Wykład 11 Grupy Grupą nazywamy strukturę algebraiczną

Wykład 11
Grupy
Grupą nazywamy strukturę algebraiczną złożoną z niepustego zbioru G i
działania binarnego ◦, które spełnia własności:
(i) Działanie ◦ jest łączne, czyli
∀a, b, c ∈ G a ◦ (b ◦ c) = (a ◦ b) ◦ c.
(ii) Działanie ◦ posiada element neutralny, to znaczy
∃e ∈ G ∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a.
(iii) Każdy element jest odwracalny względem ◦, to znaczy
∀a ∈ G∃a0 ∈ G a ◦ a0 = a0 ◦ a = e,
gdzie e jest elementem neutralnym tego działania.
Jeśli dodatkowo
(iv) Działanie ◦ jest przemienne, to znaczy
∀a, b ∈ G a ◦ b = b ◦ a,
to grupę nazywamy grupą abelową (albo przemienną).
Grupę będziemy zapisywać w postaci pary złożonej ze zbioru i działania
(G, ◦).
Każdy element grupy jest odwracalny. Element odwrotny do a oznaczać będziemy przez a−1 .
Niepusty podzbiór H grupy G nazywać będziemy podgrupą tej grupy jeśli:
(i) ∀h1 , h2 ∈ H h1 ◦ h2 ∈ H.
(ii) e ∈ H.
(iii) ∀h ∈ H h−1 ∈ H.
Łatwo zauważyć, że jeśli H jest podgrupą grupy G to struktura (H, ◦) jest
grupą.
Przykłady grup
1. (Z, +), (R, +) są grupami abelowymi.
2. Jeśli (P, +, ·) jest pierścieniem to (P, +) jest grupą abelową oraz (P ∗ , ·)
jest grupą (gdzie P ∗ oznacza zbiór elementów odwracalnych pierścienia P ).
W szczególności zbiór macierzy n × n nad danym ciałem K, o wyznaczniku
niezerowym jest grupą ( dla n > 1 nieabelową). Grupę tą oznaczamy przez
Gln (K) i mamy:
Gln (K) = {A ∈ Mn (K) : det A 6= 0}
1
Grupa ta jest nazywana grupą liniową macierzy n × n.
3. Zbiór Sln (K) = {A ∈ Mn : det A = 1} jest podgrupą grupy Gln (K)
(nazywaną specjalną grupą liniową).
4. Oznaczmy przez Sn zbiór wszystkich permutacji zbioru {1, 2, . . . , n} (czyli
wzajemnie jednoznacznych odwzorowań zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie). Zbiór
ten wraz z działaniem składania przekształceń ◦ tworzy grupę (dla n > 2
nieabelową). Jest to przykład grupy skończonej (to znaczy takiej, w której
zbiór G ma skończoną ilość elementów) bo Sn ma dokłanie n! elementów.
Na przykład
S3 = {σ0 , σ1 , σ2 , σ3 , σ4 , σ5 }
gdzie:
σ0 =
σ3 =
1
1
1
2
2
2
2
1
!
3
,σ =
3 ! 1
3
, σ4 =
3
1
1
1
3
2
3
2
1
!
3
,σ =
2 ! 2
3
, σ5 =
2
1
3
1
2
2
2
2
3
!
3
,
1 !
3
1
Sprawdza się bezpośrednio, że podgrupami grupy S3 są podzbiory:
{σ0 }
{σ0 , σ1 }
{σ0 , σ2 }
{σ0 , σ3 }
{σ0 , σ4 , σ5 }
S3
5. Podgrupą grupy Sn jest zbiór An złożony ze wszystkich permutacji parzystych zbioru {1, 2, . . . , n}. Na przykład
(
A3 =
1 2 3
1 2 3
!
,
1 2 3
3 1 2
!
,
1 2 3
2 3 1
!)
Grupa (An , ◦) ma n!2 elementów i jest nieabelowa dla n > 3.
6. Przekształcenie płaszczyzny (lub przestrzeni), które jest bijekcją i które nie
zmienia odległości punktów nazywamy izometrią płaszczyzny. Przykładami
izometrii są obroty oraz symetrie. Przekształceniem, które nie jest izometrią
jest na przykład rzutowanie na prostą. Zbiór izometrii płaszczyzny z działaniem składania przekształceń jest grupą (nieabelową).
7. Niech F będzie pewną figurą na płaszczyźnie. Izometrią własną figury
F nazywamy zbiór wszystkich izometrii płaszczyzny, które przekształcają F
na siebie. Zbiór izometrii własnych figury F wraz z działaniem składania
przekształceń jest grupą.
