Geometryczna Teoria Grup - skrypt do warsztatów w ramach WWW11

Geometryczna Teoria Grup
- skrypt do warsztatów w ramach WWW11
Niniejszy skrypt omawia najważniejsze pojęcia, których będziemy używać na warsztatach.
1
Grupy
Oznaczmy przez E2 zbiór izometrii1 płaszczyzny R2 . Najprostszą jest identyczność id(x) = x. Jeśli
f, g ∈ E2 izometriami, to są nimi również odwrotność2 f −1 oraz złożenie3 f ◦ g. Operacja ◦ jest
łączna, tj. f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h, a poza tym dla każdego f ∈ E2 zachodzi f ◦ id = id ◦ f = f , tzn.
id jest elementem neutralnym dla ◦. Te własności oznaczają, że (E2 , ◦) jest przykładem grupy4 .
Definicja 1 (grupy). Parę (G, ◦), w której G jest zbiorem, zaś ◦ : G × G → G działaniem
dwuargumentowym5 nazwiemy grupą, jeśli spełnione są następujące warunki.
1. Dla każdych a, b, c ∈ G zachodzi a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c - działanie jest łączne i nie musimy
zastanawiać się nad kolejnością działań w dowolnym iloczynie postaci a1 ◦ a2 ◦ . . . ◦ ak .
2. Istnieje e ∈ G takie, że dla każdego a ∈ G zachodzi a ◦ e = e ◦ a = a - działanie ma element
neutralny e. Wówczas jest on wyznaczony jednoznacznie i z oznaczenia e na element neutralny
będziemy jeszce korzystać.
3. Dla każdego a ∈ G istnieje a−1 ∈ G takie, że a ◦ a−1 = a−1 ◦ a = e - każdy element a
ma element odwrotny a−1 . Tutaj również okazuje się, że może być tylko jedno takie a−1 i
będziemy używać tego oznaczenia na element odwrotny dla a.
Jeśli w dodatku dla każdy a, b ∈ G spełniony jest warunek a◦b = b◦a, to grupę (G, ◦) nazywamy
przemienną. Często zamiast a ◦ b piszemy po prostu ab.
Zamiast (G, ◦) będziemy zwykle pisać G, jeśli wiadomo, o jakie działanie ◦ chodzi.
Przykłady:
• Zamiast izometrii R2 możemy rozważać izometrie Rn dla dowolnego n ­ 1 i podobnie jak
poprzednio otrzymać grupę (En , ◦), składającą się z izometrii Rn .
• (Z, +), (Q, +), (R, +) są grupami przemiennymi, w których elementem neutralnym jest 0, zaś
elementem odwrotnym względem a jest liczba przeciwna, czyli −a. W przypadku mnożenia
uwzględnić należy fakt, że 0 nie daje się odwrócić6 : (Q \ {0}, ·), (R \ {0}, ·) są grupami
1 czyli wszystkich przekształceń φ : R2 → R2 , które zachowują odległości między punktami. Tutaj każde z nich
to przesunięcie o wektor, obrót względem punktu lub symetria względem prostej złożona z przesunięciem.
2 którą można scharakteryzować przez f −1 ◦ f = f ◦ f −1 = id
3 (f ◦ g)(x) = f (g(x)) dla x ∈ R2
4 Widać przy okazji, że nie zakładamy przemienności działania.
5 tzn. dla każdych a, b ∈ G dany jest wyznaczony jednoznacznie element a ◦ b ∈ G
6 a liczby całkowite przy odwracaniu mogą nie dawać liczb całkowitych
1
1
GRUPY
przemiennymi, w których elementem neutralnym jest 1, zaś odwrotność liczby a to a−1 ,
rozumiane w sensie szkolnym.
• Dla n ­ 1 oznaczmy przez Sn zbiór wszystkich bijekcji f : {1, 2, . . . , n} → {1, 2, . . . , n}.
Wówczas (Sn , ◦) z ◦ będącym składaniem funkcji jest grupą.
• Dla n ­ 3 rozważmy n-kąt foremny na płaszczyźnie. Zbiór izometrii własnych tego wielokąta
oznaczamy przez D2n - są to izometrie płaszczyzny, które przekształcają wielokąt na niego
samego. Zatem D2n ⊂ E2 , przy czym jest to zbiór zamknięty na składanie ◦ oraz branie
odwrotności. (D2n , ◦) jest grupą, a w takiej sytuacji mówimy, że to podgrupa (E2 , ◦).
• Niech G będzie grafem ze zbiorem wierzchołków V oraz zbiorem krawędzi (zorientowanych,
pojedynczych) E ⊂ V × V . Automorfizmem grafu G nazywamy dowolną bijekcję f : V → V ,
która dla każdych a, b ∈ V spełnia warunek (a, b) ∈ E ⇐⇒ (f (a), f (b)) ∈ E. Zbiór
automorfizmów oznaczmy Aut(G). Jest to grupa z działaniem składania automorfizmów.
• Dla n ­ 1 mamy grupę (Zn , +n ) reszt modulo n, z dodawaniem modulo n. Możemy określić
ją, przyjmując Zn = {0, 1 . . . , n − 1}, a +n b = (a + b) mod n dla a, b ∈ Zn . (Zapis x mod n
oznacza resztę z dzielenia liczby x przez n.)
