ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x)
Transkrypt
ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x)
1 JAK ZMIENI SIĘ WARTOŚĆ FUNKCJI y=f(x) NA SKUTEK MAŁEGO WZROSTU ZMIENNEJ NIEZALEśNEJ x ? RÓśNICZKA FUNKCJI y=f(x) MÓWI NAM O PRZYBLIśONEJ WARTOŚCI PRZYROSTU ∆y FUNKCJI y JEśELI ZMIENNA NIEZALEśNA x WZROŚNIE O MAŁE ∆x ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x) MÓWI NAM O ILE % WZROŚNIE WARTOŚĆ FUNKCJI y JEśELI ZMIENNA NIEZALEśNA x WZROŚNIE O 1% 2 ELASTYCZNOŚĆ FUNKCJI y=f(x) Elastycznością funkcji y=f(x) ze względu na zmienną niezaleŜną x nazywamy granicę ilorazu względnego przyrostu wartości funkcji (∆y / y) do względnego przyrostu zmiennej niezaleŜnej (∆x / x) , tj. ∆y ∆x x dy x ' E y = lim : = ⋅ = ⋅ f ( x) ∆x → 0 y x y dx y PRZYKŁAD 1 Dla funkcji liniowej Ey = y=3x-6 elastyczość wynosi x ' x x ⋅ f ( x) = ⋅3 = y 3x − 6 x−2 Przy x=10 wartość funkcji wynosi y=f(10)=3 10− −6=24, a elastyczność Ey=10/8=1.2 Elastyczność interptetujemy następująco: JeŜeli zmienna niezaleŜna x wzrośnie z aktualnego poziomu (10) o 0.01 •10 = tj. o 0.1 to wartość funkcji wzrośnie z aktualnego poziomu (24) o tj. o 0.012 •24 = 1% 1.2% 0.288 Przy x=6 wartość funkcji wynosi y=f(6)=3••6− −6=12, a elastyczność Ey=6/4=1.5. Wniosek : Elastyczność funkcji liniowej nie jest stała. ZaleŜy od poziomu zmiennej niezaleŜnej x . PRZYKŁAD 2 Dla funkcji potęgowej x ' Ey = ⋅ f ( x) = y y = 2 x 3 elastyczość wynosi x 6x 3 2 ⋅ 6x = = 3 3 3 2x 2x Wniosek : Elastyczność funkcji potęgowej jest stała. Nie zaleŜy od poziomu zmiennej niezaleŜnej x . 3 RÓśNICZKA FUNKCJI y=f(x) RóŜniczką dy funkcji y=f(x) nazywamy iloczyn pochodnej dowolny przyrost ∆x zmiennej niezaleŜnej x , tj. f'(x) przez dy = f ' ( x ) ⋅ ∆x RóŜniczka funkcji słuŜy do przybliŜonego obliczania gdy przyrost zmiennej niezaleŜnej jest dostatecznie mały. PrzybliŜony przyrost funkcji poziomu xo wynosi ∆y , gdy zmienna niezaleŜna ∆y x ≈ f ' ( x0 ) ⋅ ∆x lim ( ∆y − dy) = 0 Wynika stąd, Ŝe y=3x-6 x wzrasta z pewnego (∆x → 0) 0 PRZYKŁAD 1 Dla funkcji liniowej przyrostu funkcji, ∆x →0 róŜniczka ma postać dy = f ' ( x ) ⋅ ∆x = (3x - 6) ⋅ ∆x = 3 ⋅ ∆x ' Wniosek : RóŜniczka funkcji liniowej jest stała i dokładnie odpowiada przyrostowi funkcji. y = 2 x 3 róŜniczka wynosi PRZYKŁAD 2 Dla funkcji potęgowej ( ) ⋅ ∆x dy = 2 x 3 ' = 6 x 2 ⋅ ∆x Wniosek : RóŜniczka funkcji potęgowej jest funkcją. Np. przy xo=2 i ∆x=0.01 mamy ∆y ≈ 6 ⋅ 2 ⋅ 0.01 = 0.24 podczas gdy 2 ∆y = 2 x 3 2 .01 ∆y = 2 x 3 10 .01 2 = 16.241202 − 16 = 0.241202 a przy xo=10 i ∆x=0.01 mamy ∆y ≈ 6 ⋅ 102 ⋅ 0.01 = 6 podczas gdy 10 = 2006.006 − 2000 = 6.006 4 TEMPO WZROSTU FUNKCJI y=f(x) Iloraz f ( x0 + ∆x ) − f ( x0 ) f (x0 ) nazywamy średnim tempem wzrostu funkcji y=f(x) w przedziale <x0, x0+∆ ∆x> > Granicę f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) f ( x0 ) f ' ( x0 ) lim = ∆x→0 f ( x0 ) ∆x nazywamy tempem wzrostu funkcji w punkcie x0. Przykład 1 Dla funkcji liniowej y=3x-6 tempo wzrostu funkcji w punkcie x0=10 wynosi 5 (3x − 6)' 3x − 6 = x = x0 =10 3 3x − 6 = x = x0 =10 3 3 1 = = 3 ⋅ 10 − 6 24 8 Przykład 2 Dla funkcji potęgowej y=2x3 tempo wzrostu funkcji w punkcie x0=2 wynosi (2 x ) ' 3 2 x3 x = xo = 2 6x2 = 3 2x x = x0 = 2 3 3 = = x x = x0 = 2 2