2
Figurę F nazywamy n-kątem foremnym jeśli ma n równych boków i n równych kątów. Na przykład trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny,
czworokątem foremnym jest kwadrat itd. Oznaczmy przez Dn grupę izometrii własnych n-kąta foremnego. Nietrudno jest zauważyć, że grupa Dn ma
2n elementów: n symetrii względem prostych i n obrotów względem środka
figury.
Na przkład D4 jest izometrii własnych kwadratu. Wprowadźmy oznaczenia
r0 jest obrotem o 0 stopni, r1 jest obrotem o 90 stopni, r2 obrotem o 180 stopni i r3 obrotem o 270 stopni, s1 jest symetrią względem prostej przechodzącą
przez środek pary równoległych boków, s2 jest symetrią względem prostej
przechodzącą przez środek drugiej pary równoległych boków, s3 i s4 są symetriami względem prostych przechodzących przez naprzeciwległe wierzchołki.
s3
s4
s1
@
1
@
2
@
s2
@
@
@
@
@
@
@
@
4
3
@
Po ponumerowaniu wierzchołków liczbami od 1 do 4 każda izometria kwadratu wyznacza jednoznaczną permutację wierzchołków r0 = (1)(2)(3)(4),
r1 = (1, 2, 3, 4), r2 = (1, 3)(2, 4), r3 = (1, 4, 3, 2), s1 = (1, 2)(3, 4), s2 =
(1, 4)(2, 3), s3 = (2, 4), s4 = (1, 3).
Własności grup
(1) Każda grupa posiada dokładnie jeden element neutralny.
(2) Każdy element grupy posiada dokładnie jeden element odwrotny.
(3) Jeśli w grupie zachodzi równość ax = ay to x = y.
(4) Każde równanie ax = b ma w grupie jednoznaczne rozwiązanie x = a−1 b.
(5) Dla każdego elementu a ∈ G mamy (a−1 )−1 = a.
(6) Dla każdej pary elementów a, b ∈ G mamy (ab)−1 = b−1 a−1
3
W grupie (G, ·) możemy zdefiniować potęgowanie elementu a ∈ G:
a0 = e, a1 = a, an = a
· · a}
| ·{z
n
jeśli n > 0 oraz
−1
a−n = a
·{z
· · a−1}
|
n
Potęgowanie ma następujące własności:
(i) am an = am+n .
(ii) (am )n = am n.
Uwaga W grupie możemy stosować zapis addytywny (często stosuje się go
w przypadku grup abelowych) (G, +). Wtedy element neutralny oznacza się
przez 0, a element odwrotny do a oznacza się przez −a. Zamiast potęgowania
wykonuje się mnożenie przez liczby całkowite:
0a = 0, na = a
+ .{z
. . + a}, (−n)a = (−a) + . . . + (−a)
|
|
n
{z
n
}
Wtedy ta operacja ma analogiczne własności jak potęgowanie:
(i) (n + m)a = na + ma.
(ii) (nm)a = n(ma).
Niech a będzie elementem grupy G. Najmniejszą niezerową liczbę naturalną n, taką że an = e nazywamy rzędem elementu a. Jeśli taka liczba nie
istnieje to mówimy, że element a ma rząd nieskończony (w przypadku zapisu addytywnego rzędem nazywamy najmniejszą liczbę niezerową dla której
na = 0).
Przykłady
!
1 2 3
1. Permutacja
= (1, 2, 3) ma rząd 3.
2 3 1
2. Element 3 grupy (Z6 , +6 ) ma rząd 2, bo 3 +6 3 = 0.
3. Element neutralny e ma rząd równy 1.
Twierdzenie 1 Jeśli grupa G jest skończona i ma n elementów to każdy
element ma skończony rząd.
Dowód Niech a będzie elementem grupy G. Rozważmy zbiór potęg elementu
a:
{1, a, a2 , a3 , . . .}
Elementy te należą do G. Ponieważ G jest zbiorem skończonym to zbiór potęg
elementu a też jest skończony, a to oznacza, że istnieją liczby naturalne i 6= j,
że ai = aj i jeśli i < j to aj−i = e. To oznacza, że rząd elementu a jest
skończony.
4
Twierdzenie 2 Jeśli G1 i G2 są grupami to zbiór G1 × G2 z działaniem
określonym następująco:
(g1 , h1 )(g2 , h2 ) = (g1 g2 , h1 h2 )
jest grupą.
Niech G będzie dowolną grupą i niech a ∈ G. Wtedy przez < a > oznaczamy zbiór wszystkich potęg elementu a to znaczy:
< a >= {. . . , a−3 , a−2 , a−1 , a0 , a, a2 , a3 , . . .}
Wtedy < a > jest podgrupą grupy G. Jeśli w grupie G istnieje element a,
taki że: G =< a > to G nazywamy grupą cykliczną.
Twierdzenie 3 Jeśli G jest grupą cykliczną to G jest abelowa.
5