Rozładowanie kondensatora

Coach T-10
Rozładowanie kondensatora
I.
Cel ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia U na kondensatorze C podczas jego rozładowania w funkcji czasu t: U = U(t), wyznaczenie stałej czasowej τ = RC.
II. Przyrządy:
interfejs (konsola) CoachLabII+, woltomierz różnicowy 210i (czujnik napięcia), źródło prądu stałego o napięciu Uo = 4÷6V, 2 kondensatory o pojemności 470 µF oraz 1 kondensator o pojemności 4,7 µF, 2 oporniki o wartościach 6,25kΩ i 12,50 kΩ, płytka montażowa..
III. Literatura:
1. A.Portis Laboratory Physics.
2. A.H.Piekara Elektryczność i magnetyzm.
3. E.M.Purcell Elektryczność i magnetyzm.
4 Coach 5 – Zeszyt ćwiczeń.
5 Instrukcja pracowniana T−0 – Możliwości systemu Coach.
IV. WPROWADZENIE
Okładki kondensatora o pojemności C podłączamy do źródła stałego napięcia Uo (rys.1, klucz
K w położeniu 1). Kondensator bardzo szybko naładuje się do napięcia Uo. Przełączając klucz K
w położenie 2 odłączamy źródło ładujące kondensator i zamykamy obwód zawierający opór R.
Nastąpi rozładowanie kondensatora przez opór R.
Popłynie prąd o malejącym natężeniu co wskaże
mikroamperomierz. Chwilowa wartość tego prądu:
µA
U
K
I= .
(1)
R
Ubytek ładunku kondensatora w czasie dt oznaczaUo +
+q U
R
−
C
my przez −dq. Chwilowa wartość natężenia prądu I:
−q
dq
I=− .
(2)
dt
Uwzględniając równanie (1) mamy zatem
Rys. 1
dq
U
=−
(3)
dt
R
Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek:
q = C⋅U .
(4)
1
2
I
Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy:
dq
q
=−
(5)
dt
RC
Z równania (5) wynika, że prędkość ubywania ładunku kondensatora dq/dt jest proporcjonalna do
chwilowej wielkości q. W miarę upływu czasu ubywanie ładunku początkowo zachodzi szybko a
później wskutek zmniejszania się q coraz wolniej.
Równanie (5) możemy zapisać w postaci
1
Coach T-10
dq
dt
=−
.
q
RC
(6)
Jest to proste równanie różniczkowe. Rozwiązaniem tego równania (przy uwzględnieniu, że dla t
= 0 mamy q = qo) jest funkcja:
q = q o ⋅ e − t RC .
(7)
Uwzględniając zależność (4) mamy relacje:
q = U⋅C
qo = Uo⋅C
i
(8)
U = U o ⋅ e −t RC
i otrzymujemy
(9)
gdzie Uo napięcie kondensatora w chwili t = 0.
dq
Ponieważ I = − , więc przy uwzględnieniu zależności (7) otrzymujemy
dt
d
 1  − t RC
I = − q o ⋅ e − t RC = −q o ⋅  −
= Io ⋅ e − t RC
⋅e
dt
RC


(
)
(10)
gdzie Io jest prądem płynącym przez opór w chwili t = 0.
Równania (7), (9) i (10) wyrażają zależność ładunku q, napięcia U i natężenia prądu I w funkcji
czasu t. Zależność ta jest funkcją wykładniczą, malejącą w miarę upływu czasu t. Wykres 2 przedstawia zależność U(t) i podstawowe własności krzywej wykładniczej rozładowania kondensatora.
U[V]
Uo
0,5Uo
0,693ττ
0,368Uo
0
t1 2
τ
2τ
3τ
Rys. 2 Wykres zależności U = U o ⋅ e
t
−
t
τ
Iloczyn RC ma wymiar czasu i nazywa się stałą czasową (obwodu RC) lub charakterystycznym
czasem relaksacji. Zwykle oznaczamy τ = RC. Dla t = RC = τ mamy:
U
= e −1 = 0,3679
(11)
Uo
W czasie t = τ ładunek q, napięcie U, natężenie prądu I maleją e krotnie (2,72 razy). Po upływie
tego czasu kondensator zawiera 36,8% ładunku początkowego.