Definicja 2 (podgrupy). Niech (G, ◦) będzie grupą z elementem neutralnym e. Zbiór H ⊂ G
nazwiemy podgrupą G wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera e i jest zamnkięty na działanie ◦ i branie
odwrotności, tzn. spełnione są następujące warunki.
• Dla każdych a, b ∈ H zachodzi a ◦ b ∈ H.
• Dla każdego a ∈ H jest prawdą, że a−1 ∈ H.
Ten fakt będziemy zapisywać symbolicznie jako H < G. W takiej sytuacji (H, ◦) jest również grupą
(z tym samym działaniem, co G).
Przykłady:
• Widzieliśmy, że D2n jest podgrupą E2 .
• Dla ustalonego k ∈ Z możemy rozważyć zbiór liczb podzielnych przez k,
tzn. kZ = {ka | a ∈ Z}. Zbiór kZ jest zamknięty na dodawanie i branie elementu przeciwnego,
a także zawiera 0, więc (kZ, +) jest podgrupą (Z, +).
Niektóre grupy różnią się od siebie tylko tym, jak akurat w ramach konstrukcji przyjęto nazywać
jej elementy. Następujące pojęcie pozwala mówić precyzyjnie, jakie grupy uważamy za takie same,
tj. izomorficzne.
Definicja 3 (izomorfizmu grup). Niech (G, ◦), (H, ?) będą grupami. Funkcję φ : G → H nazywami
izomorfizmem, jeśli spełnia następujące warunki.
1. Dla każdych a, b ∈ G zachodzi φ(a ◦ b) = φ(a) ? φ(b).
2. φ jest bijekcją.
Jeśli istnieje izomorfizm między (G, ◦) a (H, ?), to mówimy, że te grupy są izomorficzne. Przekształcenie odwrotne do izomorfizmu jest izomorfizmem.
Przekształcenie φ spełniające tylko warunek 1. nazywamy homomorfizem.
Przykłady:
2
2
DZIAŁANIA GRUP
• W grupie Z4 = {0, 1, 2, 3} pozdzbiór H = {0, 2} jest podgrupą. Przekształcenie
φ : H → Z2 = {0, 1}, określone jako φ(0) = 0, φ(2) = 1 jest izomorfizmem między (H, +4 ) a
(Z2 , +2 ).
• Jeśli w grupie (G, ◦) element x spełnia7 xi 6= e dla i = 1, . . . , n − 1, ale xn = e, to mówimy,
że jest rzędu n (tj. rząd x to najmniejsze k ­ 2, dla którego xk = e). Wówczas zbiór
hxi = {e, x, . . . , xn−1 } jest podgrupą G, zaś przekształcenie φ : Zn → hxi dane jako φ(j) = xj
jest izmorfizmem z (Zn , +n ) do (hxi, ◦). Np. liczba −1 ∈ R ma w grupie (R \ {0}, ·) rząd
2, więc podgrupa h−1, 1i < R \ {0} jest izomorficzna z Z2 . Inny przykład: niech σ ∈ E2
będzie obrotem o kąt 2π
n wokół punktu (0, 0). Wtedy σ jest rzędu n, a zatem grupa hσi jest
izomorficzna z Zn .
• Jeśli w grupie (G, ◦) element x spełnia xn 6= e dla każdego n ­ 1, to wówczas określamy
hxi = {xk | k ∈ Z} i jest to podgrupa G. Przekształcenie φ : Z → hxi dane jako φ(k) = xk
jest izomorfizmem. Przykładem takiego x jest x ∈ E2 wybrane jako przesunięcie o ustalony
niezerowy wektor lub obrót wokół (0, 0) o kąt niewspółmierny z π.
Jeśli (G, ◦) jest grupą, to dla dowolnego niepustego podzbioru A ⊂ G określamy hAi jako najmniejszą podgrupę G, która zawiera A - taka grupa w istocie istnieje i składa się ze wszystkich
elementów G, które można zapisać w postaci a1 a2 . . . an , gdzie każde ai jest elementem A, lub jego
odwrotnością, zaś n ­ 0 (pusty iloczyn rozumiemy jako e). hAi nazywamy podgrupą generowaną
przez A. Dla elementu x ∈ G, który jest rzędu n ­ 1, zapis h{x}i pokrywa się z wcześniej wprowadzonym oznaczeniem hxi i używamy ich zamiennie. Ogólniej, będziemy pisać hx1 , x2 , . . . , xk i
zamiast h{x1 , x2 , . . . , xk }i.
2
Działania grup
W wymienionych przykładach większość grup była dana jako grupy pewnych przekształceń określonego zbioru (np. przestrzeni lub grafu), choć nie wszystkie (np. Zn ). Następujące pojęcie pozwala
myśleć o dosyć dowolnej grupie jak o wyznaczającej symetrie.
