Algebra II rok, wyk lad A, lista nr 4

Algebra II rok, wykÃlad A, lista nr 4
1S. W grupie (Z, +) wskazać przykÃlady:
(a) zbioru zamkniȩtego wzglȩdem +, zawieraja̧cego 0 i nie bȩda̧cego podgupa̧ grupy (Z, +).
(b) zbioru zamkniȩtego wzglȩdem brania elementu przeciwnego, zawieraja̧cego 0 i nie bȩda̧cego podgrupa̧ grupy (Z, +).
2S. Napisać tabelkȩ dziaÃlania dla grupy Z2 ⊕Z2 i porównać ja̧ z tabelka̧ dziaÃlania dla grupy czwórkowej
Kleina i z tabelka̧ dziaÃlania dla grupy izometrii wÃlasnych prostoka̧ta nie bȩda̧cego kwadratem. Zauważyć,
że wszystkie trzy grupy sa̧ ze soba̧ izomorficzne, ale nie sa̧ izomorficzne z grupa̧ Z4 . Podobnie porównać
tabelkȩ dziaÃlanie dla grupy S3 z tabelka̧ dziaÃlania dla grupy izometrii wÃlasnych trójka̧ta równobocznego.
3K. Jak wygla̧daja̧ podgrupy w grupy liczb caÃlkowitych i grupy reszt modulo n? Wyznaczyć wszystkie
podgrupy w grupach (Z, +11 ), (Z12 , +12 ), S3 , grupa izometrii kwadratu, grupa kwaternionów. Które z
nich sa̧ dzielnikami normalnymi?
4K. Wskazać epimorfizm z grupy (Z, +) na grupȩ (Zn , +n ).
5K. W grupie S4 wskazać podgrupȩ H izomorficzna̧ z grupa̧ czwórkowa̧ Kleina. Wskazówka: rozważyć
H = {e, (1, 2), (3, 4), (1, 2) ◦ (3, 4)}.
6K. Wskazać, które z poniższych przeksztaÃlceń ϕ grupy addytywnej liczb caÃlkowitych w siebie sa̧
homomorfizmami, a które monomorfizmami:
(a) ϕ(n) = 7n,
(b) ϕ(n) = 2n + 1,
(c) ϕ(n) = n2 ,
(d) ϕ(n) = 0.
7. Wykazać, że zÃlożenie dwóch homomorfizmów jest homomorfizmem, monomorfizmów jest monomorfizmem. ZÃlożenie dwóch epimorfizmów jest epimorfizmem.
8. W każdym przypadku wykazać, że H jest podgrupa̧ grupy G.
(a) G = GL(n, R) (grupa macierzy nieosobliwych wymiaru n × n z mnożeniem macierzy o wyrazach
rzeczywistych), H = On (R) (zbiór macierzy ortogonalnych).
(b) G = GL(n, R), H = zbiór macierzy wymiaru n × n maja̧cych jedynki na przeka̧tnej i zera pod
przeka̧tna̧ (dziaÃlanie: mnożenie macierzy).
(c) G = G1 × G2 , H = G1 × {eG2 }, przy czym G1 , G2 sa̧ grupami.
9. Niech
½µ
¶
¾
a b
G=
: a, b ∈ R, a 6= 0 .
0 1
G z dziaÃlaniem mnożenia
stanowi
½µ macierzy
¶
¾ grupȩ. Wykazać, że:
1 b
(a) (2 pkt) N =
: b ∈ R jest podgrupa̧ grupy G izomorficzna̧ z (R, +).
0 1 µ
¶ µ
¶ µ
¶
2 3
3 2
2 4
(b) (3 pkt) Które z macierzy
,
,
leża̧ w tych samych warstwach lewostron0 1
0 1
0 1
nych grupy N ?
10. Wykazać, że jeśli p jest liczba̧ pierwsza̧, zaś G grupa̧ rzȩdu pn (n ∈ N+ ), to G posiada podgrupȩ
rzȩdu p.
11. Wykazać, że jeśli G jest grupa̧ skończona̧, zaś H jej niepustym podzbiorem zamkniȩtym wzglȩdem
dziaÃlania grupowego, to H < G.
12. (a) Niech H bȩdzie podgrupa̧ grupy G indeksu 2 (na przykÃlad: G = Sn , H = An , n ≥ 2).
Wykazać, że H jest dzielnikiem normalnym G.
(b) Zauważyć, że analogiczne stwierdzenie nie jest prawdziwe dla [G : H] = 3 (na przykÃlad podgrupa
generowana w S3 przez pojedyncza̧ transpozycjȩ ma indeks 3, ale nie jest dzielnikiem normalnym).
(c) Pokazać, że jeśli p jest najmniejsza̧ liczba̧ pierwsza̧ dziela̧ca̧ rza̧d skończonej grupy G, zaś H jest
podgrupa̧ indeksu p, to H jest dzielnikiem normalnym grupy G.
