plik - pdf - Politechnika Białostocka

System M/M/1 ze stratą
Rozważmy pojedynczą linię telefoniczną. Załóżmy, że zgłoszenia napływają do
systemu i opuszczają go według rozkładu wykładniczego. Pojedyncza linia nie ma poczekalni
i w danej chwili może obsługiwać tylko jedno zgłoszenie, toteż zgłoszenie przybyłe w czasie,
gdy kanał obsługi jest zajęty jest odrzucane (system ze stratą). Nasz system posiada zatem
tylko dwa stany: H0 – brak zgłoszeń w systemie, oraz H1 – jedno zgłoszenie na stanowisku
obsługi (w systemie). Stan H1 określa zarazem maksymalną liczbę zgłoszeń w systemie.
H0 µ1
λ0 H1
Załóżmy, że średnio co pół godziny ktoś próbuje się połączyć z naszą linią, jedno
połączenie trwa średnio 10 min.
Przyjmijmy, że λ0 = λ i µ1 = µ.
1
λ
1
µ
=
1
godz.
2
= 10 min =
więc λ = 2
1
godz.
6
więc µ = 6
Opierając się na wzorach dla procesu narodzin i śmierci, możemy zapisać:
Qi =
λ0 ⋅ λ1 ⋅ λ2 ⋅ ⋅ ⋅ λi −1
λi
=
, oraz Q0 = 1 .
µ1 ⋅ µ 2 ⋅ µ 3 ⋅ ⋅ ⋅ µ i i!µ i
Zatem Q1 =
λ0 λ
= =ρ
µ1 µ
Możemy zauważyć, że nasza linia nie jest mocno obciążona. Wartość obciążenia równa jest
ρ=
λ 2
= ≈ 0.3 .
µ 6
Prawdopodobieństwo obsługi zgłoszenia (stan H0) wynosi pobs = p0 =
1
≈ 0.75 ,
1+ ρ
jest więc dość duże. Prawdopodobieństwo straty zgłoszenia (stan H1) jest równe
p str = p1 =
ρ
1+ ρ
≈ 0.25 .
Otrzymane charakterystyki wskazują, że linia nie jest mocno obciążona, jednak ponosi
pewne straty. 25 procent przybyłych zgłoszeń prawdopodobnie otrzyma odmowę obsługi
(zastanie linię zajętą). Są dość niepokojące straty. Najlepszym rozwiązaniem w przypadku
naszej linii byłoby zamontowanie minicentrali telefonicznej 1.
Zadania
1. Serwer FTP z limitem podłączeń do jednego
Na komputerze podłączonym do sieci stoi serwer FTP. Aby nie obciążać procesora
ustawiono limit podłączeń do jednego. Średnio co n minut ktoś próbuje wejść na serwer.
Przyjmujemy, że proces napływu zgłoszeń do systemu, oraz opuszczania go jest procesem
Markowa. Jeden użytkownik w zależności od przepustowości sieci ściąga różne pliki przez
około:
a) 10 minut, gdy transfer jest najlepszy. Kiedy ruch w sieci rośnie czas wydłuża się
odpowiednio do 15, 20, 25, 30 minut, zaś gdy przepustowość sieci jest najsłabsza
(największy ruch w sieci) – 60 minut (n = 5);
b) 10 minut, gdy transfer jest najlepszy. Kiedy ruch w sieci rośnie czas wydłuża się
odpowiednio do 15, 20, 25, 30 minut, zaś gdy przepustowość sieci jest najsłabsza
(największy ruch w sieci) – 60 minut (n = 10);
c) 15 minut, gdy transfer jest najlepszy. Kiedy ruch w sieci rośnie czas wydłuża się
odpowiednio do 17, 20, 26, 35 minut, zaś gdy przepustowość sieci jest najsłabsza
(największy ruch w sieci) – 47 minut (n = 12);
d) 2 minuty, gdy transfer jest najlepszy. Kiedy ruch w sieci rośnie czas wydłuża się
odpowiednio do 5, 8, 14, 17 minut, zaś gdy przepustowość sieci jest najsłabsza
(największy ruch w sieci) – 25 minut (n = 8);
e) 2 minut, gdy transfer jest najlepszy. Kiedy ruch w sieci rośnie czas wydłuża się
odpowiednio do 3, 4, 5, 6 minut, zaś gdy przepustowość sieci jest najsłabsza
(największy ruch w sieci) – 8 minut (n = 1);
Przeprowadź dokładną analizę systemu (oblicz prawdopodobieństwa obsługi i straty
zgłoszenia, obciążenie serwera, średnią ilość zgłoszeń obsługiwanych i traconych w ciągu
godziny). Otrzymane wyniki przedstaw graficznie. Zaproponuj rozwiązanie, które pozwoli
lepiej funkcjonować zadanemu systemowi.
1
Por. Walenty Oniszczuk: Metody modelowania, Politechnika Białostocka, Białystok 1995, s. 36 - 37
2. Jednoręki bandyta
W kasynie stoi „jednoręki bandyta”. Średnio w ciągu godziny n graczy chce na nim
zagrać. Zwykle jedna osoba gra około m minut. Zakładamy, że zgłoszenia napływające i
opuszczające system opisane są procesem Markowa.
a) n = 20; m = 5, 8, 11, 14, 15, 20;
b) n = 10; m = 8, 13, 17, 20, 25;
c) n = 5, 10, 15, 20, 30; m = 10;
d) n = 10, 12, 14, 16, 20; m = 10;
e) n = 2, 3, 6, 10, 12; m = 20;
Oblicz prawdopodobieństwa obsługi i straty zgłoszenia, oraz obciążenie „jednorękiego
bandyty”. Przedstaw wyniki na wykresie.
3. Telefonistka
Do serwisu naprawczego można się dodzwonić tylko pod jeden numer. Telefonistka
przyjmuje pojedyncze zgłoszenie o awarii średnio przez m minut, zaś w ciągu godziny
średnio n urządzeń naprawianych przez ten serwis ulega awarii. Klient, który nie może
dodzwonić się do tego serwisu skorzysta z innego – konkurencyjnego. Przeprowadź analizę
działania systemu, jeśli:
a) n = 10, 12, 14, 15, 20; m = 2;
b) n = 5, 10, 15, 20, 25; m = 5;
c) n = 2, 3, 4, 5, 10; m = 3;
d) n = 12; m = 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3;
e) n = 15; m = 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.5, 2;