowaniem. Przypomnijmy, że R[y; δ] to zbiór wielomianów, ale jest zasada, że yr = ry − δ(r), gdzie
δ(r) = ry − yr. Na ogół okazuje się, że GKdim(R[x, δ]) > GKdim(R) + 1.
Stwierdzenie 2.11 Algebra A1 jest prosta, noetherowska i jest dziedziną. Trzeba założyć, że charatekterystyka K wynosi 0.
Dlaczego nas to interesuje? Otóż wymiar Krulla A1 to jest 0.
ALGEBRY GRUPOWE GRUPY POLICYKLICZNEJ ???
18
3
Wymiar modułowy Krulla (prawostronny)
3.1
Wymiar Goldie’go (inaczej: jednolity). Charakteryzacja wymiaru Goldie’go w języku sum prostych i rozszerzeń istotnych.
Umawiamy się, że R jest pierścieniem z 1. Moduły będą natomiast prawostronne
nad R.
Definicja 3.1 Niech V będzie R-modułem. Mówimy, że V jest jednolity jeśli
V 6= 0 oraz V nie zawiera sumy prostej swoich niezerowych podmodułów, tzn.
dla każdych niezerowych V1 , V2 ⊆ V mamy V1 ∩ V2 6= 0.
Definicja 3.2 Podmoduł E modułu V jest istotny (jako podmoduł w V ) jeśli
dla każdego X ⊆ V - podmodułu niezerowego mamy X ∩ E 6= 0. Innymi słowy,
dla każdego X 6= 0 zawartego w V mamy X ⊆e V .
Proste przykłady. Jeśli R = K jest ciałem, to V jest jednolity, gdy dimK (V ) = 1
oraz E ⊆ V jest istotny wtw gdy E = V . Na ogół stosuje się notację E <e V .
Lemat 3.1 Niech V będzie R-modułem, V 6= 0. Wtedy jeśli E1 ⊆ W1 , E2 ⊆ W2
to podmoduły w V , to:
1. jeśli Ei jest istotny w V , dla i = 1, 2, to E1 ∩ E2 też,
2. jeśli E1 jest istotny w V , to W1 istotny w V ,
3. jeśli E ⊆e W1 , W1 ⊆e V , to E ⊆e V ,
4. jeśli Ei ⊆e Wi , oraz W1 ∩ W2 = 0, to E1 ⊕ E2 ⊆e W1 ⊕ W2 .
Lemat 3.2 Załóżmy, że V nie zawiera nieskończonych sum prostych podmodułów (niezerowych). Niech 0 6= W ⊆ V . Wtedy:
1. W zawiera podmoduł jednolity o ile W 6= 0.
2. istnieje skończenie wiele podmodułów jednolitych U1 , U2 , . . . , Un w V takich, że W ⊕ U1 ⊕ . . . ⊕ Un oraz W ⊕ U1 ⊕ . . . ⊕ Un ⊆e V .
Lemat 3.3 Niech V będzie modułem. Założmy, że E = U1 ⊕. . .⊕Us ⊆ V , gdzie
Ui są jednolite oraz E ⊆e V oraz W = W1 ⊕ . . . ⊕ Wt ⊆ V , gdzie Wi 6= 0. Wtedy
t ¬ s.
Twierdzenie 3.1 Założmy, że moduł V nie zawiera nieskończonych sum prostych podmodułów niezerowych. Wtedy istnieje liczba n naturalna oraz podmoduły jednolite U1 , . . . , Un w V , że U1 ⊕ . . . ⊕ Un = U1 + . . . + Un oraz ta suma
jest istotna w całym V .
Definicja 3.3 Liczba określona w twierdzeniu nazywa się wymiarem jednolitym modułu V (wymiarem Goldie’go). Oznaczamy go jako u − dim(V ). Jeśli V
zawiera nieskończone sumy proste to przyjmujemy, że u − dim(V ) = ∞.
19
UWAGI.
• Jeśli V = RR , to piszemy, że u − dim(RR ) jest prawostronnym wymiarem
Goldiego pierścienia R.
• Okazuje się, że na ogół u − dim(RR ) 6= u − dimR R.
• V nie zawiera nieskończonych sum prostych ⇐⇒ istnieje n takie, że jeśli
W1 ⊕ . . . ⊕ Wj ⊆ V i dla każdego i mamy Wi 6= 0, to j ¬ n.
Definicja 3.4 (Goldie) Pierścień nazywamy prawostronnie Goldiego jeśli:
• u − dim(RR ) < ∞
• R ma acc na prawostronne ideały anihilatorowe.
