V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH

Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
V. WPROWADZENIE DO PRZESTRZENI FUNKCYJNYCH
1. Zbiór (np. liczb rzeczywistych)
a, b – elementy zbioru A ⇒ a∈A i b∈A,
podzbiór B zbioru A : B ⊂ A,
suma zbiorów : A ∪ B,
iloczyn zbiorów :
A ∩ B,
różnica zbiorów :
A \ B,
iloczyn kartezjański zbiorów :
A × B;
a∈A , b∈B A × B={(a,b) | a∈A , b∈B }.
Rys. 5.1
2. Funkcja F
Funkcja jednoznacznym przekształceniem zbioru A w zbiór B,
F : A → B lub F(a) = b gdzie a∈A , b∈B,
A – dziedzina funkcji F,
Jeżeli ogólnie zachodzi F(A)=B i funkcja jest jednoznaczna to istnieje funkcja odwrotna
F-1 : B → A.
3. Grupa G
Jest to algebraiczny system złożony ze zbioru A i operacji • takiej, że przekształca
A × A w A.
Jeżeli a, b, c ∈ A to operacja • ma następujące własności
(a • b) • c = a • (b • c),
istnieje element e ∈ A taki, że e • a = a • e = a,
dla dowolnego a istnieje a-1 ∈ A, że a-1 • a = a • a-1 = e.
Jeżeli a • b = b • a to grupa abelowa – komutatywna.
4. Przestrzeń liniowa (wektorowa) V
Elementy przestrzeni: a, b ∈ V.
Niech R – zbiór liczb rzeczywistych lub zespolonych z operacjami + i ⋅.
Przestrzeń liniowa V jest:
– grupa abelowa składająca się ze zbioru elementów a, b, ...,
– operacji sumy + ,
34
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
35
– funkcji R × V → V takiej, że dla α,β ∈ R, a, b ∈ V mamy
1) (αβ) a = α(βa),
2) (α + β) a = αa + βa,
(5.1)
3) α(a + b) = αa + αb,
4) 1 ⋅ a = a,
– wymiarem przestrzeni V jest liczba niezależnych liniowo elementów przestrzeni V
(zwykle oznaczamy Vk), który to zbiór nazywamy bazą przestrzeni.
5. Norma przestrzeni
Jest to funkcja przyporządkowania każdemu elementowi a ∈ V liczbę nieujemną, o następujących własnościach:
1) || a || ≥ 0,
( = 0 dla a = 0 ),
2) || λa || = | λ | || a ||,
λ∈R (jednorodność),
3) || a + b || ≤ || a || + || b ||,
(5.2)
(warunek trójkąta),
Liniowa przestrzeń ze zdefiniowaną normą nazywa się unormowaną przestrzenią liniową.
Niech a 1 , a 2 , K , a n , K ciąg elementów {an}.
Jeżeli zachodzi lim || am − an ||= 0 − jest to ciąg Cauchy’ego.
m , n →∞
Jeżeli dla każdego ciągu {an} istnieje element a0∈ V i lim || a n − a 0 ||= 0 to taka przestrzeń jest
n →∞
pełna.
Jeżeli nie to zawsze do V można dołączyć a0.
6. Przestrzeń Banacha
Jest to liniowa, unormowana, pełna przestrzeń liniowa (wektorowa).
7. Przestrzeń z iloczynem skalarnym
W przestrzeni liniowej zdefiniowany jest iloczyn skalarny. Jest to funkcja, która V × V → R dla
każdej pary (a,b) ∈ V × V .
Iloczyn skalarny oznaczamy a, b , o własnościach
1)
a, a ≥ 0
(= 0 dla a = 0)
2)
a, b = b, a
3)
λa + γb, c = λ a, c + γ b, c
(5.3)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
36
Pojęcie ortogonalności: elementy a ⊥ b jeżeli a, b = 0.
Definicja normy:
|| a || =
a, a .
(5.4)
8. Przestrzeń Hilberta
Jest to nieskończenie wymiarowa przestrzeń Banacha z określonym iloczynem skalarnym.
Każda przestrzeń z określonym iloczynem skalarnym jest przestrzenią metryczną.
Metryka służy do pomiaru odległości pomiędzy elementami przestrzeni.
Niech a, b ∈ V i d(a,b) – odległość pomiędzy a i b (metryka) o własnościach:
1) d(a,a) = 0,
2) d(a,b) = d(b,a),
(5.5)
3) d(a,b) ≤ d(a,c) + d(c,b).
