Ciąg arytmetyczny i geometryczny ( )

Ciąg arytmetyczny i geometryczny
Zad. 1:
Ciąg (a n) jest opisany wzorem a n = 5 + (n – 1)(k – k2), gdzie k jest parametrem.
a) WykaŜ, Ŝe (a n) jest ciągiem arytmetycznym. Dla jakich wartości parametru k ciąg ten jest
malejący?
b) Dla k = 2 oblicz sumę wyrazów ciągu (a n) od dwudziestego do trzydziestego włącznie.
c) Przyjmując, Ŝe liczba wyrazów ciągu (a n) jest równa 100 i k = 21 , oblicz, dla jakiej wartości m stosunek wyrazu stojącego na miejscu m licząc od początku do wyrazu stojącego na
30
.
miejscu m licząc od końca tego ciągu jest równa 109
Odp.: a) k ∈ (–∞;0) ∪ (1;+∞) (a n = –2n + 7); b) – 473; c) m = 11.
Zad. 2:
Pewien sprinter, biegnący na dystansie 100 m, w pierwszej sekundzie po starcie przebiegł 4
m, a w kaŜdej następnej o 1 m więcej niŜ w poprzedniej. W której sekundzie po starcie przekroczył on linię mety?
Odp.: W dwunastej.
Zad. 3:
a) Znajdź wartość x, dla której wyraŜenia log 4 x , 1 + log 4 x, 21 + log 4 x 3 są odpowiednio
pierwszym, drugim i trzecim wyrazem nieskończonego ciągu arytmetycznego. Ile początkowych wyrazów tego ciągu daje w sumie 105?
*b) Udowodnij, Ŝe jeŜeli k, m, n, x są liczbami dodatnimi i róŜnymi od jedności, a log k x,
log m
log mx, log nx są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, to n 2 = ( k ⋅ n) k .
Odp.: a) x = 4, n =12.
Zad. 4:
Pierwszy wyraz pewnego nieskończonego ciągu arytmetycznego jest największą liczbą
ujemną spełniającą nierówność log 1 ( x 2 − 2) − log 1 ( 3 − x) + 1 ≤ 0 , a trzeci wyraz tego ciągu
2
2
jest najmniejszą liczbą dodatnią spełniającą tę nierówność. Ile początkowych wyrazów tego
ciągu naleŜy dodać, aby otrzymać 95?
Odp.: NaleŜy dodać 10 początkowych wyrazów (a1 = – 4, a3 = 2).
Zad. 5*:
W trójkącie prostokątnym długości wysokości i środkowej, poprowadzonych z wierzchołka
kąta prostego, oraz przeciwprostokątnej tworzą ciąg geometryczny. Iloczyn wyrazów tego
ciągu jest równy 8. Oblicz promień koła wpisanego w ten trójkąt.
Odp.: 6 − 2 .
Zad. 6*:
a) Dla jakich wartości x liczby 1, 2 sin x , cos2x są trzema kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego?
b) Oblicz sumę tych wszystkich wartości x znalezionych w punkcie a), które spełniają nierówność |x – 30π| < 40π.
Odp.: a) x = π6 + kπ lub x = 56 π + kπ , gdzie k ∈ C; b) 4800π.
96
Zad. 7:
Kopano studnię. Za pierwszy metr głębokości zapłacono 200 zł, a za kaŜdy następny o 20 zł
więcej niŜ za poprzedni. Łącznie zapłacono 14700 zł. Jaka jest głębokość studni?
Odp.: 30 m.
Zad. 8:
Kupiono na raty meble za łączną kwotę 4500 zł. Pierwsza rata wynosiła 650 zł, a kaŜda następna była o 50 zł mniejsza od poprzedniej. Ile było rat i ile wyniosła ostatnia rata?
Odp.: Było 12 rat, ostatnia rata wyniosła 100 zł.
Zad. 9:
Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych mniejszych od 500 i podzielnych przez 2 oraz 3.
Odp.: 20916.
Zad. 10:
Dla jakich wartości x liczby log2, log(3x – 3), log(3x + 9) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego? Oblicz róŜnicę tego ciągu.
Odp.: x = 2, r = log3.
Zad. 11:
Dla jakich wartości x liczby log(x – 3), log x, log
2x
tworzą ciąg arytmetyczny?
x−5
Odp.: x = 6.
Zad. 12:
2x
są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
x−5
nieskończonego ciągu arytmetycznego. Oblicz x i czwarty wyraz tego ciągu.
