O ruchach Browna i demonie Maxwella

O ruchach Browna i demonie Maxwella
P. F. Góra
Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UJ
3 listopada 2016
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
1 / 17
Odkrycie ruchów Browna
Robert Brown
(1773–1858)
botanik szkocki
While examining the form of these
particles immersed in water, I observed
many of them very evidently in
motion. . . These motions were such as
to satisfy me, after frequently repeated
observations, that they arose neither
from currents in the fluid, nor from its
gradual evaporation [konwekcja], but
belonged to the particle itself.
Brown nie był pierwszy — już przed nim obserwowano mikroskopowe ruchy
czasteczek
˛
organicznych, ale przypisywano je jakiejś sile życiowej.
Brown obserwował ruchy żywych pyłków, obumarłych pyłków i zawiesiny
nieorganicznej.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
2 / 17
Dziwny charakter ruchów Browna
Ruch bardzo nieregularny
Trajektoria w różnych skalach czasowych wyglada
˛ podobnie
Trajektoria nie zależy od historii
Próby opisu w jezyku
˛
predkości
˛
zawiodły.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
3 / 17
Dziwny charakter ruchów Browna
Ruch bardzo nieregularny
Trajektoria w różnych skalach czasowych wyglada
˛ podobnie
Trajektoria nie zależy od historii
Próby opisu w jezyku
˛
predkości
˛
zawiodły.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
3 / 17
Dziwny charakter ruchów Browna
Ruch bardzo nieregularny
Trajektoria w różnych skalach czasowych wyglada
˛ podobnie
Trajektoria nie zależy od historii
Próby opisu w jezyku
˛
predkości
˛
zawiodły.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
3 / 17
Dziwny charakter ruchów Browna
Ruch bardzo nieregularny
Trajektoria w różnych skalach czasowych wyglada
˛ podobnie
Trajektoria nie zależy od historii
Próby opisu w jezyku
˛
predkości
˛
zawiodły.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
3 / 17
Dwie prace, które wszystko wyjaśniły
Albert Einstein
(1879–1955)
Marian
Smoluchowski
(1872–1917)
P. F. Góra (WFAIS UJ)
A. Einstein, Über die von der
molekularkinetischen Theorie der
Wärme geforderte Bewegung von in
ruhenden Flüssigkeiten suspendierten
Teilchen, Ann. Phys. 17, 549–560
(1905).
M. von Smoluchowski, Zur kinetischen
Theorie der Brownschen
Molekularbewegung und der
Suspensionen, Ann. Phys. 21,
756–780 (1906).
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
4 / 17
Szum proteza˛ niewiedzy
Dla układu makroskopowego ∼ 1023 równań ruchu — niemożliwe do
rozwiazania.
˛
Proces stochastyczny (szum) proteza˛ naszej niewiedzy.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
5 / 17
Mechanizm mikroskopowy
Ruch wywołany jest zderzeniami z czasteczkami
˛
rozpuszczalnika
— ruchy Browna sa˛ obserwowalna˛ manifestacja˛ ruchów cieplnych
Pomiedzy
˛
każdymi kolejnymi zarejstrowanymi położeniami
nastapiło bardzo wiele zderzeń elementarnych
Proces zderzeń można (w dobrym przybliżeniu) opisywać jako
ciagły
˛ w czasie
Trajektorie nie sa˛ różniczkowalne w żadnym punkcie
Heurystyczne wyprowadzenie równania dyfuzji
Zwiazek
˛
pomiedzy
˛
lepkościa˛ (oporami ruchu) a zaburzeniami
stochastycznymi (twierdzenie fluktuacyjno-dysypacyjne)
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
6 / 17
Najprostszy model
Zwykła dyfuzja: Układ skacze z jednakowym prawdopodobieństwem w
lewo lub w prawo z ustalonym krokiem czasowym (co każde cykniecie
˛
zegara)
1
1
1
1
1
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0
0
-4
-3
-2
-1
P. F. Góra (WFAIS UJ)
0
1
2
3
4
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
0
-4
-3
-2
-1
0
1
O ruchach Browna i demonie Maxwella
2
3
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
3 listopada 2016
7 / 17
Biały szum gaussowski
1
0.5
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
P. F. Góra (WFAIS UJ)
64
128
192
O ruchach Browna i demonie Maxwella
256
3 listopada 2016
8 / 17
Procesy stochastyczne dzisiaj
Teoria procesów stochastycznych ważnym działem matematyki.
