Projekt nr 2. Stan naprężenia w punkcie. Prawo Hooke`a. a

Projekt nr 2. Stan naprężenia w punkcie. Prawo Hooke’a.
a) przypadek 3D (trójwymiarowy stan naprężenia)
b) przypadek 2D (płaski stan naprężenia)
Celem ćwiczenia jest opanowanie podstawowych pojęć i algorytmów, oraz ich
wizualizacja.
Szczegółowy zakres podaje się poniżej.
a. Dla zadanej macierzy (tensora) naprężeń w 3D Tσ i pewnej płaszczyzny π o kierunku
wersora normalnej zewnętrznej n należy:
1. Narysować kostkę naprężeń (zgodnie z zasadami rzutu aksonometrycznego, przyjmując
jednolitą skalę dla wszystkich składowych naprężeń)
2. Narysować (w aksonometrii) ślad przecięcia się kostki i płaszczyzny π . Wyznaczyć
(podać współrzędne i długości) i narysować (w skali naprężeń) wektor naprężenia p dla
pł. π oraz jego składowe styczną τ i normalną σn .
3. Znaleźć naprężenia główne (rozwiązanie równania 3-go stopnia metodą Cardano) i
dokonać sprawdzenia wyznaczając niezmienniki przez naprężenia główne
4. Wyznaczyć analitycznie i narysować (w aksonometrii) kierunki działania naprężeń
głównych. Sprawdzić warunek ich ortogonalności. Narysować kostkę naprężeń
obróconą do kierunków głównych (używać tej samej skali co w p. 1 i 2)
5. Wykonać konstrukcję kół Mohra dla wyznaczonych naprężeń głównych (p 1.18
wykładu)
6. Dokonać sprawdzenia rozkładu wektora naprężenia p = τ + σn (z p. 2) metodą
konstrukcyjną (p. 1.18 wykładu) na podstawie kół Mohra
7. Dokonać rozkładu tensora naprężeń na aksjator i dewiator. Wyznaczyć niezmienniki
J2, J3 dewiatora.
8. Wyznaczyć niezmienniki (p,q,θ) (ciśnienie, intensywność, kąt Lode’go) i narysować je
w przestrzeni naprężeń głównych.
9. Wyznaczyć tensor odkształceń, zakładając że naprężenia dane są w MPa oraz
przyjmując wartości modułów E i ν jak dla stali.
10. Wyznaczyć odkształcenie liniowe wzdłuż kierunku n
b. Mając daną macierz naprężeń Tσ dla płaskiego stanu naprężeń należy:
1. Wyznaczyć naprężenia i kierunki główne analitycznie
2. Narysować kostkę naprężeń (w skali) w początkowym układzie współrzędnych i w
kierunkach głównych
3. Wyznaczyć naprężenia główne graficznie (koło Mohra 2D)
4. Wyznaczyć tensor odkształceń, zakładając że naprężenia dane są w kPa oraz przyjmując
wartości modułów E i ν jak dla betonu B30.
Uwagi:
1. Dane wg tabeli poniżej
2. Wykonując stosowne rysunki należy używać linijki z podziałką mm i cyrkla.
3. Ich skale należy dobrać tak by a) mieściły się na formacie A4 b) były czytelne bez
użycia lupy
4. Obliczenia wykonywać z dokładnością 3±5 cyfr znaczących (nie mylić z ilością
miejsc po przecinku.
5. Nieprzekraczalny termin oddania projektu zostanie podany na zajęciach po
omówieniu jego tematyki.
Do roboty!
Michał Grodecki
Grupa 2
Wektor normalny do
płaszczyzny
Macierz naprężenia 3D
L.P
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
Imię
Joanna
Magdalena
Agnieszka
Milena
Anna
Maciej
Miłosz
Maciej
Paweł
Piotr
Jakub
Paweł
Tomasz
Szymon
Krzysztof
Karolina
Kamil
Sebastian
Dawid
Marcin
Maciej
Sebastian
Borys
Joachim
Tomasz
Nazwisko
Mirek
Kulesa
Nowacka
Mikus
Onak
Kulig
Olszówka
Olejarz
Ordys
Madej
Łapczyński
Kula
Łączek
Lalewicz
Kułakowski
Żmuda
Warzecha
Walanowski
Wittek
Mendel
Madej
Pakuła
Mryczko
Obryk
Wacławik
σxx
-20
130
-50
110
80
-60
-50
110
70
-50
-80
-60
-100
-20
60
30
-120
90
-40
50
-130
110
40
-10
-10
σyy
100
40
90
30
50
85
90
30
50
90
-40
50
65
95
55
-60
55
-40
95
60
50
-30
65
90
95
σzz
30
-50
40
-40
-25
45
40
-40
20
15
55
-15
65
25
-30
5
75
-30
35
-6
-82
-40
-10
25
25
σxy
35
5
25
20
30
20
25
15
55
50
10
40
10
50
35
60
-10
25
30
50
-20
15
30
45
40
σxz
50
-30
40
-20
-5
35
40
-20
30
35
25
5
15
45
0
25
5
-10
45
15
-5
-20
10
40
45
σyz
15
-25
-15
-10
0
-20
-15
-10
35
30
-15
60
-5
20
55
40
-40
-5
10
50
-30
-15
55
25
25
X
σxx
Ζ
Y
1
2
3
4
5
2
3
4
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
Macierz naprężenia 2D
3
4
2
3
-2
7
8
1
-5
1
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
4
-2
-1
4
5
3
3
4
5
2
4
-4
-5
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
-2
10
20
40
30
20
20
40
30
-80
10
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-110
-120
-70
-80
-90
-100
-110
-120
-90
σyy
-50
-60
-120
10
-90
-110
-120
10
-80
-90
10
20
40
30
20
-80
-90
-100
-110
-120
-70
-80
-80
-90
-80
σxy
5
10
-5
-10
25
25
-5
-10
5
20
5
10
15
20
25
-5
-10
-15
-20
-25
5
10
15
20
-15