Wersja do wydruku - Wydawnictwa PTM

Komentarze

Transkrypt

Wersja do wydruku - Wydawnictwa PTM
108
Laureaci nagród
[2] A primer on Seshadri constants, Interactions of classical and numerical algebraic geometry, Contemp. Math., vol. 496, Amer. Math. Soc., Providence,
RI, 2009, 33–70 (współautorzy: T. Bauer, S. Di Rocco, B. Harbourne, A.
Knutsen, W. Syzdek, T. Szemberg).
[3] Primitive contractions of Calabi-Yau threefolds. I, Comm. Algebra 37 (2009),
no. 2, 482–502 (współautor: G. Kapustka).
[4] Equations of log del Pezzo surfaces of index ¬ 2, Math. Z. 261 (2009), no. 1,
169–188 (współautor: G. Kapustka).
[5] Correspondences between modular Calabi–Yau fiber products, Manuscripta
Math. 130 (2009), no. 1, 121–135.
[6] Fiber products of elliptic surfaces with section and associated Kummer
fibrations, Internat. J. Math. 20 (2009), no. 4, 401–426 (współautor: G.
Kapustka).
Cytowane prace innych autorów
[7] P. Candelas, G. T. Horowitz, A. Strominger, E. Witten, Vacuum configurations for superstrings, Nuclear Phys. B 258 (1985), no. 1, 46–74.
Sławomir Solecki
laureat Nagrody IM PAN
Laureatem drugiej edycji Nagrody Instytutu Matematycznego PAN (w 2010 roku) za wybitne osiągnięcia
naukowe został Sławomir Solecki z Uniwersytetu Illinois w Urbana-Champaign za „prace z teorii mnogości
dotyczące zastosowań deskryptywnej teorii mnogości
w topologii i analizie”.
Sławomir Solecki jest wychowankiem Uniwersytetu
Wrocławskiego (magisterium uzyskał w 1989 roku pod
kierunkiem J. J. Charatonika) i Kalifornijskiego Instytutu Technologii
(doktorat napisał w 1995 roku pod kierunkiem A. S. Kechrisa). Od czasu
studiów we Wrocławiu jego zainteresowania naukowe są skoncentrowane
wokół tradycyjnie polskiej tematyki: opisowej teorii mnogości i jej powiązań z teorią funkcji rzeczywistych, teorią miary, topologią i kombinatoryką. Jego rozprawa doktorska o Zastosowaniach opisowej teorii mnogości
w topologii i analizie była wyróżniona nagrodą Sacksa przez Association
for Symbolic Logic (ASL), przyznaną za „zdumiewające wyniki łączące
współczesną opisową teorię mnogości z innymi dziedzinami matematyki,
c 2011 Polskie Towarzystwo Matematyczne
Laureaci nagród
109
takimi jak teoria ergodyczna czy analiza harmoniczna”. Badania naukowe
laureata od 1998 roku są stale finansowane przez amerykańską Narodową
Fundację Nauki (National Science Foundation). Wyniki tych badań były
opublikowane w ponad 50 artykułach naukowych i prezentowane na
rozlicznych konferencjach (Solecki był m.in. zaproszonym prelegentem
na konferencjach ASL w latach 2004 i 2010 oraz europejskim Logic
Colloquium w latach 1997 i 2004).
Sławomir Solecki jest członkiem komitetu redakcyjnego czasopisma
Fundamenta Mathematicae, był też redaktorem czasopism Folia Mathematica i Bulletin of Symbolic Logic.
Osiągnięcia naukowe laureata dotyczą dość rozległej tematyki i trudno jest je w pełni przedstawić w krótkiej notce. Ponieważ wyniki te
związane są z kilkoma dziedzinami matematyki, wybór najciekawszych
uzależniony jest od zainteresowań osoby, która go dokonuje. Poniżej
przedstawiamy parę osiągnięć Soleckiego, nie twierdząc wszakże, że
każdy matematyk uznałby akurat te wyniki za najważniejsze.
Szereg prac Soleckiego dotyczy pojęć zbiorów „małych”: ideałów
i σ-ideałów podzbiorów pewnej przestrzeni X. Przypomnijmy, że rodzina
I podzbiorów zbioru X jest ideałem na X, jeśli spełnione są następujące
warunki:
– ∅ ∈ I, X ∈
/ I,
– jeśli A ⊆ B ∈ I, to A ∈ I, oraz
– jeśli A, B ∈ I, to również A ∪ B ∈ I.
Wzmacniając ostatni warunek do postaci
S
– jeśli A0 , A1 , A2 , . . . ∈ I, to również ∞
i=0 Ai ∈ I,
otrzymamy definicję σ-ideału podzbiorów X.
Rozważając ideały podzbiorów zbioru liczb naturalnych N, możemy utożsamić zbiory A ⊆ N z ich funkcjami charakterystycznymi
χA ∈ {0, 1}N. Wówczas ideał I na N jest traktowany jako podzbiór
przestrzeni Cantora {0, 1}N i możemy w naturalny sposób mówić o ideałach analitycznych na N. Zadziwiającym wynikiem przedstawionym
w pracach [6,7] jest twierdzenie, że dla ideału I na N następujące warunki
są równoważne:
– na grupie (I, M) (gdzie M oznacza operację różnicy symetrycznej zbiorów) można wprowadzić topologię polskiej grupy topologicznej, w której zbiory borelowskie zgadzają się z borelowskimi podzbiorami I
względem topologii oddziedziczonej z {0, 1}N,
– I jest p-ideałem analitycznym,
110
Laureaci nagród
– dla pewnej skończonej półciągłej z dołu podmiary ϕ na N mamy
I = X ⊆ N : lim ϕ X \ {0, . . . , m} = 0 .
m→∞
Warto wspomnieć, że artykuły [6, 7] należą do najczęściej cytowanych
prac Soleckiego.
