Rachunek Prawdopodobieństwa

Rachunek Prawdopodobieństwa
LISTA ZADAŃ nr 5
opracowanie M. Bogdan
na podstawie: Hogg/McKean/Craig, Introduction to Mathematical Statistics, 6th Edition
1. Ła̧czna gȩstość zmiennych X i Y dana jest wzorem f (x, y) = 4xy dla 0 < x < 1, 0 < y < 1
i zero poza tym zbiorem. Wyznacz P (0 < X < 1/2, 1/4 < Y < 1) , P (X = Y ) , P (X < Y ) i
P (X ¬ Y ) .
2. Niech A1 = {(x, y) : x ¬ 2, y ¬ 4}, A2 = {(x, y) : x ¬ 2, y ¬ 1}, A3 = {(x, y) : x ¬ 0, y ¬
4} i A4 = {(x, y) : x ¬ 0, y ¬ 1}. Wyznacz P (A5 ), gdzie A5 = {(x, y) : 0 < x ¬ 2, 1 < y ¬ 4}, jeżeli
P (A1 ) = 7/8, P (A2 ) = 4/8, P (A3 ) = 3/8 a P (A4 ) = 2/8.
3. Z talii kart wylosowano 13 kart bez zwracania. Niech X oznacza liczbȩ pików wśród wylosowanych kart, a Y liczbȩ kierów. Wyznacz rozkład X i P (X = 2, Y = 5). Jaki jest ła̧czny rozkład X
iY .
4. Ła̧czny rozkład zmiennych X i Y zadany jest w poniższej tabeli:
(x, y)
p(x, y)
(0, 0)
2/12
(0, 1)
3/12
(0, 2)
2/12
(1, 0)
2/12
(1, 1)
2/12
(1, 2)
1/12
1. Wyznacz rozkłady brzegowe X i Y .
2. Wyznacz P (X + Y = 1).
5. Ła̧czna gȩstość zmiennych X i Y wyraża siȩ wzorem f (x, y) = 15x2 y dla 0 < x < y < 1 i
zero poza tym zbiorem. Wyznacz rozkłady brzegowe i wylicz P (X + Y ¬ 1).
6. Niech X i Y bȩda̧ dwiema zmiennymi losowymi o rozkładzie p-stwa P (x, y) = (x + y)/12,
dla x = 1, 2, y = 1, 2 i zero poza tym zbiorem.
1. Wyznacz E(X) , E(X 2 ) , E(Y ) , E(Y 2 ) i E(XY )·
2. Wyznacz współczynnik korelacji miȩdzy X i Y .
3. Wyznacz E(2X − 6Y 2 + 7XY ) ·
7.
Niech X i Y bȩda̧ dwiema zmiennymi losowymi o ła̧cznej gȩstości f (x, y) = 4xy, dla 0 < x <
1, 0 < y < 1 i zero poza tym zbiorem.
1. Wyznacz E(X) , E(X 2 ) , E(Y ) , E(Y 2 ) i E(XY ) ·
2. Wyznacz współczynnik korelacji miȩdzy X i Y .
3. Wyznacz E(3Y − 2X 2 + 6XY ) ·
8. Niech X i Y bȩda̧ dwiema zmiennymi losowymi o ła̧cznej gȩstości f (x, y) = 6(1 − x − y), dla
x + y < 1, 0 < x, 0 < y i zero poza tym zbiorem. Wyznacz P (2X + 3Y < 1) i E(XY + 2X 2 ) .
9. Niech X i Y bȩda̧ dwiema zmiennymi losowymi o ła̧cznej gȩstości f (x, y) = x + y, dla
0 < x < 1, 0 < y < 1 i zero poza tym zbiorem. Wyznacz warunkowa̧ wartość oczekiwana̧ Y pod
warunkiem X = x.
10. Gȩstość warunkowa zmiennej X pod warunkiem Y = y wyraża siȩ wzorem f (x|y) = c1 yx2
dla 0 < x < y, 0 < y < 1, zero poza tym zbiorem. Poza tym, gȩstość rozkładu brzegowego zmiennej
Y wyraża siȩ wzorem f2 (y) = c2 y 4 dla 0 < y < 1. Wyznacz
1
1. Stałe c1 i c2 .
2. Ła̧czny rozkład X i Y .
3. P (1/4 < X < 1/2|Y = 5/8).
4. P (1/4 < X < 1/2).
2