Odp.: x = 6, a4 = log 24.
Liczby log(x – 3), log x, log
Zad. 13:
a) Dla jakich wartości x liczby 9,
2
x
, –2x +1 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego?
4
Oblicz róŜnicę tego ciągu.
*b) Udowodnij, Ŝe jeśli w ciągu arytmetycznym (an) spełniony jest warunek Sm : Sn = m2 : n2,
gdzie Sk oznacza sumę k początkowych wyrazów ciągu, to am : an = (2m – 1) : (2n – 1).
Odp.: a) Dla x = –1 róŜnica ciągu jest równa –5, dla x = 2 róŜnica ciągu jest równa –8,5.
Zad. 14:
Liczby a, b, c są trzema początkowymi wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego.
Liczba b jest całkowitym dodatnim rozwiązaniem nierówności log2(x + 2) < 2, a liczba c jest
rozwiązaniem równania ( 21 ) = 16 . Znajdź pięć początkowych wyrazów i oblicz sumę
dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.
Odp.: a1 = 8, a2 =1, a3 = – 6, a4 = –13, a5 = –20; S10 = – 235 (a = 8, b = 1, c = – 6).
x+ 2
Zad. 15:
Ciąg (an) jest określony wzorem an = 3n – 28.
a) WykaŜ, Ŝe (an) jest ciągiem arytmetycznym, i oblicz sumę wszystkich ujemnych wyrazów
tego ciągu.
97
b) Ile wyrazów tego ciągu naleŜy do przedziału 〈–12;110〉?
c) Dla jakich wartości n wyrazy an, an + 1, an + 2 danego ciągu powiększone odpowiednio o 1, 4
i 19 stanowią kolejne wyrazy pewnego ciągu geometrycznego?
Odp.: a) –117 (an + 1 – an = 3, dziewięć początkowych wyrazów jest ujemnych);
b) Czterdzieści wyrazów, od wyrazu a6 do a45; c) n = 10.
Zad. 16:
Liczby a, b, c, d, róŜne od zera, są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
a) Znajdź iloraz tego ciągu, wiedząc, Ŝe suma drugiego i czwartego wyrazu jest dwa razy od
sumy pierwszego i trzeciego wyrazu.
b) Jakie wartości moŜe przyjmować iloraz tego ciągu, jeśli wyrazy ciągu spełniają warunek
log 1 a + log 1 b > log 1 c + log 1 d ?
2
2
2
2
c) Oblicz a, b, c, d, wiedząc, Ŝe suma trzech początkowych wyrazów ciągu jest równa 26 oraz
Ŝe liczby a + 1, b + 6, c + 3 tworzą ciąg arytmetyczny.
Odp.: a) q = 2; b) q ∈ (1;+∞); c) a = 2, b = 6, c = 18, d = 54 lub a = 18, b = 6, c = 2,
d = 23 .
Zad. 17:
Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 62, a suma ich logarytmów dziesiętnych jest równa 3. Znajdź ten ciąg.
Odp.: 2, 10, 50.
Zad. 18:
Liczba a jest pierwiastkiem równania 2log(2a – 4) – log(9 – a) = 2log3, a liczba b jest warto-
(
)
ścią wyraŜenia 3 5 ( sin 150°− cos120°) . Znajdź taką liczbę x, Ŝe liczby a, x, b są kolejnymi
wyrazami ciągu arytmetycznego, oraz taką liczbę y, Ŝe liczby a, y, b są kolejnymi wyrazami
ciągu geometrycznego.
Odp.: x = 25, y = 15 lub y = –15 (a = 5, b = 45).
2
Zad. 19:
Liczby a, b, c tworzą (w podanej kolejności) ciąg arytmetyczny, a liczby b, c, d - ciąg geometryczny. Suma pierwszej trójki liczb wynosi 12, a drugiej 19. Znajdź liczby a, b, c, d.
Odp.: a = 2, b = 4, c = 6, d = 9 lub a = 18, b = 4, c = –10, d = 25.
Zad. 20:
Trzy liczby, których suma jest równa 18, tworzą ciąg arytmetyczny. JeŜeli pierwszą i drugą
liczbę pozostawimy bez zmian, a trzecią powiększymy o 8, to otrzymamy trzy początkowe
wyrazy pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego malejącego.
a) Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego.
b) Który z wyrazów ciągu geometrycznego wynosi 2 ⋅ 9 – 4?
Odp.: a) 27; b) Jedenasty wyraz.
