Lista 1

Podstawy nauczania matematyki
EE I rok
Lista 1
(elementy logiki)
1. Zdanie
DEFINICJA
W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie
oznajmujące, o którym można powiedzieć, że jest prawdziwe
lub fałszywe.
Zdania z reguły oznaczamy małymi literami. Prawdę oznaczamy przez 1 a fałsz przez 0. Na przykład zdanie „Księżyc
krąży wokół Ziemi” jest prawdziwe, jego wartość logiczna wynosi 1. Z kolei zdanie „Pies ma osiem łap” nie jest
prawdziwe, a jego wartość logiczna wynosi 0. Zdanie może mieć niewiadomą wartość logiczną: może to być wypowiedź
pewnej nie udowodnionej hipotezy. Być może nie da się w ogóle określić jego wartości logicznej.
Nie każde zdanie języka polskiego jest zdaniem w matematyce.
Przykładowo „To zdanie jest fałszywe" nie jest zdaniem logicznym,
gdyż nie jest ani prawdziwe, ani fałszywe - jeśli zdanie „To zdanie
jest fałszywe" jest fałszywe, to prawdziwe jest zdanie „To zdanie jest
prawdziwe", czyli zdanie jest zarówno prawdziwe, jak i fałszywe;
podobnie gdy zdanie „To zdanie jest fałszywe" byłoby prawdziwe.
W tym przypadku problemem nie jest to, że nie potrafimy określić
jego wartości logicznej, lecz to że obie możliwości prowadzą do
sprzeczności.
Proste zdania logiczne można łączyć w bardziej złożone. Można to osiągnąć za pomocą różnych spójników
logicznych, np. „i” czy też „lub”, które mają określone symbole. Poniżej znajduje się lista podstawowych
spójników.
symbol logiczny
¬
Þ
spójnik
i
lub
nieprawda, że...
jeżeli..., to...
wtedy i tylko wtedy, gdy...
nazwa zdania złożonego
koniunkcja
alternatywa
negacja (zaprzeczenie)
implikacja
równoważność
2. Spójniki logiczne
a) Koniunkcja
Zajmijmy się takim prostym, logicznym zdaniem: „Byłem w księgarni i kupiłem książkę”. Oznaczmy to zdanie
jako r. Zdanie to można podzielić na dwa zdania proste:
·
·
„Byłem w księgarni”, które oznaczymy przez p
„Kupiłem książkę”, które oznaczymy przez q
Te obydwa zdania proste łączą się spójnikiem i, które w matematyce oznaczamy przez . Zdania połączone
spójnikiem i nazywamy koniunkcją. Możemy przyjąć, że zdanie r jest prawdziwe jedynie wtedy, kiedy
rzeczywiście byliśmy w księgarni (w(p) = 1) i kupiliśmy książkę (w(q) = 1). Natomiast, jeśli któreś ze zdań p i
q byłoby fałszywe (czyli nie byliśmy w księgarni lub nie kupiliśmy książki), oznaczałoby to, że skłamaliśmy,
czyli wartość logiczna zdania r wynosiłaby 0. W zależności od wartości logicznych p i q możemy stworzyć
tabelkę prawdziwości zdania
(czyli zdania r), która jest pokazana niżej. Wynika z niej, że koniunkcja jest
prawdziwa jedynie wtedy, kiedy obydwa zdania p i q są prawdziwe.
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p q
0
0
0
1
b) Alternatywa
Oznaczmy przez r zdanie: „Dziś rano posprzątam w pokoju lub pooglądam telewizję”. Zdanie r możemy
podzielić na dwa zdania proste:
·
·
zdanie p: „Dziś rano posprzątam w pokoju”
i zdanie q: „Dziś rano pooglądam telewizję”
połączone spójnikiem lub. Jak było pokazane wcześniej w tabelce, spójnik lub oznaczamy przez . Nasze
zdanie r będzie zarówno prawdziwe wtedy, kiedy zdanie p będzie prawdziwe (posprzątamy w pokoju) lub
zdanie q będzie prawdziwe (pooglądamy telewizję). Ponadto nie skłamiemy, jeśli posprzątaliśmy i
pooglądaliśmy telewizję (obydwa zdania p i q są prawdziwe). Tabelka przedstawiającą wartości logiczne
alternatywy, w zależności od prawdziwości zdania p i q będzie wyglądać tak:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p q
0
1
1
1
c) Negacja
Zdanie „Nieprawda, że byłem dzisiaj w kinie” oznaczmy jako zdanie r. Zdanie to jest zaprzeczeniem (negacją)
zdania „Byłem dzisiaj w kinie”, które oznaczymy przez p. Negację zdania p przedstawiamy jako
. Jeśli
zdanie p jest prawdziwe (byliśmy w kinie), to zdanie r jest fałszywe, bo skłamaliśmy, że nie byliśmy w kinie.