Z każdego ze wzorów (7), (9) i (10) można otrzymać związek między t1 2 i τ (po uwzględnieniu
t1 2
−
q 1
U 1
I 1
q 1
relacji
= lub
= lub
= ). Na podstawie np. równania (7) mamy
= = e RC . Po
qo 2
Uo 2
Io 2
qo 2
2
Coach T-10
prostych przekształceniach algebraicznych (po zlogarytmowaniu obu stron tego równania) otrzymamy
t1 2 = RC ⋅ ln 2 = 0,69315 ⋅ τ
(12)
Odkładając na osi x czas t w jednostkach t1 2 a na osi y wielkości q/qo, U/Uo lub I/Io otrzymamy
dobrą ilustrację wykładniczych zależności (7), (9) i (10).
q
U
I
,
,
qo U o Io
1
1
2
1
4
1
8
1
16
t1 2
2 t1 2
4t1 2
3t1 2
t
Rys. 3 W każdym przedziale czasowym t1 2 ładunek, napięcie i natężenie
prądu maleją o połowę.
V. Układ pomiarowy, metoda pomiarów.
V.1. Układ pomiarowy.
K1
K2
K1
K2
R = RV
Uo
+
−
C
R
Uo
V
a)
+
−
C
V
b)
Rys. 4 Schemat połączeń układu pomiarowego. Rozładowanie kondensatora: a) przez opór
R (R << RV), b) przez opór wewnętrzny RV woltomierza.
Płytka montażowa (rys. 5) zawiera jedną parę zacisków laboratoryjnych do podłączenia źródła
napięcia stałego (Uo = 4 ÷ 6V), dwie pary gniazdek radiowych (oznaczonych cyframi „1” i „2”)
do podłączenia płytek z kondensatorami oraz gniazdka do podłączenia oporników i czujnika napięcia (woltomierza). Funkcję kluczy K1 i K2 pełnią wyłączniki klawiszowe umieszczone na płytce.
3
Coach T-10
do konsoli pomiarowej
wejście „1” lub „2”
przyciski kluczy K1 i K2
K2
2
C
C
R
v
0210i
Uo < 6V
1
Differential voltage
-10 +10V
K1
Rys. 5 Płytka montażowa układu pomiarowego i czujnik napięcia.
Czujnik napięcia podłączamy do gniazdek oznaczonych symbolem woltomierza – czerwona
końcówka do gniazdka o wyższym potencjale, czarna do gniazdka o niższym potencjale. Przewód
wyjściowy z wtykiem BT podłączamy do wejścia „1” lub „2” konsoli pomiarowej. Opór wewnętrzny użytego czujnika napięcia jest większy od 1 MΩ (106 Ω).
W przypadku schematu z rysunku (4a) czujnik mierzy napięcie na oporniku R i jednocześnie
na kondensatorze C. Na rys.(4b) czujnik pełni rolę oporu R, przez który zachodzi rozładowanie
kondensatora a wskazywane przez czujnik napięcie jest różnicą potencjałów na okładkach kondensatora C. Przy zamkniętych obu kluczach K1 i K2 czujnik napięcia wskazuje różnicę potencjałów między okładkami kondensatora naładowanego do napięcia źródła Uo.
V.2. Metoda pomiaru
V.2.1 Metoda I
Doświadczalne punkty pomiarowe opisuje matematyczna postać funkcji dopasowania typu:
f(x) = a⋅exp(bx) + c
( 13 )
Funkcję dopasowania znajduje się wykorzystując odpowiednie narzędzie oprogramowania zawarte w np. Coach 5, Excel.
Porównując przewidywaną przez teorię postać funkcji rozładowania kondensatora (równanie
(9)) z funkcją dopasowania (13)
 t 
(14)
U o = exp −
 = a exp(bx ) + c
 RC 
znajdujemy doświadczalną wartość stałej czasowej τ układu
1
1
1
b=−
=−
⇒ τ = RC = −
(15)
RC
b
τ
Wymiarem stałej τ jest sekunda [s].