Zad. 21:
Pewne wyrazy ciągu arytmetycznego (a n) i ciągu geometrycznego (b n) mają następujące własności: a1 + a3 = 12, b1 = a1, b2 = a2 i b3 = a3 + 8. Znajdź:
a) pierwszy wyraz i róŜnicę ciąg arytmetycznego (a n);
b) wzory ogólne ciągów (a n) i (b n);
c) zbiór tych wartości n, dla których a1 + a2 + a3 + … + a n ≤ 800.
98
*d) WykaŜ, Ŝe z ciągu nieskończonego (2 n) nie moŜna wybrać trzech wyrazów tworzących
ciąg arytmetyczny.
Odp.: a) a1 = 2, r = 4 lub a1 = 18, r = –12; b) a n = 4n – 2, b n = 2 ⋅ 3 n – 1 lub a n = –12n +
2
30, b n = n − 3 ; c) n ∈ {1,2,3,…,20}, gdy a n = 4n – 2 lub n ∈ N+, gdy a n = –12n + 30.
3
Zad. 22:
W nieskończonym ciągu arytmetycznym pierwszy wyraz jest pierwiastkiem równania
2x + 1 +4x = 80, a drugi wyraz jest iloczynem podwojonej liczby zdarzeń elementarnych przy
dwukrotnym rzucie kostką przez prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek na obu kostkach nie większej od 4. Ile początkowych wyrazów ciągu naleŜy dodać, aby otrzymać 276?
Odp.: 8 wyrazów (a1 = 3, a2 = 12).
Zad. 23:
Uczeń zaprojektował basen w kształcie prostopadłościanu. Powierzchnia dna i ścian basenu
wynosi 13,1 m2, a jego wymiary, z których najmniejszym jest głębokość basenu, tworzą ciąg
arytmetyczny o róŜnicy 50 cm. Ile metrów sześciennych wody potrzeba do napełnienia tego
basenu?
Odp.: 4,488 m3 (basen ma wymiary 1,7 m × 2,2 m × 0,5 m).
Zad. 24:
Dany jest skończony ciąg kwadratów, których pola powierzchni tworzą ciąg arytmetyczny.
Pole powierzchni pierwszego kwadratu jest równe 12 cm2, a piątego 30 cm2. Ile jest wszystkich kwadratów, jeśli suma ich pól jest równa polu kwadratu o boku 31 cm?
Odp.: 12 kwadratów.
Zad. 25:
RozwiąŜ nierówność log 1
2
3x − 2
6−x
≤ log 1
− 1 . Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniax −1
2
2
jące tę nierówność. Liczby te są początkowymi wyrazami rosnącego ciągu arytmetycznego.
Ile kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu naleŜy dodać, aby otrzymać 90?
Odp.: Dana nierówność jest spełniona dla x ∈ (1;6). Liczby całkowite 2, 3, 4, 5 spełniają tę
nierówność. NaleŜy dodać 12 wyrazów.
Zad. 26:
Suma pierwszego, drugiego i trzeciego wyrazu ciągu geometrycznego (an) jest równa 74 .
Liczby te są odpowiednio czwartym, drugim i pierwszym wyrazem rosnącego ciągu arytmetycznego (bn).
b
a) Znajdź wzór na n-ty wyraz ciągu (cn), gdzie c n = n .
an
b) Zbadaj monotoniczność ciągu (cn).
Odp.: a) a n = ( 21 )
n −1
, b n = 41 n, c n = 81 n ⋅ 2 n . b) Ciąg (cn) jest rosnący.
Zad. 27:
W ciągu arytmetycznym malejącym o wyrazach całkowitych iloczyn wyrazu trzeciego i szóstego jest równy 45, a przy dzieleniu wyrazu drugiego przez piąty otrzymujemy iloraz 2 i
resztę 5.
a) Znajdź ten ciąg.
99
1
1
1
3
.
+
+
=
a1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3 a 3 ⋅ a 4 a1 ⋅ a 4
*c) WykaŜ, Ŝe jeŜeli wszystkie wyrazy ciągu arytmetycznego (an) są róŜne od zera, to speł1
1
1
1
n −1
niona jest równość
.
+
+
+K+
=
a1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3 a 3 ⋅ a 4
a n −1 ⋅ a n a 1 ⋅ a n
1
1
1
3
3
Odp.: a) an = – 4n + 27; b)
.
