Naprężenia w ośrodku gruntowym

Naprężenia w ośrodku gruntowym
•
•
•
•
•
•
Naprężenia geostatyczne (pierwotne, bytowe)
Wpływ wody gruntowej na naprężenia pierwotne
Naprężenia wywołane siłą skupioną – rozwiązanie Boussinesq’a
Naprężenia pochodzące od obciążenia równomiernie rozłożonego
Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim
Osiadania fundamentu bezpośredniego
Naprężenia wywołane ciężarem własnym gruntu (n. geostatyczne)
h
σ hγ = h ⋅ γ
jednorodne podłoże gruntowe
o ciężarze objętościowym γ
wzór ogólny w przypadku podłoża
uwarstwionego:
σ
γ
h
n
= ∑ mi ⋅ γ
i= 1
i
hw
zw.w.g.
h
σ
γ
h
jednorodne podłoże gruntowe
Wpływ wody gruntowej na naprężenia pierwotne
γ
σ hγ = hw ⋅ γ + ( h − hw )⋅ γ '
γ’
Naprężenia wywołane ciężarem własnym gruntu (n. geostatyczne)
Podziałka głębokości:
D
Podziałka naprężeń:
γ1
1m
20 kPa
h
z=0
γ1
z
m1
zwg
γ2
'
σ
γ
D
= D⋅ γ1
m2
z=0
γ3
'
m3
z=0
γ4
'
m4
σ hr = D ⋅ γ1 + m1 ⋅ γ 1 + ( z − m1 ) ⋅ γ2'
Osiadanie terenu wywołane obniżeniem poziomu wód podziemnych
Związek pomiędzy osiadaniem terenu a poziomem wody gruntowej na terenie Santa Clara
Valley, Kalifornia.
Źródło: Environmental Geology. Bennett M. R., Doyle P, John Willey & Sons, 1997
Osiadanie terenu w latach 1934–1960 na terenie Santa Clara Valley, Kalifornia.
Źródło: Groundwater. Freeze A. R., Cherry A. J. Prentice Hall, 1979
Depth to Groundwater and Land Subsidence
As water was pumped from the ground, the land surface
above slowly sank. The blue graph shows changes in
groundwater levels in a downtown San Jose monitoring
well from 1915 to 1999. The brown line above shows
corresponding changes in land elevation, at an exaggerated
vertical scale. Modified from Ingebritsen and Jones, USGS
Circular 1182 (1999).
Joseph F. Poland of U.S. Geological
Survey stands near bench mark
S661 southwest of Mendota in
the San Joaquin Valley, California.
The bench mark site subsided 9m
from 1925 to 1977, because
of intensive withdrawal of ground
water. Signs on the power pole
indicate the respective
positions of the land surface in
1925, 1955, and 1977.
Naprężenia pionowe w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą
skupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885)
Założenia:
1.
Ośrodek gruntowy jest jednorodny i izotropowy (tzn. działanie jednakowych naprężeń w
dowolnym kierunku powoduje jednakowe odkształcenia
2.
Grunt jest materiałem sprężystym, tzn. podlega prawu Hooke’a
3.
Naprężenia rozchodzą się promieniście od punktu przyłożenia siły
4.
Nie uwzględnia się ciężaru własnego gruntu
5.
Obowiązuje zasada superpozycji
6.
Pionowo działające siła powoduje obniżenie się półkuli o dowolnym promieniu ze środkiem w
punkcie zaczepienia siły o jednakową wartość „S” Q
z
Ćwiczenia !!
Naprężenia radialne w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą skupioną
- rozwiązanie Boussinesq’a (1885)
R=σRA
Q
A
A’
r
α
z
R
R
σr
σz
M
σr=
3Q
cos α
2π R 2
α
A
= cosα
A'
Z=Rcosα
A’
Z R cosα R cos 2 α
σ z= =
=
= σ r cos 2 α
A
A'
A
cosα
Naprężenia pionowe w półprzestrzeni gruntowej obciążonej siłą
skupioną - rozwiązanie Boussinesq’a (1885)
Schemat obciążenia podłoża
Wzory:
σ z=
3Q
cos3 α
2
2π R
σ z=
3Q
cos5 α
2
2π z
Q
r
α
3Qz 3
σ z=
2π R 5
R
z
σz
M
σ
Podstawowe zależności:
z
R
cos α =
R=
z + r
2
z
3Qz 3
=
2π ( z 2 + r 2 )5 / 2
σ z=
2
3Q

