Ami Pro - E

Ćwiczenie E-25
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA
I. Cel ćwiczenia:
wyznaczenie zaleŜności napięcia U ( i/lub prądu I ) rozładowania kondensatora
C w funkcji czasu t : U = U(t), wyznaczanie stałej czasowej τ = RC.
II. Przyrządy:
źródło prądu stałego o napięciu U = 10÷24V, kondensator o pojemności C = 25
÷100µF, woltomierz cyfrowy, stoper.
III. Literatura:
1. A.Portis Laboratory Physics.
2. A.H.Piekara Elektryczność i magnetyzm.
3. E.M.Purcell Elektryczność i magnetyzm.
IV. WPROWADZENIE
Okładki kondensatora o pojemności C podłączamy do źródła stałego napięcia Uo (rys.1, klucz K
w połoŜeniu 1). Kondensator bardzo szybko naładuje się do napięcia Uo. Przełączając klucz K
w połoŜenie 2 odłączamy źródło ładujące kondensator i zamykamy obwód zawierający opór R.
Nastąpi rozładowanie kondensatora przez opór R.
1
2
Popłynie prąd o malejącym natęŜeniu co wskaŜe
mikroamperomierz. Chwilowa wartość tego
prądu:
I = U.
(1)
R
Ubytek ładunku kondensatora w czasie dt oznaczamy przez -dq. Chwilowa wartość natęŜenia
prądu I:
dq
I=− .
(2)
dt
Uwzględniając równanie (1) mamy zatem
dq
= −U
(3)
R
dt
i
µA
K
+
Uo_
C
+q
_q U
R
Rys.1
Kondensator o pojemności C naładowany do róŜnicy potencjałów U posiada ładunek:
q=C⋅U .
(4)
Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy:
`
dq
q
=−
.
RC
dt
1
(5)
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
Z równania (5) wynika, Ŝe prędkość ubywania ładunku kondensatora dq/dt jest proporcjonalna do
chwilowej wielkości q. W miarę upływu czasu ubywanie ładunku początkowo zachodzi szybko a później wskutek zmniejszania się q coraz wolniej.
Równanie (5) moŜemy zapisać w postaci
dq
dt
q = − RC .
(6)
Jest to proste równanie róŜniczkowe. Rozwiązaniem tego równania (przy uwzględnieniu, Ŝe dla t = 0
mamy q = qo ) jest funkcja:
q = q o ⋅e −t/RC .
(7)
Uwzględniając zaleŜność (4) mamy relacje:
q = U⋅C
qo = Uo⋅C
i
(8)
U = U o ⋅ e −t/RC
i otrzymujemy
(9)
gdzie Uo napięcie kondensatora w chwili t = 0.
PoniewaŜ
dq
, więc przy uwzględnieniu zaleŜności (7) otrzymujemy
dt
I = − d (q o ⋅ e −t/RC ) = −q o ⋅ (− 1 ) ⋅ e −t/RC = I o ⋅ e −t/RC
RC
dt
I=−
( 10 )
gdzie Io jest prądem płynącym przez opór w chwili t = 0.
Równania (7), (9) i (10) wyraŜają zaleŜność ładunku q, napięcia U i natęŜenia prądu I w funkcji czasu
t. ZaleŜność ta jest funkcją wykładniczą, malejącą w miarę wzrostu czasu t. Wykres 2 przedstawia zaleŜność U(t) i podstawowe własności krzywej wykładniczej rozładowania kondensatora.
U [V]
0,5 Uo
0,693
0,368
0
t 12
τ
2τ
Rys.2. Wykres zaleŜności
3τ
t
U = Uo e - τ
t
Iloczyn RC ma wymiar czasu i nazywa się stałą czasową (obwodu RC) lub charakterystycznym
czasem relaksacji. Zwykle oznaczamy τ = RC. Dla t = RC = τ mamy:
U = e −1 = 0, 3679
Uo
2
( 11 )
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
W czasie t = τ ładunek q, napięcie U, natęŜenie prądu I maleją e krotnie (2,72 razy). Po upływie tego
czasu kondensator zawiera 36,8% ładunku początkowego.
Z kaŜdego ze wzorów (7), (9) i (10) moŜna otrzymać związek między t1/2 i τ (po uwzględnieniu relaq
q
cji q = 1 lub U = 1 lub I = 1 ). Na podstawie np. równania (7) mamy q = 1 = e −t 1/2 /RC . Po
o
o
2
Uo 2
Io 2
2
prostych przekształceniach algebraicznych (po zlogarytmowaniu obu stron tego równania) otrzymamy
t 1/2 = RC ⋅ ln 2 = 0, 69315 ⋅ τ
( 12 )
Odkładając na osi x czas t w jednostkach t1/2 a na osi y wielkości q/qo, U/Uo, lub I/Io otrzymamy dobrą
ilustrację wykładniczych zaleŜności (7), (9) i (10).
q U I
,
q o Uo , Io 1
1
2
1
4
1
8
1
16
2 t1/2
1 t1/2
4 t1/2
3 t1/2
t
Rys.3. W kaŜdym przedziale czasowym t1/2 ładunek, napięcie i natęŜenie prądu maleją o
połowę.
V. POMIARY
V.1. Układ pomiarowy.
K2
K1
K1
R = Rv
+
C
Uo
K2
+
V
_
R
C
Uo
_
ZWN
ZWN
a)
µA
b)
Rys.4. Schemat połączeń układu pomiarowego; (a) rozładowanie kondensatora poprzez woltomierz,
(b) rozładowanie kondensatora poprzez opór R (1MΩ lub 2MΩ ) i mikroamperomierz (pomiar
natęŜenia prądu).