+
+
=
=
a 1 ⋅ a 2 a 2 ⋅ a 3 a 3 ⋅ a 4 a 1 ⋅ a 4 253
b) Sprawdź, czy dla danego ciągu spełniona jest równość
Zad. 28:
a) W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) czwarty wyraz jest równy 4007, a siódmy
7004. O nieskończonym ciągu geometrycznym (bn) wiadomo, Ŝe jest monotoniczny, jego
trzeci wyraz jest równy 1,25 i suma trzech początkowych wyrazów wynosi 8,75. Z wyrazów
2a n
ciągów (an) i (bn) utworzono nowy ciąg (cn) o wyrazie ogólnym c n =
. Oblicz granin( b n + 1)
cę ciągu (cn).
*b) Oblicz 19992 – 19982 + 19972 – 19962 + … + 32 – 22 + 12.
1998n + 22
n −1
Odp.: a) an = 999n + 11, b n = 5 ⋅ ( 21 ) , c n =
, lim c = 1998 ; b) 1999000.
 10  n→∞ n
n n + 1
2

Zad. 29:
Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, którego róŜnica jest całkowitym
pierwiastkiem równania 3log x = log(2x – 2) + log(x + 2). Jeśli do pierwszej z tych liczb dodamy 1, od drugiej odejmiemy 3 i od trzeciej odejmiemy 6, to otrzymamy trzy początkowe
wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego. Dla jakich n suma n początkowych wyrazów
nieskończonego ciągu geometrycznego róŜni się od sumy wszystkich jego wyrazów o mniej
niŜ 0,01?
Odp.: n ≥ 10 (liczby 3, 5, 7 tworzą ciąg arytmetyczny, ciąg geometryczny ma wzór
a n = 4 ⋅ ( 21 )
n −1
).
Zad. 30: (profil matematyczno-fizyczny)
sin x
Liczby ctg x, 1,
, gdzie x ∈ ( π2 ; π ) , są trzema początkowymi wyrazami nieskończo1 + cos x
nego ciągu arytmetycznego (an). Znajdź ten ciąg. Które wyrazy ciągu (an) spełniają nierów-
(
)(
)
ność a n − 14 − 13 3 a n + 3 ≤ 0 ? Oblicz sumę wyrazów tego ciągu od piętnastego do
dwudziestego piątego włącznie.
(
)
Odp.: a n = 1 + 3 n − 1 − 2 3 . Wyrazy a1 i a15 spełniają daną nierówność.
a 15 + a 16 +K+ a 25 = 198 3 + 209 .
Zad. 31: (profil matematyczno-fizyczny)
Kwadrat największej z czterech róŜnych liczb całkowitych, tworzących ciąg arytmetyczny,
jest równy podwojonej sumie kwadratów pozostałych liczb.
a) Znajdź wszystkie ciągi arytmetyczne spełniające podane warunki.
b) Czy wśród ciągów spełniających podane warunki istnieje ciąg o wszystkich wyrazach dodatnich?
100
*c) Udowodnij, Ŝe jeśli (an) jest ciągiem arytmetycznym o wyrazach dodatnich, to spełniona
1
1
1
n −1
jest równość
+
+K+
=
.
a1 + a 2
a2 + a3
a n −1 + a n
a1 + a n
Odp.: a) Warunki zadania spełniają ciągi rosnące typu (a, 0, – a, –2a) i (a, – 4a, –9a, –14a)
oraz ciągi malejące typu (–2a, – a, 0, a) i (–14a, –9a, – 4a, a), gdzie a jest dowolną liczbą całkowitą ujemną. b) Nie ma.
Zad. 32: (profil matematyczno-fizyczny)
a) W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) czwarty wyraz jest równy 4007, a siódmy
7004. O nieskończonym ciągu geometrycznym (bn) wiadomo, Ŝe jego czwarty wyraz jest
równy 85 i suma czterech początkowych wyrazów wynosi 9 83 . Z wyrazów ciągów (an) i (bn)
2a n
. Oblicz granicę ciągu (cn).
utworzono nowy ciąg (cn) o wyrazie ogólnym c n =
n( b n + 1)
*b) Nieskończony ciąg (d n) jest określony następująco: d1 = a, d2 = b, gdzie a > b > 0, oraz
2
1
1
dla n ≥ 2. WykaŜ, Ŝe lim d n = 0 .
=
+
n →∞
d n d n −1 d n+1
Odp.: a) Patrz odpowiedź do zad. 28a).
Zad. 33:
Pewien turysta przebył pieszo trasę liczącą 600 km. Gdyby, chcąc pokonać tę samą trasę, codziennie szedł o 10 km więcej, byłby w drodze o 5 dni krócej. Ile dni turysta był w drodze?
