Algebra liniowa 4

Algebra liniowa
4. Przestrzenie unitarne.
Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem F. Odwzorowanie h·, −i : V × V −→ F nazywamy
iloczynem skalarnym, jeśli
(1)
(2)
(3)
(4)
hx, xi = 0 ⇔ x = 0,
hx + y, zi = hx, zi + hy, zi dla wszystkich x, y, z ∈ V ,
hαx, yi = αhx, yi dla wszystkich α ∈ F oraz x, y ∈ V ,
hx, yi = hy, zi dla wszystkich x, y ∈ V .
Parę (V, h·, −i) nazywamy przestrzenią unitarną.
Jeśli (V, h·, −i) jest przestrzenią unitarną, to funkcja
k · k : V → [0, ∞)
p
dana wzorem kxk = hx, xi dla x ∈ V jest normą na przestrzeni V .
Zadania
Zadanie 1. Niech V := {f : [0, 1] −→ C : f jest funkcją ciągłą} oraz niech
Z1
hf, gi :=
f (x)g(x)dx,
f, g ∈ V.
0
Udowodnić, że h·, −i jest iloczynem skalarnym na V .
Zadanie 2. Sprawdzić, że R2 × R2 3 ((a, b), (c, d)) → 8ac − 2ad − 2bc + bd ∈ R jest iloczynem skalarnym. W
przestrzeni euklidesowej R2 z tym iloczynem skalarnym obliczyć
(1) długość wektora (2, 1),
(2) kąt między wektorami (1, 0) i (0, 1),
(3) pole równoległoboku rozpiętego na wektorach (1, 0) i (0, 1).
Zadanie 3. Zastosować procedurę ortonormalizacyjną Grama-Schmidta do następujących baz przestrzeni
R4 :
a) v1 = (1, 1, 1, 1),
b) v1 = (2, 3, −4, 6),
v2 = (3, 3, −1, −1),
v3 = (−2, 0, 6, 8),
v2 = (12, 5, −14, 5),
v4 = (0, 1, 3, 0),
v3 = (3, 11, 4, −7),
v4 = (1, 8, −2, −16).
Zadanie 4. Niech x ∈ X, L : X −→ X będzie odwzorowaniem liniowym oraz niech e1 , . . . , en będzie bazą
ortonormalną przestrzeni X. Znaleźć współrzędne wektora x w bazie e1 , . . . , en oraz macierz odwzorowania
L jeśli w dziedzinie i obrazie ustalimy bazy e1 , . . . , en .
1
2
ALGEBRA LINIOWA
Zadanie 5. W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym obliczyć trzema sposobami pole równoległoboku
rozpiętego na wektorach (6, −2, 3), (4, 1, 9) i objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach (6, −2, 3),
(4, 1, 9) oraz (7, 7, 7).
Zadanie 6. Sprawdzić, że następujące wektory w przestrzeni euklidesowej R3 są ortogonalne, a następnie
rozszerzyć ten układ do bazy przestrzeni R3 , gdzie
a) e1 = (1, 2, 2), e2 = (0, 1, −1),
2 2
2
14 1
11
b) e1 = (− , − , ), e2 = (− , − , − ).
15 15 5
15 15 5
Zadanie 7. W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym i standardową orientacją obliczyć iloczyn wektorowy wektorów (1, 5, 4) i (2, 3, 6) oraz iloczyn mieszany wektorów (1, 5, 4), (2, 3, 6) i (1, 1, 1).
Zadanie 8. Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne prostej lin{(1, 2, 1)} w R3 .
Zadanie 9. Wyznaczyć dopełnienie ortogonalne płaszczyzny lin{(1, 2, 1), (2, 2, 1)} w R3 .
Zadanie 10. Obliczyć kąt między dwoma płaszczyznami {(x, y, z) ∈ R3 : 9x − y − 4z = 0} i {(x, y, z) ∈
R3 : 8x + 3y + 5z = 0} w Rs ze standardowym iloczynem skalarnym.
Zadanie 11. Obliczyć kąt między prostą {(x, y, z) ∈ R3 : x + 9y = 0, 4y − z = 0} a płaszczyzną {(x, y, z) ∈
R3 : 8x + 3y + 5z = 0} w R3 ze standardowym iloczynem skalarnym.
Zadanie 12. W R3 ze standardowym iloczynem skalarnym znaleźć płaszczyznę prostopadłą do prostej
{(x, y, z) ∈ R3 : 2x − y = 0, x + y − z = 0}.
Zadanie 13. Niech x1 , . . . , xn będzie ciągiem wektorów przestrzeni euklidesowej X. Skalar


hx1 , x1 i · · · hx1 , xn i


..
..
..
G(x1 , . . . , xn ) := det 

.
.
.
hxn , x1 i · · · hxn , xn i
nazywamy wyznacznikiem Grama wektorów x1 , . . . , xn . Dowieść, że
(1) jeśli wektory x1 , . . . , xn są ortogonalne, to G(x1 , . . . , xn ) = kx1 k2 · . . . · kxn k2 ,
(2) jeśli podprzestrzenie wektorowe generowane odpowiednio przez wektory x1 , . . . , xs oraz przez wektory xs+1 , . . . , xn , gdzie s < n są prostopadłe, to G(x1 , . . . , xn ) = G(x1 , . . . , xs ) · G(xs+1 , . . . , xn ),
(3) wektory x1 , . . . , xn są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy G(x1 , . . . , xn ) 6= 0,
p
(4) jeśli A = [x1 , . . . , xn ] ∈ M (n, n, C) to | det A| = G(x1 , . . . , xn ).