O ucietej 1-wariacji ruchu Browna

Transkrypt

O uciętej 1-wariacji ruchu Browna
Rafał Łochowski
Warsaw School of Economics
Rafał Łochowski (Warsaw School of Economics)
Będlewo 2008
Będlewo 2008
1 / 15
p -wariacja ruchu Browna
Dla p ¬ 2 p - wariacja standardowego ruchu Browna (Bt , t 0) na
przedziale [a, b] :
sup
sup
n X
Bt
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
i+1
p
− Bti = +∞,
(1)
jest p.n. nieskończona (P. Lévy, 1940).
Będlewo 2008
2 / 15
p -wariacja ruchu Browna
Dla p ¬ 2 p - wariacja standardowego ruchu Browna (Bt , t 0) na
przedziale [a, b] :
sup
sup
n X
Bt
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
i+1
p
− Bti = +∞,
(1)
jest p.n. nieskończona (P. Lévy, 1940).
Uwaga
Jeżeli a ¬ t1,k < · · · ¬ tnk ,k ¬ b jest zstępującym ciągiem podziałów
przedziału [a, b], o średnicy dążącej do 0 (Lévy, 1940) lub
max1¬i¬nk −1 (ti+1,k − ti,k ) = o(1/ ln(nk )) (Dudley, 1973) to p.n. zachodzi
lim
k→∞
nk 2
X
Bti+1,k − Bti,k = b − a.
(2)
i=1
W przypadku max1¬i¬nk −1 (ti+1,k − ti,k ) = O(1/ ln(nk )) powyższa
równość nie musi zachodzić (de la Vega, 1974).
Będlewo 2008
2 / 15
p -wariacja ruchu Browna z dryfem
Wszystkie przytoczone stwierdzenia pozostają w mocy dla ruchu Browna
z dryfem µ, Wt = Bt + µt.
Będlewo 2008
3 / 15
Gdy limk→∞ max
1¬i¬nk −1 (ti+1,k − ti,k ) = 0, to większość składników
1/2
i dominują one liniowe składniki
Bti+1,k − Bti,k jest rzędu (ti+1,k − ti,k )
µ (ti+1,k − ti,k ) , dlatego zachodzi (2).
Będlewo 2008
3 / 15
Gdy limk→∞ max
1¬i¬nk −1 (ti+1,k − ti,k ) = 0, to większość składników
1/2
i dominują one liniowe składniki
Bti+1,k − Bti,k jest rzędu (ti+1,k − ti,k )
µ (ti+1,k − ti,k ) , dlatego zachodzi (2).
Gdy n → ∞ to zawsze można dobrać podział a ¬ t1 < t2 < . . . < tn ¬ b
odcinka [a, b] tak aby wystarczająco dużo składników Bti+1 − Bti było
rzędu
q
(ti+1 − ti ) ln ln (1/ (ti+1 − ti )),
które dominują liniowe składniki µ (ti+1 − ti ) i zachodzi (1).
Będlewo 2008
3 / 15
ψ -wariacja ruchu Browna z dryfem
Dla ψ(x) = x 2 / ln(ln(1/x) ∨ e) p.n. zachodzi (Taylor, 1972):
sup
sup
n
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Bti+1 − Bti < +∞,
Będlewo 2008
4 / 15
sup
sup
n
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Bti+1 − Bti < +∞,
stąd natychmiast wynika, że również
sup
sup
n
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Wti+1 − Wti < +∞,
Będlewo 2008
(3)
4 / 15
sup
sup
n
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Bti+1 − Bti < +∞,
sup
sup
n
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Wti+1 − Wti < +∞,
(3)
co więcej, ψ jest funkcją o największym możliwym rzędzie wokół 0, dla
której zachodzi (3).