2
2π z  1 +

 r
 
 z
2 5/ 2



Graficzna ilustracja naprężeń
Izobary naprężeń radialnych i naprężeń pionowych
Q
-0.50
-1.00
-1.50
-2.00
-2.50
Naprężenia pionowe
-3.00
-2.00
Naprężenia radialne
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
Graficzna ilustracja naprężeń
Izobary naprężeń pionowych – konstrukcja graficzna
-
Q
500
1000
2000
-0.50
2000
-1.00
1500
1000
-1.50
-2.00
500
-2.50
-3.00
-2.00
-1.50
-1.00
-0.50
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
Graficzna ilustracja naprężeń
Rozkład naprężeń na różnych głębokościach
Krzywa zanikania naprężeń
Q
σz
z1
z2
z3
z
Graficzna ilustracja naprężeń
Rozkład naprężeń wzdłuż prostej a, równoległej do kierunku działania siły Q
r
Q
a
σz
z1
z2
z3
z
Zadanie
Biorąc pod uwagę rozkład naprężeń pionowych wzdłuż prostej a wyznaczyć analitycznie
głębokość zm, na której wartość naprężenia jest największa.
r
Q
z1
a
σzmax
zm
z2
z3
z
Rozwiązanie zadania można
przysłać na mój adres do
wtorku, godz. 24.00
Zasada superpozycji (Bolzmana) - sumowania naprężeń
Jeżeli siła Q1, powoduje w określonym miejscu ośrodka gruntowego naprężenie σ1, zaś siła Q2
wywołuje w tym samym miejscu naprężenie σ2, to całkowite naprężenie w tym punkcie ośrodka jest
sumą naprężeń wywołanych przez każdą z sił z osobna.
Q1
Q2
r1 = 3.0 m
r2 = 4.0 m
z = 3.0 m
M
Przykład obliczenia naprężenia:
z ( Q1 ) + σ
σ
M
z
=σ
σ
M
z
5
3Q   3 
=

 +
2π 32   18 
z ( Q2 )
(
3Q
=
cos5 α 1 + cos5 α
2
2π z



3

5
5
2
)

3Q  
=
2π z 2  

5
 
 +
2
2 
z + r1  
z
 Q
=
( 0.177 + 0.078 ) = 0.0135Q [ kPa]
 6π



2
2 
z + r2 
z
5





Zamiana obciążenia równomiernie rozłożonego na zastępcze siły
skupione
q
Qi = q ⋅ ∆ B ⋅ ∆ L
ΔB
Naprężenie pionowe wywołane
pojedynczą siłą zastępczą wynosi:
ΔL
L
σ
zi
Qi
ri
=
3Qi

2
2π z  1 +

2 5/ 2
 ri  
  
 z  
Ri
B
z
σzi
M
Całkowite naprężenie pionowe stanowi sumę naprężeń od
wszystkich sił zastępczych (zasada superpozycji)
σ z=
n
∑
i= 1
σ
zi
=

3Qi
⋅
1+
2 ∑ 
2π z i = 1 
n
2 5/ 2
 ri  
  
 z  
Wyznaczenie naprężenia pionowego σz od obciążenia ciągłego q za
pomocą elementarnych sił skupionych
q
y
B
dQ = q
dx
L
y
Naprężenie pionowe wywołane przez elementarną siłę
skupioną (q):
dy
r
dσ z =
x
x
M
dσ
z
z
R
3dQ
  r  2
2
2π z  1 +   
  z  
5/ 2
=
3q
x2 + y2 
2
2π z  1 +
z 2 

Całkowite naprężenie pionowe stanowi sumę naprężeń od wszystkich elementarnych sił
zastępczych (zasada superpozycji):
σ z=
L
B
∫ ∫
0
0
3q

x + y
2π z 2  1 +
z2

2
2



5/ 2
dxdy
5/ 2
Metoda punktów narożnych (Steinbrenner, 1936)
W przypadku gdy rozpatrywany punkt M znajduje się pod narożnikiem obciążającej powierzchni
prostokątnej naprężenie pionowe w tym punkcie oblicza się ze wzoru:
σ z = q⋅η n
gdzie:


1 
ηn =
 arctg
2π 
z

1+ 

B


L
B
2
L  z 
 + 
B  B
2
+


⋅
2
2 
 L  z 
1+   +    1+
 B  B 
L z
⋅
B B
1
 z
 
 B
2
+
1
2
 L 
  +
 B 



2 
z  
 
B   
Nomogram do wyznaczania współczynnika ηn
ηn
0,000
0,050
0,100
0,150
0,200
0,250
0
1
2
3
4
L/B = 1
z/B
L/B = 1.5
5
L/B = 2
L/B = 3
6
L/B = 5
7
8
9
10
autor: Seweryn Szlachcic
Metoda punktów środkowych (Newmark i Polszin, 1935)
W przypadku gdy rozpatrywany punkt M znajduje się pod geometrycznym środkiem obciążającej
powierzchni prostokątnej naprężenie pionowe w tym punkcie oblicza się ze wzoru:
σ z = q⋅η 0
gdzie:

L

2
B
η 0 =  arctg
2
π 
z
 L
2
1
+
  +

B
 B

 z
4 
 B
2
+



⋅
2

2
 L
 z   1+
1 +   + 4 
 B
 B 
L z
2 ⋅
B B


1
1

+
2
2
2
 z
 L
 z 
4 
  + 4  
 B
 B
 B 







Nomogram do wyznaczania współczynnika η0
η
0,000
0,100
0,200
0,300
0,400
0
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,0
0,5
1,0
1,5
Z/B
2,0
L/B = 1
L/B = 1.5
2,5
L/B = 2
L/B = 3
3,0
L/B = 5
3,5
4,0
4,5
5,0
autor: Seweryn Szlachcic
Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń
pionowych w dowolnym miejscu półprzestrzeni gruntowej (1).
W przypadku, gdy rozpatrywany punkt M leży pod obrysem powierzchni prostokątnej należy podzielić
tak powierzchnię prostokątną, aby punkt ten stanowił naroże nowo utworzonych prostokątów i posłużyć
się następującym schematem:
L
L1
A
L2
B
 L z 
η nMHAB = f  1 , 
 B1 B1 
C
B1
M
H
B
D
B2
G
F
σ z = q ⋅ (η nMHAB + η nMBCD + η nMDEF + η nMFGH )
E
L z 
η nMBCD = f  2 , 
 B1 B1 
 L z 
η nMDEF = f  2 , 
 B2 B2 
 L z 
η nMFGH = f  1 , 
 B2 B2 
Zastosowanie metody punktów narożnych do obliczania naprężeń
pionowych w dowolnym miejscu półprzestrzeni gruntowej (2).
W przypadku, gdy rozpatrywany punkt M leży poza obrysem powierzchni prostokątnej należy
wprowadzić dodatkowe powierzchnie prostokątne w taki sposób, aby punkt ten stanowił naroże nowo
powstałych prostokątów i posłużyć się następującym schematem:
L
L1
H
L2
M
 L z 
η nMFGH = f  1 , 
 B2 B2 
D
B z 
η nMDEF = f  2 , 
 L2 B2 
B1
A
B
C
B2
B
G
F
E
σ z = q ⋅ (η nMFGH + η nMDEF − η nMBAH − η nMDCB )
 L z 
η nMBAH = f  1 , 
 B1 B1 
L z 
η nMDCB = f  2 , 
 B1 B1 
Fundamenty budowli (podział)
FUNDAMENTY BUDOWLI
FUNDAMENTY PŁYTKIE
(bezpośrednie)
•Stopy fundamentowe
•Ławy fundamentowe
•Płyty
•Ruszty
•Skrzynie
FUNDAMENTY GŁĘBOKIE
(pośrednie)
•Pale
•Studnie
•Kesony
Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim
I. Stan przed rozpoczęciem budowy
Podziałka głębokości:
Podziałka naprężeń:
γ1
D
h
z=0
γ1
z
zwg
γ
σ
σhhγ
m1
γ 2'
m2
γ 3'
m3
γ 4'
m4
1m
20 kPa
Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim
II. Stan po wykonaniu wykopu fundamentowego
Podziałka głębokości:
Podziałka naprężeń:
D
z=0
z
zwg
σzs
σzm
m1
m2
m3
m4
1m
20 kPa
Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim
III. Stan po zasypaniu wykopu fundamentowego
Podziałka głębokości:
Podziałka naprężeń:
D
z=0
B
z
zwg
m1
σzs
σzm
m2
m3
m4
1m
20 kPa
Naprężenia pod fundamentem bezpośrednim
IV. Stan po wykonaniu obiektu budowlanego
Q
Podziałka głębokości:
Podziałka naprężeń:
D
q = Q/LB
z=0
B
z
zwg
m1
σzs
σzd
σzm
σzt
m2
m3
m4
1m
20 kPa
Obliczanie osiadania fundamentów
Obliczanie osiadania zaleca się przeprowadzić metodą naprężeń. Osiadanie Si warstwy
należy wyznaczyć jako sumę osiadania wtórnego Si” w zakresie naprężenia wtórnego
σzs, z zastosowaniem modułu ściśliwości wtórnej gruntu M (lub modułu wtórnego
odkształcenia E, w zależności od metody obliczania), oraz osiadania pierwotnego Si’
w zakresie naprężenia dodatkowego σzd, z zastosowaniem modułu ściśliwości
pierwotnej gruntu Mo (lub Eo).
Osiadanie Si warstwy podłoża o miąższości mi oblicza się wg wzorów:
Si = Si' ' + Si'
σ zis ⋅ mi
S =λ
Mi
''
i
σ zid ⋅ mi
S =
M oi
'
i
Si"
– osiadanie wtórne warstwy i, [cm],
S i'