Definicja 4 (Działania grupy). Niech X będzie zbiorem, zaś (G, ◦) grupą z elementem neutralnym e. Działaniem G na X nazwiemy przyporządkowanie Θ : G × X → X, spełniające warunki
sformułowane w dalszym ciągu. O Θ myślimy jak o zadającym mnożenie elementów X z lewej
strony przez elementy G i dla g ∈ G, x ∈ X piszemy gx zamiast Θ(g, x). Przy tym oznaczeniu,
warunki oznaczające, że Θ jest działaniem są następujące8 .
• Dla każdego x ∈ X zachodzi ex = x.
• Dla każdych a, b ∈ G, x ∈ X zachodzi a(bx) = (ab)x.
Przykłady:
• Grupa E2 działa na R2 w ten sposób, że dla φ ∈ E2 oraz x ∈ R2 określamy φx = φ(x).
Analogicznie każda grupa przekształceń pewnego zbioru X działa na X właśnie ten sposób.
2
• Dla n ­ 1 niech f ∈ E2 będzie obrotem wokół (0, 0) o kąt 2π
n . Wtedy Zn działa na R w
2
9
k
następujący sposób. Dla k ∈ Zn oraz x ∈ R określamy kx = f (x).
7
8
9
definiujemy potęgowanie przez warunki x0 = e, xj+1 = xj ◦ x, x−j = (xj )−1 dla j > 0.
Przypomnijmy, że dla a, b ∈ G używamy oznaczenia ab zamiennie z a ◦ b.
zapis ten może być mylący, ale użyjemy go tylko tutaj
3
4
3
GRUPA SL2 (Z)
Trochę o Rn
Punkty x ∈ Rn to ciągi postaci x = (x1 , x2 , . . . , xn ), gdzie xi ∈ R dla każdego i = 1, 2, . . . , n.
Każdy punkt x utożsamiamy zwykle z wektorem zaczepionym w 0 = (0, . . . , 0), mającym swój
koniec w x. Dla x, y ∈ Rn , α ∈ R definiujemy
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xn + yn )
oraz
αx = (αx1 , αx2 , . . . , αxn ).
n
(R , +) jest kolejnym przykładem grupy przemiennej.
Definiujemy też iloczyn
1 y1 + x2 y2 + . . . + xn yn . Wyznacza on długość
p skalarny hx, yi = xp
wektora x, liczbę kxk = x21 + x22 + . . . + x2n = hx, xi. Odległość między x, a y to zaś kx − yk.
Mówimy, że x, y są prostopadłe, jeśli hx, yi = 0. To jest to samo, co stwierdzić, że wektory te
są prostopadłe w płaszczyźnie zawierającej x, y, 0.
Każdy niezerowy wektor v ∈ Rn wyznacza tzw. hiperpłaszczyznę
⊥
v = {u ∈ Rn | (v, u) = 0}, która można utożsamić z Rn−1 : dla n = 2 jest to prosta prostopadła
do v, zaś dla n = 3 otrzymujemy płaszczyznę. Dla n = 2, 3 znana jest nam izometria Rn , polegającą
na odbiciu symetrycznym względem v⊥ , oznaczmy ją przez rv i napiszmy ogólną definicję rv (u)
dla u ∈ Rn z dowolnym n.
Dane u zapisujemy (jednoznacznie) jako10 u = αv + w, gdzie w jest prostopadłe do v,
tzn. w ∈ v⊥ , zaś α ∈ R. Przyjmujemy rv (u) = −αv + w.
4
Grupa SL2 (Z)
a b
Oznaczmy SL2 (Z) = {
| a, b, c, d ∈ Z, ad − bc = 1}, zbiór macierzy 2 na 2 o współczync d
nikach całkowitych i wyznaczniku 1.
Mnożenie macierzy jest określone wzorem11
a b
x y
ax + bz ay + bt
=
c d
z t
cx + dz cy + dt
SL2 (Z) staje
jest
się ztak określonym mnożeniem grupą, w której elementem neutralnym
1 0
a b
d −b
macierz I2 =
, zaś macierzą odwrotną do
∈ SL2 (Z) jest macierz
,
0 1
c d
−c a
co wynika z założenia ad − bc = 1.
Te macierze są o tyle ciekawe, że wyznaczają izometrie tzw. płaszczyzny hiperbolicznej H2 .
O tym więcej na samych warsztatach.
a
2
2
Oznaczmy elementy Z w taki sposób, żeby Z = {
| a, b ∈ Z}.
b
a b
x
ax + by
Dla A =
∈ SL2 (Z) oraz v =
∈ Z2 określamy Av =
. Można
c d
y
cx + dy
sprawdzić, że to zadaje działanie12 SL2 (Z) na Z2 .
10
rozkładamy wektor na składową równoległą do danego kierunku i składową prostopadłą do niego
łatwo zapamiętać, jeśli oznaczy się wiersze pierwszej macierzy jakow1 = (a, b), w2 = (c, d),
zaś kolumny
hw1 , k1 i hw1 , k2 i
drugiej jako k1 = (x, z), k2 = (y, t). Wtedy wynikiem mnożenia jest macierz
.
hw2 , k1 i hw2 , k2 i
12 tj. spełnione są warunki I v = v, (AB)v = A(Bv)
2
11 Który
4