4
Coach T-10
V.2.2 Metoda II
Logarytmując równanie (9) otrzymujemy
ln U = ln U o −
t
RC
(16)
1
, x = t otrzymujemy prostą y = a + bx o parametrach
RC
a i b. Znajdując współczynnik nachylenia b prostej, znajdziemy stałą czasową τ ze związku
1
τ=−
(17)
b
oraz opór woltomierza
τ
1
R = RV = = −
(18)
C
b⋅C
Przyjmując: y = lnU, a = lnUo , b = −
VI. Wykonanie pomiarów
W ćwiczeniu badamy rozładowanie kondensatorów o różnej pojemności zachodzące przez opory
o różnej wartości. Badamy następujące układy pojemności i oporności:
C = 470 µF, R = 6,25 kΩ,
C = 470 µF, R = 2×6,25 kΩ = 12,50 kΩ,
C = 2×470 µF = 940 µF, R = 6,25 kΩ,
C = 4,7 µF, R = RV = ? (obliczamy z pomiarów).
1. Zbuduj obwód wg schematu z rysunku (4a) używając płytki montażowej i dołączonych elementów.
Jako źródło napięcia stałego (4 ÷ 6V) wykorzystaj baterię 4,5V lub stabilizowany zasilacz napięcia. Do gniazdek radiowych oznaczonych cyfrą „1” włóż płytkę „1” z kondensatorem o pojemności C = 470 µF. Płytkę z opornikiem R = 6,25 kΩ włóż między gniazdka oznaczone
symbolem oporu. Czerwoną i czarną końcówkę czujnika napięcia podłącz do wyjścia zbudowanego obwodu a przewód z końcówką BT połącz z wejściem „1” lub „2” konsoli pomiarowej.
2. Uruchom program Coach 5.
3. Kliknij ikonę czujnika napięcia (wejście „1” lub „2” na obrazie konsoli) prawym przyciskiem
myszy, z menu wybierz Prezentuj wykres i umieść go np. w prawej górnej części ekranu, klikając lewym przyciskiem myszy po przeciągnięciu w tą część ekranu. W podobny sposób
umieść tabelę w lewej górnej części ekranu.
4. W pasku narzędzi (góra) kliknij ikonę Nastawienie pomiaru. Można także wybrać ją z linijki
menu Narzędzia. Nastaw czas pomiaru 35 s, częstotliwość 50 Hz.
5. Kliknij myszką w ikonę młotka lub prawym przyciskiem myszki obszar wykresu. Z otwartego
okienka wybierz opcję Tworzenie/edycja wykresu. Otworzy się okienko jak na rys 6 z zaznaczonym polem Zbiór danych C1. Dla tego zbioru danych zaznacz lub dokonaj zmian we właściwych polach:
Pokaż siatkę,
Wielkość: t
,
Dziesiętne: 2
.
Następnie zaznacz Zbiór danych C2. Dla tego zbioru danych wpisz w odpowiednie pola jak
na rys 7:
Wielkość: U
,
5
Coach T-10
Dziesiętne: 3
Min: 0
Max: 10,00 ,
Znacznik Duża kropka ,
Rodzaj Brak .
Rys. 6
Rys. 7
6. Wciśnij na płytce montażowej oba klucze K1 i K2 (przyciski czerwony i czarny). Kondensator
zostaje naładowany.
7. Uruchom pomiar klikając lewym przyciskiem myszki w zielony kwadrat ikony
(Start pomiaru) a następnie wyciśnij na płytce montażowej przycisk czerwony − klucz K1 zostaje
otwarty i kondensator rozładowuje się przez opór R.
Uwaga: Można zakończyć pomiar w dowolnej chwili przez najechanie kursorem myszy i kliknięcie w czerwony kwadrat ikony (Stop).
8. Wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (dodając tytuł, wartości pojemności C i
oporu R)
9. Zapisz wyniki w programie Coach 5 w katalogu (projekcie) Pomiary w fizyce. Pozwoli to
wracać wielokrotnie do tych danych w celu wykonania ich analizy. W tym celu:
• najedź kursorem myszy na ikonę zapisu wyników (lewa strona górnej części ekranu i kliknij lewym przyciskiem myszy. Otworzy się okno Zapisz wyniki jako,
• w polu opis umieść swoją nazwę pliku danych np. Rozładowanie XY1.
10. Usuń z wykresu wszystkie wartości pomiarów – opcja jest dostępna po kliknięciu myszką w
ikonę młotka.
11. Zmień opornik R w obwodzie na dwukrotnie większy − 12,50 kΩ (druga płytka z opornikiem).
12. Przeprowadź pomiar wg punktów 6 ÷ 10. Zapisz nowe wyniki (patrz punkt 9) w pliku pod
nazwą Rozładowanie XY2. Pamiętaj o dokonaniu aktualizacji okienka adnotacji wykresu.
13. Włóż płytkę „2” z kondensatorem o pojemności C = 470 µF do gniazdek radiowych oznaczonych cyfrą „2”. Sumaryczna pojemność obwodu jest teraz dwukrotnie większa i wynosi C =
940 µF. Opornik zmień na poprzedni o wartości R = 6,25 kΩ.
14. Przeprowadź pomiar wg punktów 6 ÷ 10. Zapisz nowe wyniki (patrz punkt 9) w pliku pod
nazwą Rozładowanie XY3.
6
Coach T-10
15. Wyjmij płytki z kondensatorami (oznaczone cyframi „1” i „2”) oraz płytkę z opornikiem.
Umieść płytkę z kondensatorem o pojemności C = 4,7 µF (czerwony) w miejscu przewidzianym do montażu kondensatora (np. pozycja „1”).
Zmień czas pomiaru na 35 sekund (w pasku narzędzi (góra) kliknij ikonę Nastawienie pomiaru i w otwartym okienku dokonaj zmiany ustawienia).
16. Przeprowadź pomiar wg punktów 6 ÷ 10. Zapisz nowe wyniki (patrz punkt 9) w pliku pod
nazwą Rozładowanie XY4.
VII. Opracowanie otrzymanych wyników
Opracowanie będzie polegało na uzyskaniu 4 wykładniczych wykresów napięcia rozładowania
kondensatora U = U(t), uzyskania parametru b krzywej i na jej podstawie obliczenie stałej czasowej τ = RC (patrz wzory (14) i (15)).
Dla układu C = 4,7 µF i R = RV należy wykonać również wykres w układzie współrzędnych (y
= lnU, x = t). policzyć współczynnik b i obliczyć opór czujnika RV (wzory (16), (17), (18)).
1. Wczytaj wyniki zapisanie pod nazwą Rozładowanie XY1.
2. Odczytaj wartość czasu t = to, dla którego rozpoczęło się rozładowanie kondensatora. Jest to
czas odpowiadający ostatniej największej wartości napięcia na kondensatorze. W tym celu:
2.1 Powiększ wykres na cały ekran i wybierz
kursorem myszki interesujący cię fragment wykresu (rys 8).
2.2 Kliknij w obszar wykresu prawym przyciskiem myszki i z otwartego okienka wybierz opcję Odczytuj wartości.
2.3 Najedź kursorem krzyżyka na interesujący
cię punkt (ostatni o maksymalnej wartości
napięcia) i w górnym prawym okienku odczytaj wartość odpowiadającego mu czasu
t = to
Rys.8
to.
2.4 Wyłącz tryb odczytu. Kliknij prawym przyciskiem myszki w wykres i z otwartego okienka
wybierz Zakończ odczyt wartości.
3. Wróć do pierwotnej postaci wykresu. Kliknij wykres prawym przyciskiem myszki i wybierz
opcję Pomniejsz.
4. Dokonaj przesunięcia osi czasu wykresu tak, by początek krzywej rozładowania znajdował się
dla chwili t = 0. W tym celu:
4.1 Wybierz opcję Tworzenie/Edycja wykresu
(kliknij wykres prawym przyciskiem myszki
− otworzy się okienko wyboru)).