Definicja 3.5 Niech R będzie pierścieniem. Jeśli Q jest pierścieniem takim, że:
• R⊆Q
• każdy element regularny w R jest odwracalny w Q
• dla każdego 0 6= q ∈ Q istnieją a, s ∈ R, że s-regularny w R taki, że
q = as−1 .
to Q nazywamy klasycznym pierścieniem ułamków prawostronnych dla R. Oznaczamy go często przez Qrcl (R).
Uwagi. Taki pierścień ułamków nie musi istnieć nawet jeśli R jest dziedziną.
Jeśli dla R istnieje takie Q to jest ono jedyne. Jeśli istnieją ułamki lewostronne
i prawostronne, to są one izomorficzne.
Twierdzenie 3.2 (Goldie) Następujące warunki są równoważne:
1. R jest półpierwszym (nie ma ideałów nilpotentnych) pierścieniem prawostronnie Goldiego
2. R ma ułamki prawostronnie klasyczne oraz Qrcl (R) jest półprosty artinowski
Stwierdzenie 3.1 Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to R jest prawostronnie Goldiego.
Wniosek 3.1 Twierdzenie działa dla dowolnego półpierwszego pierścienia prawostronnie noetherowskiego.
20
4
Wymiar Krulla modułu i pierścienia - definicja i jej przeformułowanie
Definicja 4.1 Określamy wymiar Krulla. Jeśli M = 0, to Kdim(M ) = −1.
Jeśli M 6= 0, to dla liczby porządkowej α mówimy, że Kdim(M ) = α jeśli:
1. Kdim(M ) nie jest mniejszy od α
2. nie istnieje nieskończony łańcuch podmodułów
M = M0 ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ . . .
taki, że dla Kdim(Mi−1 /Mi ) jest nie mniejszy od α
Jeśli warunki 1), 2) nie są spełnione dla żadnej liczby porządkowej α, to mówmy,
że M nie ma wymiaru Krulla.
Definicja 4.2 Jeśli R = RR , to KdimR := Kdim(RR ). Mówimy, że jest to
prawostronny wymiar Krulla tego pierścienia.
Co to znaczy, że Kdim(M ) = 0? Wiemy, że M 6= 0 oraz nie istnieje nieskończony taki, że każdy iloraz jest niezerowy. A więc każdy łańcuch się stabilizuje.
Zatem Kdim(M ) = 0 ⇐⇒ M jest artinowski.
Niech R będzie przemienną dziedziną ideałów głównych nie będąca ciałem. Niech
M = RR . Wiemy, że każdy element nieodwracalny ma jednoznaczność rozkładu:
a = pn1 1 . . . pnk k . Zatem ideał (a) jest zawarty tylko w skończenie wiele ideałach.
Wtedy R nie jest artinowski, bo a ∈
/ U (R), bo (a) 6⊇ (a2 ) 6⊆ . . . . Z drugiej strony
jeśli R = I0 ⊃ I1 ⊃ I2 . . ., gdzie Ij ⊳ R. to R/Ij ma skończenie wiele ideałów. A
zatem R/Ij jest artinowski. Zatem dla każdego i mamy Ij−1 /Ij jest artinowski
R-moduł. Zatem z deficji Kdim(R) = 1.
Stwierdzenie 4.1 Jeśli N ⊆ M oraz jeśli Kdim(M ) istnieje, to Kdim(N ),
Kdim(M/N ) też istnieją i są nie większe niż Kdim(M ).
Stwierdzenie 4.2 Warunek 2) z definicji jest równoważny następującemu warunkowi 2’): dla każdego łańcucha M = M0 ⊇ M1 ⊇ . . . istnieje tylko skończenie
wiele ilorazów Mi−1 /Mi takich, że Kdim(Mi−1 /Mi ) jest nie mniejszy od α.
4.1
Zachowanie wymiaru przy ciągach dokładnych
Lemat 4.1 Zachodzą następujące fakty:
1. Niech N ⊆ M jest podmodułem, to Kdim(M ) = sup(Kdim(N ), Kdim(M/N )).
2. KdimR = sup{KdimM : M − sk. gen. R-moduł}
3. KdimR ­ Kdim(R/I) gdy Kdim(R) istnieje o ile I ⊳ R.
21
4.2
Moduły krytyczne; podmoduły krytyczne modułu z
wymiarem Krulla istnieją i są modułami jednolitymi
Definicja 4.3 Niech M będzie modułem niezerowym, zaś α niech będzie liczbą
porządkową. Mówimy, że M jest α-krytyczny, jeśli:
• Kdim(M ) = α
• dla każdego niezerowego podmodułu N ⊆ M mamy Kdim(M/N ) < α.