Będlewo 2008
4 / 15
sup
n
X
sup
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Bti+1 − Bti < +∞,
sup
n
X
sup
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
ψ Wti+1 − Wti < +∞,
(3)
co więcej, ψ jest funkcją o największym możliwym rzędzie wokół 0, dla
której zachodzi (3).
Uwaga
W przypadku, gdy średnica podziałów dąży do 0, to
lim sup
sup
n
X
δ→0 n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b,maxi (ti+1 −ti )¬δ
i=1
ψ Wti+1 − Wti = b − a.
Będlewo 2008
4 / 15
Ucięta p -wariacja ruchu Browna z dryfem
Dla dowolnych p, c > 0 zdefiniujemy p - wariację na przedziale [a, b],
uciętą na poziomie c, jako
Vµc,p [a; b] = sup
sup
n−1
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
φc,p Wti+1 − Wti ,
gdzie φc,p (x) = (x p − c p ) ∨ 0.
Będlewo 2008
5 / 15
Ucięta p -wariacja ruchu Browna z dryfem
Dla dowolnych p, c > 0 zdefiniujemy p - wariację na przedziale [a, b],
uciętą na poziomie c, jako
Vµc,p [a; b] = sup
sup
n−1
X
n a¬t1 <t2 <...<tn ¬b
i=1
φc,p Wti+1 − Wti ,
gdzie φc,p (x) = (x p − c p ) ∨ 0.
Z jednostajnej ciągłości Wt na przedziale [a, b] wynika, że p - wariacja
ucięta na poziomie c jest ”wybijana” dla podziałów
a ¬ t1 < t2 < ... < tn ¬ b, których średnica max1¬i¬n−1 (ti+1 − ti ) nie jest
zbyt mała i jest zmienną losową p.n. skończoną.
Będlewo 2008
5 / 15
Plan prezentacji
W referacie zajmiemy się wartością oczekiwaną uciętej 1 - wariacji z
dryfem. Plan referatu jest następujący
Będlewo 2008
6 / 15
Plan prezentacji
W referacie zajmiemy się wartością oczekiwaną uciętej 1 - wariacji z
dryfem. Plan referatu jest następujący
Uniwersalne (z dokładnością do uniwersalnych stałych) oszacowania
EVµc,1 [0; T ] .
Analiza zachowania EVµc,1 [0; T ] w zależności od parametrów c, µ i T .
Szkic dowodu.
Przykład zastosowania.
Będlewo 2008
6 / 15
Uniwersalne oszacowania EVµc,1 [0; T ]
Zachodzi następujące
Twierdzenie
EV c,1 [0;T ]
µ
Dla c, T > 0 i zdefiniowanej dalej funkcji F iloraz F (µ,c,T
) jest
oddzielony zarówno od 0 jak i od ∞, w szczególności można przyjąć
EVµc,1 [0; T ]
1
¬
¬ 100.
120
F (µ, c, T )
Będlewo 2008
7 / 15
Uniwersalne oszacowania EVµc,1 [0; T ]
Zachodzi następujące
Twierdzenie
EV c,1 [0;T ]
µ
Dla c, T > 0 i zdefiniowanej dalej funkcji F iloraz F (µ,c,T
) jest
oddzielony zarówno od 0 jak i od ∞, w szczególności można przyjąć
EVµc,1 [0; T ]
1
¬
¬ 100.
120
F (µ, c, T )
Dla µ = 0 funkcja F przyjmuje postać
( T
F (0, c, T ) =
c
(T )
dla T c 2 ,
2
3/2 e −c /(2T )
c2
dla T < c 2 .
Będlewo 2008
7 / 15
Pomocnicze formuły
Dla |µ|, c, T > 0 zdefiniujmy
s
χ(c, µ) =
s
e 2|µ|c − 1 − 2|µ|c
2
1
= c 1 + c|µ| + c 2 µ2 + . . .,
2
2µ
3
3
wówczas
F (µ, c, T ) =