4.2 W otwartym okienku zaznacz zbiór danych
C3: Zbór danych C1 C2 C3 C4 C5 .
4.3 Dla tego zbioru wprowadź Wzór w pole Źródło danych: Wzór . Okno się zmieni i zaznacz w nim Oś: Pozioma.
4.4 Kliknij lewym przyciskiem myszki w ikonę
kapelusza. W polu edycji wzoru wprowadź
wzór używając dostępnych symboli i znaków
oraz zmierzonego czasu to: t – to.
Rys. 9
7
Coach T-10
4.5 Wpisz w pola:
Wielkość: t1 ,
Jednostka: s ,
Dziesiętne: 2
Min: 0
Max: 30 ,
5. Dokonaj selekcji danych. Z okienka opcji wykresu wybierz Przetwarzanie>Selekcja danych.
W otwartym oknie Wybór/Usuwanie danych:
w polu Metoda zaznacz Zakres (może już być ustawiony),
wybierz przedział czasowy 0 − (3÷4)t1/2,
zaznacz Wybierz i kliknij OK.
6. Dopasuj obszar wykresu do punktów pomiarowych – kursorem myszki lub opcją Dopasuj skalę. Powiększ wykres na cały ekran.
7. Dopasuj funkcję do punktów pomiarowych.
Wybierz opcję Analiza>Dopasowanie funkcji. Otworzy się okno Dopasowanie funkcji:
• w polu Funkcja wybierz funkcję postaci a⋅exp(bx) + c
,
• kliknij Auto i zapisz uzyskaną postać funkcji (współczynniki a, b, c),
• zaznacz Dodaj wykres (jeśli nie jest zaznaczony) i kliknij OK.
• wykorzystując opcję Dodanie adnotacji opisz wykres (tytuł, postać funkcji dopasowania),
Zapisz wyniki pod nazwą Rozładowanie XY1_1 a wykres do swojego pliku Word’a.
8. Powtórz procedurę z punktów 2 ÷ 7 dla wyników zapisanych w plikach Rozładowanie XY2 i
Rozładowanie XY3 (każdy plik najpierw otwieramy).
9. Wczytaj wyniki zapisanie pod nazwą Rozładowanie XY4 (rozładowanie przez opór czujnika).
Powtórz procedurę z punktów 2 ÷ 7 prowadzącą do uzyskania parametrów krzywej rozładowania kondensatora dla wczytanych wyników.
10. Dla pliku Rozładowanie XY4 przekształć wykładniczą krzywą rozładowania w funkcję liniową korzystając z programu Excel. W tym celu przejdź do trybu tabeli (lub tabeli i wykresu) oraz
10.1 Zmniejsz liczbę punktów pomiarowych do ok. 150:
• kliknij prawym przyciskiem myszki tabelę i z otwartego
okienka wybierz Wiersze>Wytnij,
• w odpowiednich polach (okno obok) wpisz:
Pierwszy 1 (pierwszy wiersz),
Ostatni
end (ostatni wiersz),
ostatni wiersz
Krok:
taki, by krok =
150
Zachowaj wiersze
10.2 Zaznacz kolumnę czasu i napięcia i przekopiuj je poprzez schowek do programu Excel.
10.3 Wykonaj w Excelu wykres zależności ln(U) w funkcji czasu t.
Oblicz współczynnik nachylenia prostej b (patrz wzór (16)) oraz jego niepewność ∆b
(wykorzystaj do tego celu funkcję REGLINP).
11. Dla każdej krzywej rozładowania oblicz wartość stałej czasowej τ ze wzoru (15):
1
τ = RC = −
b
oraz wartość czasu t1/2 = 0,693⋅τ (patrz wzór (12)).
8
Coach T-10
Oblicz wartości stałych czasowych wynikające z podanych wartości nominalnych pojemności
i oporności.