Odp.: 20 dni.
Zad. 34:
Za trzy ksiąŜki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 76 zł. NajdroŜsza z tych
ksiąŜek kosztowała o 4 zł mniej niŜ dwie pozostałe razem. Ile kosztowała kaŜda z ksiąŜek?
Odp.: 16 zł, 24 zł, 36 zł.
Zad. 35:
Z miast odległych od siebie o 126 kilometrów wyjeŜdŜają jednocześnie naprzeciw siebie dwaj
kolarze. Pierwszy kolarz przebywa w ciągu pierwszej godziny 25 km, a w kaŜdej następnej
godzinie o 4 km mniej niŜ w poprzedniej. Drugi kolarz przebywa w pierwszej godzinie 15
km, a w kaŜdej następnej godzinie o 2 km mniej niŜ w poprzedniej. Po ilu godzinach spotkają
się kolarze i w jakiej odległości od miasta, z którego wyruszył drugi kolarz?
Odp.: Kolarze spotkają się po 4 godzinach 7 minutach i 30 sekundach, w odległości 48,875
km od miasta, z którego wyruszył drugi kolarz.
Zad. 36:
Dany jest ciąg (an) o wzorze ogólnym a n =
4n − 3
.
3n + 1
a) Zbadaj monotoniczność ciągu (an).
b) Siedemnasty i czwarty wyraz ciągu (an) są odpowiednio ósmym i szóstym wyrazem pewnego nieskończonego ciągu arytmetycznego. Ile początkowych wyrazów tego ciągu arytmetycznego daje w sumie 54?
c) Piąty i pierwszy wyraz danego ciągu są odpowiednio pierwszym i drugim wyrazem pewnego nieskończonego ciągu geometrycznego. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu
geometrycznego.
Odp.: a) Ciąg (an) jest rosnący. b) 27 początkowych wyrazów. c) S = 289
208 .
101
Zad. 37:
Dany jest ciąg (an) o wzorze ogólnym a n =
kn
.
n +1
a) Dla k = 3 znajdź granicę ciągu (bn) określonego wzorem b n =
an
3
.
−
an + 3 an + 3
b) Dla jakich wartości k ciąg (an) jest rosnący?
c) Trzeci i dziesiąty wyraz ciągu (an) oraz liczba 11,75, w tej kolejności, tworzą ciąg arytmetyczny. Znajdź k.
Odp.: a) lim b n = 0 ; b) k ∈ (0;+∞); c) k = 11.
n →∞
Zad. 38:
Dla jakich wartości x liczby log2(x + 1), log 2 5x − x 2 , 1 są trzema początkowymi wyrazami
nieskończonego ciągu arytmetycznego? Znajdź wzór ogólny tego ciągu.
Odp.: x = 1 lub x = 2. Dla x = 1 mamy ciąg stały an = 1, dla x = 2 mamy ciąg
a n = ( 21 − 21 log 2 3)n − 21 + 23 log 2 3 .
Zad. 39:
Liczby log
3
9, ( 21 )
−2
( 3) , log ( )
0
+2
1 2
1 16
2
są, w podanej kolejności, trzema początkowymi
wyrazami nieskończonego ciągu arytmetycznego (an). Suma 2n początkowych wyrazów tego
ciągu jest o 60 większa od sumy n początkowych wyrazów. Oblicz n.
Odp.: n = 4.
Zad. 40:
W nieskończonym ciągu arytmetycznym malejącym (an) o wyrazach całkowitych iloczyn
wyrazów trzeciego i dziewiątego jest równy 19, a przy dzieleniu wyrazu drugiego przez szósty otrzymujemy 2 i resztę 2.
a) Znajdź ten ciąg.
b) Sprawdź, czy dla tego ciągu a3 + a8 = a1 + a10.
*c) W skończonym ciągu arytmetycznym rozwaŜmy pary wyrazów: pierwszy i ostatni, drugi i
przedostatni, trzeci i drugi od końca itd. WykaŜ, Ŝe suma wyrazów kaŜdej pary jest taka sama.
Odp.: a) an = –3n + 28. b) RozwaŜana równość jest prawdziwa dla dowolnego ciągu arytmetycznego.
Zad. 41:
Pierwiastki równania 2 + log 1 ( x 2 − 8x) = 0 są drugim i czwartym wyrazem rosnącego ciągu
3
arytmetycznego. Suma ilu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 165?
Odp.: 10 początkowych wyrazów (a2 = –1, a4 = 9).