Mówimy, że moduł jest krytyczny, jeśli jest α-krytyczny dla pewnego α.
Przykład. Jeśli α = 0, to wiemy, że M jest artinowski. Wówczas moduł jest
krytyczny wtedy i tylko wtedy, gdy jest modułem prostym.
Twierdzenie 4.1 Niech M będzie niezerowym modułem mającym wymiar Krulla. Wówczas M ma podmoduł krytyczny.
Twierdzenie 4.2 Jeśli M jest modułem α-krytycznym, to każdy jego niezerowy
podmoduł N jest α-krytyczny.
Wniosek 4.1 Niech {Ni }i∈I , dla |I| > 1, będzie rodziną podmodułów w module
M takich, że dla każdego i moduł Mi jest krytyczny oraz jeśli Kdim(Ni ) = αi ,
P
to αi 6= αj , dla i 6= j. Wtedy
Ni jest sumą prostą.
i∈I
Wniosek 4.2 Jeśli M ma wymiar Krulla, to M ma podmoduły krytyczne tylko
dla skończenie wielu liczb porządkowych α.
Lemat 4.2 Niech M bedzie noetherowskim α-krytycznym R-modułem. Wtedy
M [x] jest α + 1-krytycznym R[x]-modułem.
Twierdzenie 4.3 Jeśli Kdim(MR ) istnieje oraz Kdim(RR ) istnieje, to:
Kdim(MR ) ¬ Kdim(RR ).
UWAGA: Gdy M - skończenie generowany to jest to łatwe i już było.
Lemat 4.3 Niech M = M0 ⊇ M1 ⊇ M2 ⊇ . . . będzie łańcuchem modułów oraz
0 = A0 ⊆ A1 ⊆ A2 ⊆ . . . - pewien ciąg podmodułów M . Załóżmy, że
Mi ∩ Ai+1 6⊆ Ai + Mi+1 ,
(1)
dla każdego i. Wtedy M nie ma wymiaru Krulla.
Lemat 4.4 Załóżmy, że M ma wymiar Krulla oraz niech {Aλ : λ < ǫ} bęS
dzie łańcuchem wstępującym podmodułów M taki, że A0 = 0 oraz Aλ = M .
Załóżmy, że Kdim(Aλ ) ¬ α, dla pewnego ustalonego α. Wtedy Kdim(M ) ¬ α.
Twierdzenie 4.4 Jeśli Kdim(M ) istnieje oraz M jest sumą podmodułów, które
mają wymiar ¬ α, dla α - ustalonej liczby porządkowej, to Kdim(M ) ¬ α.
Wniosek 4.3 Twierdzenie 1 z celów wykładu. Każdy moduł jest sumą podmodułów cyklicznych oraz Kdim(mR)R ¬ Kdim(RR ). Stąd z poprzedniego twierdzenia wiemy, że Kdim(M ) ¬ Kdim(R).
22
4.3
Ważne wyniki
Twierdzenie 4.5 Jeśli M jest prawostronnie noetherowski to Kdim(M ) istnieje.
Twierdzenie 4.6 Jeśli Kdim(M ) istnieje to M ma skończony wymiar Goldiego/
Twierdzenie 4.7 Jeśli R[x] ma wymiar Krulla to R jest prawostronnie noetherowski.
Twierdzenie 4.8 Jeśli R jest prawostronnie noetherowski, to Kdim(R[x]) =
Kdim(R) + 1.
Twierdzenie 4.9 Kdim(M ) nie przekracza Kdim(R) o ile oba istnieją.
4.4
Twierdzenia strukturalne dla pierścieni z wymiarem
Krulla
Twierdzenie 4.10 Niech R będzie półpierwszym pierścieniem z wymiarem Krulla. Wtedy R ma klasyczny pierścień ułamków prawostronnych, a więc Qra jest
półprosty artinowski.
Twierdzenie 4.11 Niech R będzie dowolnym pierścieniem z wymiarem Krulla.
Wtedy:
• B(R) (radykał pierwszy) jest ideałem nilpotentnym.
• istnieją ułamki klasyczne pierścienia R/B(R)
• R ma skończenie wiele minimalnych ideałów pierwszych P1 , . . . , Pn
• Kdim(R) = Kdim(R/B(R)) = sup{Kdim(R/Pi )}.
Stwierdzenie 4.3 Jeśli M ma wymiar Krulla, to:
Kdim(M ) ¬ sup{Kdim(M/E) + 1 : E ⊆e M } := α.
23