Udowodnienie analogicznego twierdzenia w ogólniejszym kontekście,
gdy {0, 1}N zostaje zastąpione grupą polską, a zamiast ideału rozważamy jej abelową, borelowską podgrupę, wymaga nowych metod. Przede
wszystkim, wyznaczenie polskiej topologii grupowej na podgrupie odbywa
się nie w jednym kroku, jak w przypadku ideałów, ale poprzez pozaskończony proces indukcyjny. Taki proces został wpierw opisany w pracy [8];
później podobne procesy były studiowane w artykule [1], gdzie zostały
rozwiązane także pewne stare problemy Mauldina. Ostatecznie, ogólne
twierdzenie (jeśli borelowska podgrupa abelowa H grupy polskiej G
nie dopuszcza topologii grupy polskiej, to pewna skomplikowana relacja
równoważności, zwana E1 , zanurza się w przestrzeń warstw G/H) zostało
udowodnione w artykule [10].
Badając σ-ideały na przestrzeniach polskich często wykorzystujemy
założenie (lub własność, zależnie od kontekstu), że rozważany ideał ma
bazę złożoną z „ładnych” (na przykład borelowskich) zbiorów. Możemy
tę sytuację trochę odwrócić i zacząć od rodziny pewnych „ładnych”
zbiorów i rozważać σ-ideał podzbiorów przestrzeni polskiej X generowany
przez naszą rodzinę. Następujące twierdzenie jest głównym wynikiem
pracy [5]. Niech I będzie dowolną rodziną domkniętych podzbiorów
pewnej przestrzeni polskiej X i niech I będzie σ-ideałem podzbiorów X
generowanym przez I. (Tak więc I składa się z tych podzbiorów X, które
można nakryć przeliczalnie wieloma zbiorami z rodziny I.) Wówczas
każdy analityczny zbiór A ⊆ X, który nie należy do σ-ideału I, zawiera
podzbiór typu Gδ nie należący do I. Kilka znanych twierdzeń o zbiorach
analitycznych jest natychmiastową konsekwencją tego wyniku. Idee te
są dalej rozwijane w pracy [4], gdzie między innymi przedstawiona jest
charakteryzacja σ-ideałów, które są generowane przez zbiory typu Fσ
i które mają własność ccc. (Okazuje się, że wszystkie takie ideały są
prostymi modyfikacjami ideału zbiorów pierwszej kategorii.)
Powiemy, że grupa topologiczna G ma własność f.p.c (fixed point on
compacta), jeśli każde ciągłe działanie grupy G na zwartej przestrzeni
Hausdorffa X ma punkt stały. Własność f.p.c., która jest silniejsza niż
pojęcie grup amenable, jest centralnym obiektem badań w pracy [2]. Odpowiadając na pytanie Pestova, praca ta przedstawia nową konstrukcję
Laureaci nagród
111
grupy polskiej z własnością f.p.c. i posiadającej wstępujący ciąg podgrup
zwartych z gęsta sumą, ale bez koncentracji miary. Z technicznego
punktu widzenia głównym wynikiem tej pracy jest nowe twierdzenie
ramseyowskie, którego dowód używa metod topologii algebraicznej.
Dwie prace traktują o strukturze kontinuów nierozkładalnych, używając metod logiki matematycznej: opisowej teorii mnogości i teorii
modeli. Pierwszy artykuł [9] rozwiązuje stary problem w teorii kontinuów,
rozważając przestrzeń komposant danego kontinuum nierozkładalnego
z punktu widzenia opisowej teorii mnogości, w szczególności stosując
metody rozwinięte w studiowaniu definiowalnych relacji równoważności.
Druga praca [3] rozwija dualną wersję konstrukcji granicy Fraı̈sségo
z teorii modeli i używa jej do przedstawienia pseudołuku jako naturalnej
przestrzeni ilorazowej pewnej takiej granicy. Otrzymuje się w ten sposób
nowe twierdzenia dotyczące homeomorfizmów pseudołuku.
Andrzej Rosłanowski (Omaha)
Wybrane prace laureata
[1] Borel subgroups of Polish groups, Adv. Math. 199 (2006), no. 2, 499–541
(współautor: I. Farah).
[2] Extreme amenability of L0 , a Ramsey theorem, and Lévy groups, J. Funct.
Anal. 255 (2008), no. 2, 471–493 (współautor: I. Farah).
[3] Projective Fraı̈ssé limits and the pseudo-arc, Trans. Amer. Math. Soc. 358
(2006), no. 7, 3077–3096 (współautor: T. Irwin).
[4] Approximation of analytic by Borel sets and definable countable chain
conditions, Israel J. Math. 89 (1995), no. 1-3, 343–356 (współautor: A. S.
Kechris).
[5] Covering analytic sets by families of closed sets, J. Symbolic Logic 59
(1994), no. 3, 1022–1031.
[6] Analytic ideals, Bull. Symbolic Logic 2 (1996), no. 3, 339–348.
[7] Analytic ideals and their applications, Ann. Pure Appl. Logic 99 (1999),
no. 1–3, 51–72.
[8] Polish group topologies, Sets and proofs (Leeds, 1997), London Math. Soc.
Lecture Note Ser., vol. 258, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1999,
339–364.
[9] The space of composants of an indecomposable continuum, Adv. Math. 166
(2002), no. 2, 149–192.
[10] The coset equivalence relation and topologies on subgroups, Amer. J. Math.
131 (2009), no. 3, 571–605.
c 2011 Polskie Towarzystwo Matematyczne

Podobne dokumenty