Natomiast jeśli zdanie p jest nieprawdziwe, oznacza to, że zdanie r jest prawdziwe. Wnioski te można to
przedstawić w poniższej tabelce.
p
¬p
0
1
1
0
d) Implikacja
Oznaczmy r jako zdanie „Jeżeli będziesz grzeczny, to dostaniesz czekoladę”. Zdanie to jest implikacją. Zdanie
to składa się z dwóch zdań prostych:
·
zdania p: „Będziesz grzeczny”
·
zdania q: „Dostaniesz czekoladę”
Implikację zdań oznaczamy za pomocą spójnika Þ , a w tym przypadku przez p Þ q . Pozostaje zastanowić
się, kiedy zdanie r będzie prawdą, a kiedy kłamstwem. Załóżmy, że zdanie to wypowiedziała mama do swojego
syna. Jeśli syn był grzeczny i dostał czekoladę, mama nie skłamała. Jeśli syn był niegrzeczny i nie dostał
czekolady, mama także nie skłamała. Jeśli syn był grzeczny, a nie dostał czekolady, oznacza to, że został
okłamany. Okazuje się także, że gdyby syn był niegrzeczny i także dostał czekoladę, mama by nie skłamała.
Dlaczego? Ponieważ, mama nie stwierdziła, co go spotka, jeśli będzie niegrzeczny. Powiedziała jedynie, co go
spotka jeśli będzie grzeczny. Dlatego też o zdaniu p mówimy, że jest warunkiem wystarczającym do tego, by
zaszło q, a o q, że jest warunkiem koniecznym do tego, by zaszło p. Tabelka wartości logicznych będzie
wyglądać tak:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
pÞq
1
1
0
1
e) Równoważność
Gdyby poprzednie zdanie mama wypowiedziała tak: „Dostaniesz czekoladę jedynie wtedy, jeśli będziesz
grzeczny” lub „Dostaniesz czekoladę wtedy i tylko wtedy, gdy będziesz grzeczny”, to okazałoby się, że gdyby
synek był niegrzeczny, a mama i tak by mu dała czekoladę, to mama by skłamała. Spójnik logiczny „wtedy i
tylko wtedy, gdy...” oznaczamy przez
. Tabela równoważności będzie wyglądać tak:
p
0
0
1
1
q
0
1
0
1
p
q
1
0
0
1
3. Prawa rachunku zdań
DEFINICJA
Prawem rachunku zdań nazywamy zdanie złożone, które jest
zawsze prawdziwe np.
.
Rzeczywiście zdanie
jest zawsze prawdziwe. Mówiąc „Byłem w kinie lub nie byłem w kinie” nie
skłamiemy. Prawo rachunku zdań nazywane jest też prawem logicznym lub tautologią.
4. Funkcja zdaniowa (forma zdaniowa)
DEFINICJA
Funkcją zdaniową określoną na pewnym zbiorze nazywamy każde
zdanie zawierające zmienną, takie, że po wstawieniu w miejsce
zmiennej dowolnego elementu z tego zbioru zdanie to staje się
zdaniem logicznym.
5. Kwantyfikatory
a) Kwantyfikator ogólny
DEFINICJA
Kwantyfikator ogólny oznaczamy przez
, mówi on, że dane
stwierdzenie jest prawdziwe dla każdego x. Nazywany jest także
kwantyfikatorem dużym lub kwantyfikatorem uniwersalnym.
Jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „każdy pies ma cztery łapy”? Jeśli zbiór wszystkich
psów oznaczymy przez ZP, a liczbę łap psa p oznaczymy przez ζ(p), wówczas możemy napisać:
.
Zdanie to przeczytamy tak: „dla każdego psa p należącego do zbioru wszystkich psów ZP liczba łap ζ(p)
wynosi 4” lub bardziej po polsku „każdy pies ma cztery łapy”.
b) Kwantyfikator szczegółowy
DEFINICJA
Kwantyfikator szczegółowy oznaczamy przez
, mówi on, że
istnieje takie x, dla którego dane stwierdzenie jest prawdziwe.
Nazywany jest także kwantyfikatorem małym lub
kwantyfikatorem egzystencjalnym.
Jak zapisać za pomocą symboli matematycznych zdanie „są ludzie, którzy nie umieją liczyć”? Oznaczmy zbiór
wszystkich ludzi jako L i zdanie q(l), jako zdanie mówiące, że człowiek l umie liczyć. Teraz możemy napisać:
,
co przeczytamy nie uwzględniając kontekstu: „istnieje taki element l należący do zbioru L, że zdanie q(l), nie
jest prawdziwe”. Z kolei patrząc na kontekst możemy przeczytać: „istnieje taki człowiek l należący do zbioru
wszystkich ludzi L, że człowiek ten nie umie liczyć” lub krócej „istnieją ludzie, którzy nie umieją liczyć”.
Dosyć często kwantyfikator ogólny w polskich podręcznikach (w
szczególności dla liceum) jest oznaczany przez
(„dla każdego x...”),
a kwantyfikator szczegółowy przez
(„istnieje takie x, że...”).
Jednak te oznaczenia nie są stosowane w większości współczesnych
książek. Natomiast używane przez nas oznaczenia kwantyfikatorów są
międzynarodowe i pochodzą z języka angielskiego. pochodzi od All
(wszystkie), od Exists (istnieje).
