Krótki przegląd najpopularniejszych modeli ekonometrycznych

Krótki przegląd
najpopularniejszych modeli
ekonometrycznych
Michał Osmoła
„INIME na żywo”
22 marca 2016
Definicje
Niech (Ω, F, P) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną, a T
pewnym zbiorem parametrów.
Procesem stochastycznym nazywamy funkcję:
Taką, że dla każdego tЄT
Jest zmienną losową.
Definicje
Realizacją (trajektorią) procesu stochastycznego nazywamy funkcję:
Szeregiem czasowym nazywamy pewną ustaloną realizację procesu
stochastycznego.
Stacjonarność procesu
stochastycznego
Proces stochastyczny Xt nazywamy procesem stacjonarnym w słabym
sensie (procesem kowariancyjnie stacjonarnym) jeśli:
Biały szum
Białym szumem nazywamy kowariancyjnie stacjonarny proces
stochastyczny εt taki, że:
Stopień zintegrowania procesu
Proces stochastyczny Xt jest zintegrowany w stopniu zerowym, jeżeli jest
procesem kowariancyjnie stacjonarnym.
Proces stochastyczny Xt jest zintegrowany w stopniu pierwszym, jeżeli nie
jest procesem kowariancyjnie stacjonarnym, ale proces ΔXt=Xt-Xt-1 jest
procesem kowariancyjnie stacjonarnym.
Proces stochastyczny Xt jest zintegrowany w stopniu drugim, jeżeli nie jest
procesem zintegrowanym w stopniu zerowym lub pierwszym, ale proces
ΔΔXt=ΔXt-ΔXt-1 jest procesem kowariancyjnie stacjonarnym.
Procesy ARMA(p,q)
Proces stochastyczny Xt nazywamy procesem ARMA(p,q), jeżeli jest
procesem kowariancyjnie stacjonarnym oraz spełnia równanie:
Gdzie proces εt jest białym szumem,
oraz
Procedura Boxa-Jenkinsa

Sprawdzenie stacjonarności szeregu

Sprawdzenie występowania sezonowości i trendu

Ustalenie rzędów opóźnień modelu

Estymacja parametrów modelu

Sprawdzenie założeń modelu
Sezonowość i trend
Sezonowość to okresowy składnik w modelu zależności badanej
cechy od czasu.
Trend to monotoniczny składnik w modelu zależności badanej cechy
od czasu.
Sezonowość najczęściej wykrywa się za pomocą wykresów funkcji
autokorelacji (ACF) i autokorelacji cząstkowej (PACF) lub z
wykorzystaniem analizy spektralnej, potwierdza się ją stosując test
Dickeya-Hasza-Fullera. Detekcja istotnych sezonowości narzuca
konieczność zastosowania modeli SARIMA lub modeli z sezonowymi
zmiennymi zero-jedynkowymi.
W celu detekcji trendu, oryginalny szereg czasowy należy poddać operacji
wygładzenia (wygładzenie wykładnicze, średnia ruchoma, mediana
ruchoma), a następnie porównać dopasowanie modelu pustego i modelu
z trendem do otrzymanego, wygładzonego wykresu (test F).
Sprawdzanie stacjonarności
W celu sprawdzenia stacjonarności rozważanego szeregu czasowego
stosuje się najczęściej jeden z poniższych testów:

Test ADF

Test Phillipsa-Perrona

Test KPSS
W sytuacji odrzucenia hipotezy o stacjonarności szeregu należy wykonać
jego różnicowanie i powtórzyć test. Operację powtarzamy do uzyskania
stacjonarności.
Ustalenie rzędów opóźnień
modelu
Ustalenie rzędów opóźnień w modelu ARMA(p,q) jest najważniejszym
etapem budowy modelu. Przyjęcie zbyt dużych wartości p i q może
doprowadzić do zjawiska overfittingu, zaś przyjęcie zbyt małych wartości
powoduje niedokładne opisanie zaleźności pomiędzy kolejnymi
obserwacjami.
Aby określić odpowiednie rzędy opóźnień można posłużyć się kryteriami
informacyjnymi (AIC, BIC, HQC) lub prześledzić wykresy autokowariancji i
autokowariancji cząstkowej w poszukiwaniu odpowiednich sygnatur.
AIC=2k-2ln(L)
HQC=2k*ln(ln(n))-2ln(L)
BIC=2k*ln(n) -2ln(L)
Źródło: https://en.wikipedia.org/wiki/Box%E2%80%93Jenkins
Estymacja parametrów
modelu
Estymacja parametrów w modelach ARMA dokonywana jest
za pomocą metody największej wiarygodności.
Sprawdzenie założeń modelu



Występowanie efektu ARCH (test Ljung-Boxa dla kwadratów reszt
modelu, test Engle'a)
Niezależność reszt (test Ljung-Boxa, wykresy ACF i PACF dla reszt z
modelu)
Zgodność rozkładu reszt z założeniami (test Jarque-Bera, test
Kołmogorowa-Smirnowa, wykresy kwantylowe)
Modele GARCH(p,q)
W przypadku wykrycia heteroskedastyczności reszt w modelu
ARMA niezbędne jest rozszerzenie modelu o człon odpowiadający
za opisywanie zmian w wariancji analizowanego szeregu.
W tym celu możliwe jest użycie modeli GARCH.
Proces Yt nazywamy procesem GARCH(p,q), gdy spełnia układ równań:
gdzie εt jest białym szumem,
Modele GARCH(p,q) mogą być stosowane nie tylko w kontekscie
rozszerzenia struktury modeli ARMA, ale również mogą służyć
modelowaniu zmienności danego procesu w czasie.
Inne popularne modele
ekonometryczne



Modyfikacje modelu GARCH (NGARCH, IGARCH, EGARCH,
GARCH-in-mean, GJR-GARCH, TGARCH)
Modele VAR (wektorowej autoregresji) i VARMA (wektorowej
autoregresji i średniej ruchomej) – służą do modelowania
skorelowanych szeregów czasowych
Modele VEC (korekty błędem) – służą do opisu reakcji skorelowanych
szeregów czasowych(w przypadku gdy występuje pomiędzy nimi
długookresowa zależność) na wystąpienie odstępstwa od sytuacj
równowagi
Zastosowanie modeli
ARMA-GARCH na rynku Forex
Kurs: EURUSD
Czas: bezpośrednio popublikacji wskaźnika US Nonfarm Payrolls
Częstotliwość próbkowania: 1 sekunda
Stopień integracji
Rzędy opóźnień modeli
ARMA(p,q)
Przeprowadzone testy sugerowały
występowanie efektu ARCH w każdym z
modeli, zdecydowano się na rozszerzenie
struktury modelu o fragment modelujący
heteroskedastyczność – GARCH(1,1). Jako
warunkowy rozkład przyjęto rozkład
t-studenta.
Rzędy opóźnień modeli
ARMA(p,q)-GARCH(1,1)
Przeprowadzone badania wykazały, że
modele klasy ARMA-GARCH z warunkowym
rozkładem t-studenta i niskimi rzędami
opóźnień nie są modelami wystarczającymi
do dobrego opisu zachowania kursu EURUSD
po ogłoszeniu odczytu US Nonfarm Payrolls.
Dziękuję za uwagę
Michał Osmoła
T:784076086
E: [email protected]
Adres:
ul.Cystersów 13A/1,
31-553 Kraków
NIP: 6751504218
REGON: 123131534
KRS: 0000512595