T

+ |µ|T

 c√
2 T + |µ|T − c
2

)

 (T )3/2 e −(c−|µ|T ) /(2T
2
(c−|µ|T )
√
dla T χ(c, µ),
√
dla c − |µ|T ¬ T < χ(c, µ),
√
dla T < c − |µ|T .
Będlewo 2008
8 / 15
Szkic dowodu
Ze względu na symetrię ruchu Browna możemy przyjąć, że µ 0. Niech
Tc - czas pierwszego spadku procesu Wt o c:
Tc = inf{t 0 : Wt ¬ sup Ws − c}.
0¬s¬t
Będlewo 2008
9 / 15
Szkic dowodu
Ze względu na symetrię ruchu Browna możemy przyjąć, że µ 0. Niech
Tc - czas pierwszego spadku procesu Wt o c:
Tc = inf{t 0 : Wt ¬ sup Ws − c}.
0¬s¬t
Z definicji Tc wynika, że
Vµc,1 [0; Tc ] = max{ sup Wt −
0¬t¬Tc
inf
0¬t¬Tc
Wt − c, 0}
oraz
Vµc,1 [0; T ] ≈ Vµc,1 [0; T ∧ Tc ] + Vµc,1 [T ∧ Tc , T ] .
Będlewo 2008
9 / 15
Szkic dowodu, c.d.
Dzięki temu, że wystarczająco duża część rozkładu zmiennej Tc jest
skupiona wokół ETc = χ2 (µ, c), dla T ETc = χ2 (µ, c) mamy
EVµc,1 [0; T ] ≈
T
χ2 (µ, c)
· E max{ sup Wt −
0¬t¬Tc
inf
0¬t¬Tc
Wt − c, 0}.
Będlewo 2008
10 / 15
Szkic dowodu, c.d.
EVµc,1 [0; T ] ≈
T
χ2 (µ, c)
0¬t¬Tc
inf
0¬t¬Tc
Wt − c, 0}.
Dla T < ETc
EVµc,1 [0; T ] ≈ E max{ sup Wt − inf Wt − c, 0}.
0¬t¬T
0¬t¬T
Będlewo 2008
10 / 15
Szkic dowodu, c.d.
EVµc,1 [0; T ] ≈
T
χ2 (µ, c)
0¬t¬Tc
inf
0¬t¬Tc
Wt − c, 0}.
Dla T < ETc
0¬t¬T
0¬t¬T
Tu dowód rozpada się na 2 części - gdy
prawdopodobieństwo
P sup0¬t¬Tc Wt − inf 0¬t¬Tc Wt > c jest duże, co odpowiada
√
c ¬ T + µT
Będlewo 2008
10 / 15
Szkic dowodu, c.d.
EVµc,1 [0; T ] ≈
T
χ2 (µ, c)
0¬t¬Tc
inf
0¬t¬Tc
Wt − c, 0}.
Dla T < ETc
0¬t¬T
0¬t¬T
Tu dowód rozpada się na 2 części - gdy
prawdopodobieństwo
P sup0¬t¬Tc Wt − inf 0¬t¬Tc Wt > c jest duże, co odpowiada
√
√
c ¬ T + µT oraz dla c > T + µT gdy maleje ono jak
exp(−(c − µt)2 /(2T )).
Będlewo 2008
10 / 15
Pewne zastosowanie uciętej 1 - wariacji w matematyce
finansowej
Założenia:
Dynamiką cen akcji, Pt rządzi geometryczny ruch Browna,
dPt = µPt dt + σPt dBt .
Za każdą transakcję pobierana jest prowizja proporcjonalna do
wielkości transakcji.
γ ∈ (0, 1) jest proporcją wartości transakcji pobieraną jako prowizja.
Będlewo 2008
11 / 15
Pewne zastosowanie uciętej 1 - wariacji w matematyce
finansowej
Założenia:
Dynamiką cen akcji, Pt rządzi geometryczny ruch Browna,
dPt = µPt dt + σPt dBt .
Za każdą transakcję pobierana jest prowizja proporcjonalna do
wielkości transakcji.
γ ∈ (0, 1) jest proporcją wartości transakcji pobieraną jako prowizja.
Wniosek: maksymalny zwrot jaki można osiągnąć z handlu tymi akcjami
na przedziale czasowym [0, T ] jest ograniczony z góry przez
c/σ,1
exp(Vµ/σ−σ/2 [0; T ]) − 1,
1+γ
gdzie c = ln 1−γ
.
Będlewo 2008
11 / 15
Szkic dowodu
Niech 0 ¬ tb1 < ts1 < ... < tbn < tsn ¬ T ,
tbi - momenty zakupu akcji,
tsj - momenty sprzedaży akcji.
Będlewo 2008
12 / 15
Szkic dowodu
Cena akcji w momencie t wyraża się wzorem Pt =exp(µt −σ 2 t/2 + σBt )
i zwrot z handlu akcjami wyraża się wzorem
Qn
i=1
Pts 1−γ
i
Ptb 1+γ
− 1.
i
Oznaczmy µ̃ = µ − σ 2 /2 i niech Mn będzie zbiorem podziałów
π = {0 ¬ tb1 < ts1 < ... < tbn < tsn ¬ T } , wówczas
Będlewo 2008
12 / 15
Szkic dowodu
Cena akcji w momencie t wyraża się wzorem Pt =exp(µt −σ 2 t/2 + σBt )
i zwrot z handlu akcjami wyraża się wzorem
Qn
i=1
Pts 1−γ
i
Ptb 1+γ
− 1.
i
Oznaczmy µ̃ = µ − σ 2 /2 i niech Mn będzie zbiorem podziałów
π = {0 ¬ tb1 < ts1 < ... < tbn < tsn ¬ T } , wówczas
sup sup
n
n
Y
(
Mn i=1