– osiadanie pierwotne warstwy i, [cm],
σ zis ,σ
d
zi
Mi, Moi
– odpowiednio wtórne i dodatkowe naprężenie w podłożu pod fundamentem,
w połowie grubości warstwy, [kPa],
– edometryczny moduł ściśliwości, odpowiednio wtórnej i pierwotnej, ustalony dla
gruntu warstwy i, kPa,
mi – grubość warstwy i, cm,
λ
– współczynnik uwzględniający stopień odprężenia podłoża po wykonaniu
wykopu, którego wartość należy przyjmować:
λ = 0
– gdy czas wznoszenia budowli (od wykonania wykopów fundamentowych do
zakończenia stanu surowego, z montażem urządzeń stanowiących obciążenie stałe)
nie trwa dłużej niż 1 rok,
λ=1
– gdy czas wznoszenia budowli jest dłuższy niż 1 rok.
Warstwy o grubości większej niż połowa szerokości B fundamentu należy dzielić dodatkowo
na części o miąższości nie przekraczającej 0.5B.
Całkowite osiadanie podłoża pod fundamentem bezpośrednim, a zatem osiadanie całej
budowli oblicza się sumując osiadania wszystkich warstw cząstkowych według wzoru:
S=
n
∑
i= 1
Si
gdzie:
i – numer warstwy cząstkowej;
n – ilość warstw,
Si – osiadanie warstwy i–tej.
Q
Podziałka głębokości:
Podziałka naprężeń:
D
q = Q/LB
z=0
B
z
zwg
m1
m2
m3/2
m3/2
σz3s σz3d
S3
m3
m4
1m
20 kPa
Wyznaczenie głębokości podłoża budowlanego (zmax)
Q
Podziałka głębokości:
Podziałka naprężeń:
D
q = Q/LB
z=0
B
z
zwg
m1
0.3σhγ
σhγ
σzd
zmax
m2
m3
wykres naprężeń
pierwotnych
m4
σhγ
0.3σhγ
linia pomocnicza
0.3σhγ
1m
20 kPa
Zadania
4. ZADANIA Z ROZKŁADU NAPRĘŻEŃ W PODŁOŻU GRUNTOWYM
Zad. 4.1. Na jakiej głębokości „z”
naprężenia dodatkowe od nacisku q=100 kPa
przekazywanego przez fundament o szerokości
B=2,0 m zrównają się z naprężeniami
geostatycznymi w podłożu gruntowym. Rozkład η
przyjąć liniowy do głębokości z =3B.
Zad. 4.2. W podłożu gruntowym obniżono zwierciadło
wody gruntowej o 5,0 m. Policzyć wartość
efektywnych naprężeń geostatycznych w gruncie w
punkcie A przed i po obniżeniu zwierciadła wody
gruntowej.
Zad. 4.3. Pod punktami A, B i C, na głębokości z = 5.0m
wyznaczyć wartości pionowych naprężeń dodatkowych
od oddziaływania fundamentów I i II. Naprężenia od
fundamentu I policzyć jak od siły skupionej Q według
wzoru Bussinesq’a. Naprężenia od fundamentu II
policzyć jak pod obszarem prostokątnym obciążonym
obciążeniem q.
Zad. 4.4. W punkcie A, na głębokości z = 5.0m wyznaczyć
wartości naprężeń pionowych od oddziaływania
fundamentów I i II. Obliczenia wykonać metodą punktów
narożnych.
Zadania
ZADANIA Z OSIADAŃ PODŁOŻA GRUNTOWEGO
Zad. 5.1. Który fundament osiądzie więcej? Policzyć wartości osiadań fundamentów. Rozkład η
przyjąć liniowy do głębokości z = 3B.
Zad. 5.2. Policzyć osiadanie warstwy Gπ od
nacisków dodatkowych q przekazywanych
przez fundament. Rozkład η przyjąć liniowy
do głębokości 4B.
Zad. 5.3. Policzyć osiadanie warstwy namułu w wyniku
obniżenia zwierciadła wody gruntowej
o 4.0 m. Przyjąć, że obniżenie wody wykonano na
znacznym obszarze, stąd η = 1 w całej
miąższości namułu.
Zad. 5.4. Jaką szerokość powinna mieć
ława fundamentowa, aby osiadania
podłoża gruntowego nie przekroczyły 20
mm? Obliczenia wykonać metodą
odkształceń jednoosiowych, przyjmując
liniowy rozkład współczynnika η, jak
pokazano na wykresie.
γ=20 kN/m3, Mo = 10 MPa