Zadania
Zad. 1.1. Zbadaj, które z podanych wypowiedzi są zdaniami logicznymi:
1) 17 jest liczbą pierwszą,
2) 13 jest liczbą feralną,
3) czy 15 dzieli się przez 3 ?
4) suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą,
5) iloczyn dwóch liczb pierwszych jest liczbą pierwszą,
6) rozwiąż to równanie !
7) 0∙2=2,
8) istnieje taki prostokąt, który nie jest kwadratem,
9) Rysy leżą w Tatrach,
10) Warszawa leży nad Odrą.
Zad. 1.2. Poniżej podano przykłady zdań logicznych. Wyszukaj w nich zdania proste oraz funktory
zdaniotwórcze. Zapisz te zdania symbolicznie:
1)
2)
3)
4)
5)
to jest klocek czerwony, trójkątny, mały,
klocek nie jest czerwony ani biały,
jeżeli klocek jest mały, to nie jest niebieski,
klocek jest mały wtedy i tylko wtedy, gdy jest niebieski,
jutro idę na wykład lub na spacer.
Zad. 1.3. Wykazać, że następujące formuły są tautologiami:
1)
2)
5)
3)
p Û ~ (~ p ) (prawo podwójnego zaprzeczenia),
~ [ p Ù (~ p )] (prawo sprzeczności),
p Ú (~ p ) (prawo wyłączonego środka),
( p Ú q ) Û (q Ú p ) (prawo przemienności alternatywy),
4)
6)
7)
8)
(prawo przemienności koniunkcji),
~ ( p Ù q ) Û (~ p Ú ~ q ) (I prawo de Morgana),
~ ( p Ú q ) Û (~ p Ù ~ q ) (II prawo de Morgana),
( p Þ q ) Û (~ q Þ~ p ) (prawo transpozycji).
( p Ù q ) Û (q Ù p )
Zad. 1.4. Sprawdzić, czy następujące formuły są tautologiami:
1)
2)
3)
4)
5)
p Ú (q Þ p ) ,
( p Ú q ) Þ (~ p Ù ~ q ) ,
( p Þ q ) Û (~ p Þ ~ q ) ,
p Þ (q Ú ~ p ) ,
( p Þ q) Û ( pÙ ~ q) .
Zad. 1.5. Oceń wartość logiczną zdań:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
1 jest liczbą pierwszą lub 1 jest liczbą złożoną,
2 jest dzielnikiem 2 i 2 jest liczbą złożoną,
jeżeli 5<6, to 22 >0,
jeżeli przekątne rombu są równe, to każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym,
suma cyfr liczby dwucyfrowa jest podzielna przez 3 wtedy i tylko wtedy, gdy ta liczba dzieli się przez 3,
jeżeli wielokąt jest kwadratem, to jest on rombem.
Zad. 1.6. Następujące zdania złożone zapisz symbolicznie i zbadaj, kiedy są one prawdziwe:
1) jeżeli liczba naturalna a dzieli się przez 3, to z faktu, że nie dzieli się przez 3 wynika, że dzieli się przez
5,
2) jeżeli figura a jest prostokątem, to jest kwadratem wtedy i tylko wtedy, gdy z faktu, że nie jest
kwadratem wynika, iż nie jest prostokątem,
3) jeżeli figura a jest czworokątem i a ma wszystkie kąty równe, to z faktu, że a nie jest czworokątem
wynika, że a ma boki równe.
Zad. 1.7. Oceń wartość logiczną zdań:
)
2) " (x > 0 ),
3) $ (x = 0 ),
1)
(x
"
xÎ R
2
<0 ,
2
xÎR
2
xÎR
4)
$ (x(- x ) £ 0) ,
xÎ R
5)
6)
æx
ö
" ç = 1÷ø ,
xÎR è x
"(
xÎR
)
x2 = x ,
7) ~ " ( x < 0) ,
xÎR
8)
(p Î R ) Ù $ (x × x £ 0) .
x ÎR
Zad. 1.8. Zbuduj zaprzeczenia poniższych zdań oraz oceń ich wartość logiczną:
" ( x ×1 = x ) ,
2) $ ( x ×1 = x ) ,
xÎ N
3) " $ ( x > y ) ,
xÎR yÎR
1)
xÎ N
4
$ $ (x + y = 3) ,
xÎ N y Î N
5)
" " (x + y = y + x ).
xÎ N yÎ N
Zad. 1.9. Następujące zdania zapisz symbolicznie i oceń ich wartość logiczną:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
każda liczba rzeczywista jest mniejsza od 2,
nie ma takiej liczby rzeczywistej, której kwadrat byłby ujemny,
jest taka liczba parzysta, która jest liczbą pierwszą,
są takie liczby parzyste, których suma cyfr dzieli się przez 3,
nie jest prawdą, że każda liczba naturalna jest swoim dzielnikiem,
do każdej liczby naturalnej istnieje jej odwrotność.