n


exp
µ̃t
+
σB
Y
Ptsi 1 − γ
si
tsi
e −c
= sup sup


Ptbi 1 + γ
n Mn
i=1 exp µ̃tbi + σBtbi
!
n X
)
= sup sup exp σ
n
¬ exp
Mn
c/σ
σVµ̃/σ
i=1
µ̃
ts + Btsi
σ i
−
c/σ
µ̃
tb + Btbi
σ i
−
c
σ
[0, T ] = exp σVµ/σ−σ/2 [0, T ] .
Będlewo 2008
12 / 15
Opinia eksperta
Valerii Salov (NumeriX, LLC), autor książki Modeling Maximum Trading
Profits with C++:
”Since your study a function variation for underlying Brownian process,
there is clear link between the concepts. Especially, because you are
considering a variation neglecting small jumps. (...)
Of course, Brownian motion is the first simplifying candidate in many of
such approaches. (...)
However, this cannot serve as an estimate of a ”true” value because
Brownian process is continuous. Theoretically it has life between the
points of observations. They are missed for a realization. Anyway, I was
very oriented on analysis of real systems. Additionally, I do not very much
believe into lognormal price processes. (...)”
Będlewo 2008
13 / 15
Literatura
[Borodin, Salminen, 1996] Borodin A. N., Salminen P., Handbook of
Brownian Motion, Facts and Formulae, Birkhäuser, Basel
[de la Vega, 1974] de la Vega F. W., On almost sure convergence of
quadratic Brownian variation, Ann. Probab. 2
[Dudley, 1973] Dudley R. M., Sample fuctions of the Gaussian process,
Ann. Probab. 1
[Lévy, 1940] Lévy P., Le mouvement brownien plain, Amer. J. Math. 62
[Taylor, 1972] Taylor S. J., Exact asymptotic estimates of Brownian path
variation, Duke Math. J. 39
[Taylor, 1975] Taylor H. M., A stopped Brownain motion formula, Ann.
Probab. 3
[Salov, 2007] Salov V., Modeling Maximum Trading Profits with C++,
Wiley, New York
Będlewo 2008
14 / 15
Podziękowania
Dziękuję za uwagę
Będlewo 2008
15 / 15

O ucietej 1-wariacji ruchu Browna

Transkrypt

Podobne dokumenty

Bell Warsaw Bezpłatne kursy języka angielskiego

Geometryczny ruch Browna

tutaj

Kliknij aby pobrać dokument w formacie PDF

W imieniu firmy Regenersis (Warsaw) Sp. z o.o. chciałabym wyrazić

patroni i organizatorzy wystawy Maurizio Cattelana, PDF

Raport 1

Dean Brown Group