Zad. 42:
)
Dla jakich wartości x ∈ 0; π2 liczby cos2 x, cos2 x + sin x, cos2 x + 2 sin x są pierwszym,
drugim i trzecim wyrazem nieskończonego ciągu arytmetycznego, w którym suma czterech
początkowych wyrazów jest równa 6?
a) Znajdź wzór ogólny tego ciągu.
b) Oblicz sumę wyrazów ciągu od dziesiątego do dwudziestego włącznie.
102
Odp.: x = π6 ; a ) a n = 21 n + 41 ; b) a 10 + a 11 +K+ a 20 =
341
4
.
Zad. 43:
Drugi wyraz nieskończonego malejącego ciągu geometrycznego jest równy
1
6
, a czwarty wy-
1
24
raz wynosi . Pierwszy wyraz tego ciągu jest pierwszym wyrazem pewnego nieskończonego
ciągu arytmetycznego, a suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego jest równa róŜnicy
ciągu arytmetycznego.
a) Które wyrazy ciągu arytmetycznego są mniejsze od 45?
b) Sprawdź, czy liczba 73 13 jest wyrazem ciągu arytmetycznego.
c) Oblicz sumę tych wyrazów ciągu arytmetycznego, które są liczbami całkowitymi mniejszymi od 45.
Odp.: a) an < 45 dla n < 68
arytmetycznego. c) 484.
(a
n
= 21 ( 2 n − 1) ) ; b) Liczba 73 13 nie jest wyrazem ciągu
Zad. 44:
Suma trzech liczb tworzących ciąg arytmetyczny jest równa
3
4
. Jeśli drugą z tych liczb
3
4
powiększymy sześć razy, a ostatnią zwiększymy o 2 , to liczby te, w podanej kolejności,
utworzą malejący ciąg geometryczny. Z ilu wyrazów powinien składać się ciąg arytmetyczny
o trzech początkowych wyrazach spełniających powyŜsze warunki, aby suma liczb tworzących ten ciąg była mniejsza od –3?
Odp.: Co najmniej z pięciu.
Zad. 45:
Dziewiąty wyraz nieskończonego ciągu arytmetycznego jest równy 2 log 2 4 2 , a dwunasty
4⋅7
wyraz wynosi
3
2
. Ile początkowych wyrazów tego ciągu naleŜy dodać, aby ich suma była
28
równa sumie wszystkich wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie 6 i ilorazie 0,8?
Odp.: 15 początkowych wyrazów.
Zad. 46:
Rosnące ciągi arytmetyczny i geometryczny mają pierwsze wyrazy równe 9. Trzecie wyrazy
tych ciągów takŜe są równe. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o 2 większy od drugiego
wyrazu ciągu geometrycznego. Znajdź te ciągi.
Odp.: Ciąg arytmetyczny moŜna opisać wzorem an = 8n + 1, a ciąg geometryczny
b n = 9 ⋅ ( 53 )
n −1
.
Zad. 47:
a) Dla jakich wartości x liczby x – 2, x, x2 + x – 2 tworzą, w podanej kolejności, ciąg arytmetyczny?
b) Wiedząc, Ŝe x, x – 6, x2 + x + 2 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem
ciągu geometrycznego, zbadaj znak róŜnicy S20 – S19 sum częściowych tego ciągu.
*c) Dla jakich wartości x i y ciąg liczb x + y, x2, y + 2 jest jednocześnie ciągiem arytmetycznym i geometrycznym?
Odp.: a) x = 2 lub x = –2; b) S20 – S19 = a20 = –220 < 0; c) x = y = 2.
103
Zad. 48:
a) Dana jest funkcja f(x) = 4 – 3x. WykaŜ, Ŝe ciąg f(1), f(3), f(5), …, f(2n – 1), …, gdzie
n ∈ N+, jest ciągiem arytmetycznym. Zbadaj monotoniczność tego ciągu.
b) Dobierz współczynniki a i b funkcji f(x) = ax + b tak, aby ciąg f(1), f(3), f(5), …,
f(2n – 1), … był ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie 5 i róŜnicy 4.
*c) Dla jakich wartości x nieskończony ciąg geometryczny o wyrazach 1, (4 – 3x)2, (4 – 3x)4,
(4 – 3x)6, … jest zbieŜny?
Odp.: a) RozwaŜany ciąg jest malejący (pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a róŜnica
wynosi –6). b) a = 2, b = 3. c) x ∈ 1; 53 .
104