Metoda Monte Carlo: Procesy stochastyczne jako narz˛edzie
modelowania zjawisk
I
I
I
I
fizycznych i chemicznych,
technicznych,
biologicznych i ekologicznych,
społecznych i ekonomicznych.
Nie w pełni poznana jest rola, charakter i pochodzenie fluktuacji
nierównowagowych.
W wielu zastosowaniach praktycznych szum przeszkadza — jak pozbyć
sie˛ szkodliwego wpływu szumów?
Szumy moga˛ dawać także efekty konstruktywne i prowadzić do zjawisk
paradoksalnych!
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
9 / 17
Przykład — detekcja sygnału podprogowego
x(t) = A sin(ωt + φ) + σξ(t) , |A| < 1
(
1 x(t) > 1
y (t) =
0 x(t) < 1
Wykrycie takiego sygnału jest możliwe dzieki
˛ rezonansowi
stochastycznemu.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
10 / 17
1
0
4
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0
2
4
6
8
10
12
14
16
1
0
4
2
0
-2
-4
1
0
4
2
0
-2
-4
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
11 / 17
Rekin ma zmysł elektryczny, pozwalajacy
˛ wykryć i zlokalizować fok˛e po biciu jej serca.
Zmysł ten działa na zasadzie rezonansu stochastycznego.
Kinezyna transportuje białko wzdłuż mikrotubuli. Jej “nogi” trafiaja˛ we właściwe
miejsca dzieki
˛ rezonansowi stochastycznemu.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
12 / 17
Demon Maxwella
Czy demon Maxwella, po wyeliminowaniu (zminimalizowaniu) tarcia
itp, narusza II zasade˛ termodynamiki?
Nie, gdyż demon, aby działać, musi usuwać informacje˛
o oberwowanych czastkch
˛
(zasada Landauera).
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
13 / 17
Zebatka
˛
brownowska: Inne przedstawienie demona
Maxwella
Smoluchowski, Feynman, Magnasco, Parrondo, Jarzynski. . .
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
14 / 17
Motory molekularne
Nanotechnologia i biotechnologia opieraja˛ sie˛ na możliwości kontrolowania i
wytwarzania niezwykle małych mechanizmów.
Marzenie: Zbudujmy nanoroboty, które bed
˛ a˛ naprawiać mikrouszkodzenia w
ludzkim ciele “od wewnatrz”.
˛
Wielu marzycieli i projektantów
zapomina, iż na poziomie
molekularnym fluktuacje termiczne
odgrywaja˛ ogromna˛ role.
˛
Na poziomie molekularnym siłe˛
fluktuacji można porównać do siły
huraganu na poziomie makro.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
15 / 17
Motory molekularne (c.d.)
A jednak natura jakoś sobie z tym radzi. . .
Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorów molekularnych sa˛
z˛ebratki brownowskie!
Np. kinezyny, pompy molekularne itp.
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
16 / 17
Motory molekularne (c.d.)
A jednak natura jakoś sobie z tym radzi. . .
Bardzo dobrym modelem działania wielu naturalnych motorów molekularnych sa˛
z˛ebratki brownowskie!
Np. kinezyny, pompy molekularne itp.
R. Dean Astumian, Making Molecules Into Motors, Sci. Am., July 2001, 51
Prace˛ motoru molekularnego można porównać do wpychania samochodu pod góre˛
w czasie huraganu, bez użycia silnika
1
Samochód ma koła zablokowane cegła,
˛ która˛ mocno dociskamy do podłoża
2
Czekamy aż wiatr popchnie samochód pod góre˛
3
Szybko przesuwamy cegłe˛
4
GOTO 1
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
16 / 17
Ujemna ruchliwość
Co jest potrzebne do zrealizowania ujemnej ruchliwości?
“Pułapki” na czastki
˛
(→ asymetria)
Dyfuzja (→ ruchy Browna)
Duża siła działa w prawo — wie˛
kszość czasteczek
˛
nie zdaży
˛ dyfuzyjnie uciec do wyjścia — zostaja˛ uwie˛
zione
Przełaczamy
˛
siłe˛ — słabsza siła
działa w lewo — wiekszość
˛
czaste˛
czek zdoła uciec na lewo
Niewielkie zmiany w parametrach czasteczek
˛
(masa, lepkość) moga˛
spowodować, iż niektóre bed
˛ a˛ wykazywać ruchliwość dodatnia,
˛ inne ujemna˛
— orzechy brazylijskie!
P. F. Góra (WFAIS UJ)
O ruchach Browna i demonie Maxwella
3 listopada 2016
17 / 17