3
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
µA
V
C
WŁ ŁAD 1MΩ 2MΩ
Ω
V
Rys.5. Płyta czołowa układu pomiarowego
Do zacisków przy symbolu pojemności C ( rys.5 ) dołączamy kondensatory (lub ich połączenia),
których zaciski znajdują się z prawej strony oznaczenia C
. Do zacisków V
dołączamy wol-
tomierz cyfrowy. Woltomierz cyfrowy charakteryzuje się bardzo duŜym oporem wewnętrznym
(Rv > 10 ÷ 1000MΩ). Dla zakresu 20V i 200V Rv > 10MΩ. Wskazane przez niego napięcie jest
właśnie spadkiem potencjału na jego oporze R v. W naszym ćwiczeniu (rys.4a) będzie on spełniał
rolę miernika napięcia na kondensatorze C i oporu R, przez który zachodzi rozładowanie kondensatora. Przy zamkniętych obu kluczach K1 i K2 woltomierz wskazuje róŜnicę potencjałów między
okładkami kondensatora naładowanego do napięcia źródła Uo (wciśnięte jednocześnie przyciski
"ŁAD" i "V").
V.2. Metoda pomiaru
Logarytmując równanie (9) otrzymujemy
ln U = ln U o − t .
( 12 )
RC
Przyjmując : y = lnU, a = lnUo , b = − 1 , x = t otrzymujemy prostą y = a + bx o parametrach a i b.
RC
Znajdując współczynnik nachylenia b prostej , znajdziemy stałą czasową τ ze związku
τ = −1
( 13 )
b
oraz opór woltomierza
R = Rv = τ = − 1
( 14 )
C
b⋅C
VI. POMIARY I OPRACOWANIE WYNIKÓW.
Pomiary
1. Do odpowiednich zacisków obwodu (rys. 4a) dołączamy woltomierz cyfrowy (charakteryzuje się
duŜym oporem wewnętrznym, RV > 10MΩ). Ładujemy kondensator C wciskając jednocześnie
przyciski "ŁAD" i "V" (zamknięte oba klucze K1 i K2 na rysunku 4). Wciśnięcie ponowne przycisku "V" (otwarcie klucza K1 na rys. 4) prowadzące do wyciśnięcia przycisku "ŁAD" spowoduje
rozładowanie kondensatora C. Powolny spadek napięcia na kondensatorze umoŜliwia pomiar tego
napięcia U woltomierzem cyfrowym w funkcji czasu t. Odczytów napięcia dokonujemy w
4
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
odstępach czasu stosownych do szybkości zmian napięcia. Wyniki zapisujemy w tabelce. Pomiar
powtarzamy dla innej pojemności kondensatora C.
Tabela 1
t[s]
U[V]
2. Jeśli układ umoŜliwia pomiar prądu rozładowania poprzez mikroamperomierz (rys. 4b) moŜemy
dokonać w podobny sposób pomiaru prądu rozładowania kondensatora przez opór 1MΩ lub 2 MΩ
(wówczas naleŜy odłączyć woltomierz). Kondensator ładujemy wciskając jednocześnie przycisk
"ŁAD" i jeden z przycisków "1MΩ
Ω" lub "2MΩ
Ω". Rozładowanie rozpoczynamy naciskając ponownie przycisk "1MΩ
Ω" lub "2MΩ
Ω" (zostaje wówczas wyciśnięty przycisk "ŁAD").
Opracowanie.
1. Sporządzić wykres zaleŜności napięcia U w funkcji czasu t rozładowania kondensatora
(ewentualnie natęŜenia prądu I w funkcji czasu t jeśli pomiary I(t) wykonano).
2. Sporządzić wykres zaleŜności lnU w funkcji
czasu t. Metodą najmniejszych kwadratów
lnU
(patrz I pracownia fizyczna J.L.Kacperski, K.
.
. .
Niedźwiedziuk) wyznaczyć parametry a i b
. .
prostej y = a + bx.
∆ lnU
. .
Parametry a i b moŜna wyznaczyć bezpośred- lnUo
. . . α
β
nio korzystając z wykresu (prostą w takim
t
∆
przypadku wykreślamy odręcznie).
0
t[s]
Rys. 6. Wyznaczanie parametrów a i b bezpośrednio z wykresu
.
a = ln U o
( Uo znamy bezpośrednio z pomiaru ),
b = tgα = tg(180 o − β) = −tgβ ,
b = − ∆ ln U ,
∆t
∆
ln
U
−
=− 1 ,
∆t
RC
τ = RC = ∆t
∆ ln U
Stosując tę uproszczoną (odręczną) metodę uzyskujemy wynik mniej dokładny, a ponadto trudniej
jest oszacować błąd ∆τ.
3. Wyznaczyć stałą czasową τ (wzór (13)) i opór woltomierza cyfrowego znając pojemność kondensatora C
R= τ =− 1 .
( 15 )
C
b⋅C
4. Oszacować błędy pomiarowe ∆τ i ∆R.
∆τ = ∆b
τ
b
⇒
5
∆τ = τ ⋅ ∆b
b
( 16 )
I PRACOWNIA FIZYCZNA
Ćwiczenie E-25
∆C 
∆R =  ∆τ
τ + C R.
( 17 )
Przyjąć, Ŝe błąd względny pojemności ∆C/C = 0,1
6
I PRACOWNIA FIZYCZNA