Dla pojemności C = 4,7 µF i R = RV oblicz stałą czasową τ także ze znajomości współczynnika kierunkowego b prostej wzór (17). Następnie oblicz opór czujnika RV (wzór (18)):
τ
1
RV = = −
C
b⋅C
VIII. Analiza wyników
1. Jak zwiększenie pojemności i oporności obwodu wpływa na wartość stałej czasowej τ ?
2. Czy dwukrotne zwiększenie pojemności lub oporu, przez który ten kondensator rozładowuje się
wpłynęło na dwukrotny wzrost doświadczalnej wartości τ?
3. Zaznacz na wykresach napięcie U odpowiadające czasowi t1/2. Czy wartość U(t1/2) jest równa
Uo/2?
4. Podaj wartość oporu czujnika napięcia wraz z niepewnością.
Ze wzoru (18) wynika następujący wzór na niepewność ∆RV:
 ∆b ∆C 
∆R V = ±
+
⋅RV
C 
 b
Przyjmij, że błąd względny pojemności ∆C/C = 0,1
Wynik podaj w postaci:
R = RV ± ∆RV
9
Coach T-10
Dodatek
I. Kondensatory użyte w ćwiczeniu
W ćwiczeniu użyto dwóch kondensatorów tantalowych o pojemności
470 µF każdy i tolerancji ±20%. Polaryzacja kondensatora – plus od
strony paska na kondensatorze patrz rys. obok.
Trzecim kondensatorem wykorzystanym jest kondensator foliowy o
pojemności 4,7 µF i tolerancji ±10%.
+
pasek
Kondensatory tantalowe
Kondensatory elektrolityczne, w których elektroda metaliczna wykonana jest z tantalu. Warstwę
dielektryczną tworzy pięciotlenek tantalu (Ta2O5). Właściwości:
• wysoka odporność na warunki zewnętrzne,
• niewielkie rozmiary: dla pojemności mniejszych od kilkuset µF porównywalne lub mniejsze od kondensatorów aluminiowych o tym samym maksymalnym napięciu przebicia.
• mniejszy niż w przypadku mokrych kondensatorów aluminiowych prąd upływu.
Kondensatory foliowe
Dielektrykiem jest folia z tworzywa sztucznego np. poliestrowa (kondensatory oznaczane są wtedy jako MKSE). Elektrody mogą być napylone na tę folię lub wykonane w postaci osobnej folii
metalowej, zwijanej lub prasowanej wspólnie z folią dielektryka
II. Wykorzystanie funkcji REGLINP do obliczania parametrów prostej i ich
błędów (Excel).
1.
Wprowadź formułę funkcji do dowolnej komórki arkusza, która będzie rogiem tablicy (np.
przy pomocy ikony fx lub z menu WstawFunkcja). Odnajdujemy funkcję REGLINP i zaznaczamy ją. Klikamy myszą OK. – otwiera się okienko formuły:
znane y
zaznaczamy kolumnę y
znane x
zaznaczamy kolumnę x
stała
pusta
statystyka
prawda
2.
Zakończ wprowadzanie formuły przez kliknięcie myszą w kwadrat z OK (w okienku formuły). Formuła wpisze się tylko do jednej komórki przewidywanej tablicy.
3.
Zaznacz obszar przewidywanej tablicy rozpoczynając od komórki z formułą. W tym celu
ustawiamy kursor w komórce z formułą i przy wciśniętym lewym klawiszu myszy przeciągamy zaznaczając wymagany obszar (dwie kolumny i 5 wierszy).
4.
Uaktywnij edycję formuły przez wprowadzenie kursora na koniec wiersza edycyjnego (góra
ekranu) i kliknięcie.
5.
Zaakceptuj formułę za pomocą klawiszy CTRL+ SHIFT + ENTER.
W tabelce pojawią się liczby. Ich znaczenie podaje tabelka poniżej:
m
se
r2
F
ssreg
b
seb
sey
df
ssresid
m – współczynnik kierunkowy prostej,
b – wyraz wolny,
se – błąd standardowy współczynnika kierunkowego,
seb – błąd standardowy wyrazu wolnego.
10