Jeżeli przyjąć
d(a,b) = || a – b || =
a − b, a − b
(5.6)
to widać, że każda przestrzeń z iloczynem skalarnym jest metryczna – w szczególności przestrzeń Hilberta jest metryczna.
9. Przestrzeń funkcji całkowalnych w kwadracie L2
Przestrzeń jest całkowalna w kwardracie L2 (Ω) jeżeli:
u(x) ∈ L2 (Ω) jeżeli
u, u = ∫ u 2 (x) dΩ
istnieje i jest ograniczona.
(5.7)
Ω
Przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń Hilberta.
10. Przestrzenie skończenie wymiarowe
Stosowane są w MES.
Bazy lokalne:
ϕ ( e ) = {ϕ1( e ) ( x ( e ) ), ϕ (2e ) ( x ( e ) ), K , ϕ (Nee) ( x ( e ) )} .
(5.8)
Baza globalna:
Φ = {Φ 1 ( x ), Φ 2 ( x ), K , Φ N ( x )} .
(5.9)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
37
11. Przykład modelu MES dla zagadnienia jednowymiarowego
– Model dyskretny
– Funkcje bazowe na elementach skończonych
– Funkcje bazowe dla modelu po agregacji
Funkcje bazowe są ciągłe klasy C0.
Funkcje bazowe nie mają ciągłej 1–szej pochodnej – w punktach węzłowych pochodna rozumiana w zwykłym sensie nie jest określona.
Rys. 5.2. Model dyskretny obszaru
Rys. 5.3. Lokalne funkcje bazowe (kształtu) dla poszczególnych elementów skończonych
Rys. 5.4. Funkcje bazowe po agregacji (globalne)
Kurs na Studiach Doktoranckich Politechniki Wrocławskiej
(wersja: luty 2007)
________________________________________________________________________________________
38
12. Pochodna dystrybucyjna
Mówimy, że w(x) jest pochodną dystrybucyjną funkcji u(x) względem zmiennej xi, jeżeli
∂ϕ
∫ u(x) ∂xi dΩ = −∫ w(x)ϕ(x) dΩ
Ω
(5.10)
Ω
dla każdej funkcji ϕ(x) klasy C1 znikającej tożsamościowo na brzegu ∂Ω.
Przykład ilustrujący
Niech
– u(e)(x) klasy C1 na Ω(e) ,
– u(x) klasy C0 na Ω,
– ϕ(x) klasy C1 na Ω i zeruje się na ∂Ω.
Rys. 5.5
Wówczas
∫
u
Ω (e)
∂u
∂ϕ
dΩ = − ∫
ϕdΩ +
∂xi
∂xi
Ω
(e)
∫ uϕ ni d (∂Ω )
.
(5.11)
∂Ω ( e )
Liczymy pochodną na całym obszarze
∫u
Ω
∂ϕ
dΩ =
∂xi
E
∑ ∫
e =1
Ω(e)
u
∂ϕ
∂u
dΩ (e) = − ∑ ∫
ϕ d Ω + ∑ ∫ u ϕ ni d ( ∂Ω ) ,
∂xi
∂
x
i
e Ω
e ∂Ω
(e)
(5.12)
(e)
– na wspólnej krawędzi ∂Ω e i ∂Ω f ni mają przeciwne zwroty,
– na ∂Ω e nie stykające się z innymi elementami ϕ = 0, stąd ostatni składnik = 0.
Na elemencie pochodna jest równa
∂u
.
∂xi
Całka Lebesque’a na granicach = 0 ponieważ obszary te są miary zero.
13. Przestrzeń Sobolewa rzędu H1(Ω)
Z definicji:
H 1 (Ω) = {u ∈ L2 (Ω) |
∂u
∈ L2 (Ω)} ,
∂xi
(5.13)
Konderla P. Metoda Elementów Skończonych, teoria i zastosowania
________________________________________________________________________________________
39
gdzie pochodną rozumie się w sensie dystrybucyjnym
Iloczyn skalarny
u, v
H 1(Ω )
=
∫ ( u ( x ) v ( x ) + ∑i
Ω
∂u ∂v
) dΩ .
∂xi ∂xi
(5.14)
Norma
u
H1
= u, v
1
2
.
(5.15)
W MES dodatkowo zakłada się, że poszukujemy rozwiązania w przestrzeni Sobolewa funkcji
kinematycznie dopuszczalnych
V = {u = (u i ) | u i ∈ H 1 (Ω), u i ( x) = 0 na ∂Ω u } .
(5.16)