13. Wykazać, że
(a) w SL2 (R) istnieje podgrupa izomorficzna z (Q, +).
(b) jeśli n ∈ N+ , zaś p i q sa̧ liczbami wzglȩdnie pierwszymi takimi, że p + q ≤ n, to grupa Sn posiada
podgrupȩ izomorficzna̧ z Zpq .
1
(c)∗ grupa A4 nie posiada podgrupy rzȩdu 6.
14. Niech G bȩdzie grupa̧ i niech f : G −→ G bȩdzie dane wzorem f (x) = x2 . Wykazać, że f jest
homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy grupa G jest abelowa.
15K. Czy istnieje monomorfizm grup f : G −→ H? Jeśli tak, wskazać przykÃlad i wyznaczyć obraz.
(a) G = Z6 , H = Z24 .
(b) G = Z10 , H = Z.
(c) G = Z6 , H = Z100 .
(d) G = Z15 , H = S8 .
(e) G = (Q, +), H = (Z, +).
(f) G = (R, +), H = (Q, +).
(g) G = S3 , H = Z9 ⊕ Z18 .
(h) G = D4 , H = S8 .
16K. Czy istnieje epimorfizm grup f : G −→ H? Jeśli tak, wskazać przykÃlad i wyznaczyć ja̧dro.
(a) G = Z60 , H = Z2 ⊕ Z12 .
(b) G = Z100 , H = Z25 .
(b) G = (Z, +), H = (R, +).
(c) G = (Z, +), H = S3 .
(d) G = K4 , H = S4 .
(e) G = (C \ {0}, ·), H = (R+ , ·).
(f) G = GLn (R), H = (R \ {0}, ·).
17. Wykazać, że żadne dwie spośród grup: (a) Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 , (b) Z2 ⊕ Z4 , (c) Z8 , (d) grupa izometrii
wÃlasnych kwadratu, (e) grupa kwaternionów, nie sa̧ izomorficzne.
18. Czy grupy G i H sa̧ izomorficzne? Jeśli tak, wskazać izomorfizm, jeśli nie, udowodnić ten fakt.
(a) G = S3 , H =grupa izometrii wÃlasnych trójka̧ta równobocznego;
(b) G = A4 , B = S3 ⊕ Z2 ;
(c) G = A3 , B = Z3 ;
(d) G = (Z,+), H = (Q, +);
(e) G = Zm ⊕ Zn , H = Zmn , gdzie m, n ∈ N+ ;
(f) G = (R, +), H = (Q, +);
(g) G = A4 , H =grupa izometrii wÃlasnych sześcioka̧ta foremnego,
(h) G = S4 , H = A4 ⊕ Z2 .
Odp. (a) tak, (b) nie, (c) tak, (d) nie, (e) tak, jeśli N W D(m, n) = 1, nie w przeciwnym wypadku, (f)
nie, (g) nie, (h) nie.
19. (a) Niech (G, ◦) bȩdzie grupa̧ i niech a ∈ G. Definiujemy funkcjȩ f : G −→ G wzorem: f (x) = a ◦
x ◦ a−1 Wykazać, że f jest automorfizmem grupy G. Automorfizmy tej postaci nazywamy wewnȩtrznymi.
(b) Wykazać, że zbiór automorfizmów wewnȩtrznych dowolnej grupy jest dzielnikiem normalnym jej
grupy automorfizmów.
20. Wykazać, że grupa (Q, +) nie jest skończenie generowalna (tzn. nie ma skończonego zbioru
generatorów). To samo dla grupy liczb wymiernych z przedziaÃlu [0, 1) z dodawaniem modulo 1 (tzn.
a +1 b = a + b gdy a + b < 1 i a +1 b = a + b − 1 gdy a + b ≥ 1).
21. (a) Wykazać, że centrum dowolnej grupy G jest jej dzielnikiem normalnym.
(b) Wykazać, że centralizator zbioru A ⊆ G jest podgrupa̧ grupy G.
(c) Wyznaczyć centrum grupy Sn i centrum grupy macierzy 3 × 3 o wyrazach rzeczywistych maja̧cych
jedynki na przeka̧tnej i zera pod przeka̧tna̧ (z mnożeniem macierzy).
22. Wykazać, że dla dowolnych grup G1 i G2 , Z(G1 ⊕ G2 ) = Z(G1 ) × Z(G2 ) (Z(G) oznacza centrum
grupy G).
23. (a) Naśladuja̧c dowód twierdzenia Cayleya, znaleźć zanurzenie grupy kwaternionów w grupȩ S8 .
(b)∗ Czy grupȩ kwaternionów można zanurzyć w S7 ?
(c) Nie korzystaja̧c z twierdzenia Cayleya wskazać w S8 podgrupȩ izomorficzna̧ z Z2 ⊕ Z4 i podgrupȩ
izomorficzna̧ z Z2 ⊕ Z2 ⊕ Z2 .
R. Wencel, 27.10.2007.
2