Algebra liniowa 2014

Algebra liniowa 2014
‚wiczenie 7. Przestrze« wektorowa.
1. Sprawd¹, czy (W, R, +, ·) jest przestrzeni¡ wektorow¡, je±li:
1 a
(a) W =
: a, b, c ∈ R ,
b c
0 a
(b) W =
: a, b, c ∈ R .
b c
(c) W = x ∈ R2 : x = [2t, t + 1]T , t ∈ R ,
(d) W = x ∈ R2 : x = [2t, t]T , t ∈ R ,
(e) W zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia 5,
(f) W = R[x]5 (zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia co najwy»ej 5),
(g) W zbiór wielomianów rzeczywistych stopnia 0.
2. Niech V przestrze« wektorowa. Czy v jest kombinacj¡ liniow¡ wektorów:
(a) V = R4 , v = [1, −1, 1, 1]T , v1 = [−1, 1, 1, 3]T , v2 = [2, 1, −1, 2]T ,
(b) V = R3 , v = [1, 2, −1]T , v1 = [1, −1, 0]T , v2 = [2, 1, 3]T , v3 = [−1, 0, 1]T ,
(c) V = R[x]3 , v = x3 + x + 1, v1 = x2 − 1, v2 = x3 + x, v3 = x3 − x2 + 5,
−1 3
−1 1
1 0
2 1
(d) V = M2x2 (R), v =
, v1 =
, v2 =
, v3 =
,
1 5
0 2
−1 1
3 0
3. Czy nast¦puj¡ce wektory s¡ liniowo niezale»ne? Czy tworz¡ baz¦ przestrzeni wektorowej V ?
(a) V = R4 , v1 = [−1, 0, 1, 0]T , v2 = [4, 1, −2, 1]T , v3 = [3, 1, −1, 1]T ,
(b) V = R4 , v1 = [−1, 0, 1, 3]T , v2 = [0, 1, −2, −1]T ,,
(c) V = R4 , v1 = [−1, 3, −1, 1]T , v2 = [2, −2, −1, 1]T , v3 = [−1, 1, 2, −1]T , v4 = [−2, −1, 1, −1]T .
4. Dla jakiej warto±ci parametru m wektory: v1 = [3, 2, m]T , v2 = [2, 0, 1]T , v3 = [2, 1, 1 − m]T s¡ liniowo zale»ne?
5. Sprawd¹, »e wektory: v1 = [1, 1, 1]T , v2 = [1, 2, 3]T , v3 = [1, 4, 9]T tworz¡ baz¦ R3 . Wyznacz wspóªrz¦dne wektora
[3, 7, 13] w tej bazie.
6. 
Wyznacz baz¦ i wymiar przestrzeni rozwi¡za« równania jednorodnego:

x 1 + x 2 + x 4 − x 5 = 0
.
2x1 + x3 = 0


−x1 + x2 − x3 + x4 − x5 = 0
7. Wyznacz wymiar i baz¦ przestrzeni liniowej V = [x1 , x2 , x3 , x4 ]T ∈ R4 : x1 + x2 + x3 = 0, x2 + x3 + x4 = 0 .
8. Niech W podprzestrzeni¡ V. Wyznacz wymiar i baz¦ podprzestrzeni W , je»eli:
(a) V = R4 , W = lin(v1 , v2 , v3 , v4 ), v1 = [1, 1, 0, −1]T , v2 = [0, 0, 1, 0]T , v3 = [2, 2, 1, −2]T , v4 = [1, 1, 2, −1]T ,
(b) V = R3 , W = lin(v1 , v2 , v3 ), v1 = [1, 2, 1]T , v2 = [−1, 2, 0]T , v3 = [1, 0, −1]T .
9. Czy nast¦puj¡ce przeksztaªcenie jest liniowe? Je±li tak, wyznacz macierz tego przeksztaªcenia w bazie kanonicznej:
(a) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = [x21 + x2 , x2 + x3 , 2x1 − x2 + x3 ]T ,
(b) f : R4 → R2 , f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = [2x1 − x2 + x3 , x2 + 5x4 ]T .
10. Niech [1, 0, 0, 0]T , [1, 1, 0, 0]T , [1, 1, 1, 0]T , [1, 1, 1, 1]T b¦dzie baz¡ przestrzeni R4 a [1, 0]T , [1, 1]T baz¡ R2 . Wyznacz macierz przeksztaªcenia liniowego f : R4 → R2 w tych bazach, je±li:
(a) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = [2x1 − x2 + x3 , x2 + 5x4 ]T ,
(b) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = [−x3 + x4 , x1 − x2 + x4 ]T .
11. Wyznacz dimKerf oraz dimImf dla
 przeksztaªcenia liniowego:

x1 − x2 + x3 − x5
.
x2 − x4 + x5
f : R5 → R3 , f (x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ) = 
x1 + x2 + x3 − 2x4 + x5
12. Wyznacz Kerf je±li:

x1 − x2 + x4
f : R → R , f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 + 2x3 − x4 .
x1 − x2 + x3
4
3
Ostatnia modykacja: 11.12.2014
