Procesy stochastyczne 2. Lista zadań 6. Autorzy: dr hab. A

Procesy stochastyczne 2.
Lista zadań 6.
Autorzy: dr hab. A. Jurlewicz
WPPT Matematyka, studia drugiego stopnia, I rok,
rok akad. 2011/12
1
Lista 6: Procesy odnowienia, błądzenia losowe.
Niech {Xn , n = 1, 2, . . .} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o dystrybuancie F , F (x) = P (X1 < x). Niech S0 = 0, Sn = Sn−1 + Xn dla n ­ 1.
Ponadto niech Nt = max{n : Sn ¬ t} oraz νt = min{n : Sn > t} dla t ­ 0.
Ciąg {Sn , n = 0, 1, . . .} nazywamy błądzeniem losowym generowanym przez ciąg {Xn }, a
{νt , t ­ 0} - odpowiadającym mu procesem pierwszego przejścia.
W przypadku, gdy F (0) = 0 oraz F (0+) < 1, ciąg {Sn } nazywamy również procesem
odnowienia. Proces {Nt , t ­ 0} jest w tym przypadku procesem zliczającym momenty
odnowy.
Niech {(Tn , Xn ), n = 1, 2, . . .} będzie ciągiem niezależnych wektorów losowych o jednakowym
rozkładzie, przy czym Tn ­ 0 z prawd. 1 (dla ustalonego n zmienne losowe Tn i Xn nie
muszą być niezależne). Niech {Nt } będzie procesem zliczającym momenty odnowy, odpowiadającym procesowi odnowienia generowanemu przez ciąg {Tn } oraz niech {Sn } będzie
błądzeniem losowym generowanym przez ciąg {Xn }. Proces {SNt , t ­ 0} nazywamy błądzeniem losowym z czasem ciągłym.
1. Uzasadnić nazwy określonych wyżej procesów. Przeanalizować podobieństwa i różnice między procesami {Nt } i {νt } dla przypadku, gdy odpowiadają one
(a) procesowi odnowienia,
(b) błądzeniu losowemu.
2. Niech Xn ma rozkład zerojedynkowy z parametrem p, 0 < p < 1. Ciąg {Sn } nazywamy wtedy błądzeniem losowym Bernoulliego, a {Nt } - procesem ujemnym dwumianowym.
(a) Uzasadnić podane nazwy.
(b) Pokazać, że P (Nt < ∞) = 1 oraz że ENtr < ∞ dla każdego r > 0.
3. Niech {Sn } będzie procesem odnowienia generowanym przez ciąg {Xn }, a {Nt } odpowiadającym mu procesem zliczającym momenty odnowy.
(a) Pokazać, że P (Nt < ∞) = 1 oraz że ENtr < ∞ dla każdego r > 0.
(b) Uzasadnić równość zdarzeń {Nt ­ n} i {Sn ¬ t} i korzystając z tego wyrazić
ENt poprzez dystrybuantę F .
p.n.
(c) Pokazać, że Nt −→
∞.
t→∞
2
(d) Załóżmy, że 0 < m = EX1 ¬ ∞. Pokazać, że wówczas
1
ENt
Nt p.n. 1
oraz
−→
−→ .
t t→∞ m
t t→∞ m
(Przyjmujemy, że 1/∞ = 0.)
(e) Załóżmy, że 0 < m = EX1 < ∞ oraz 0 < σ 2 = VarX1 < ∞. Pokazać, że
wówczas
Nt − t/m d
√
−→N (0, 1).
σ 2 m−3 t t→∞
Wsk. Skorzystać z Tw. Anscombe’a [Gut, tw. I.3.1, str. 15]
Niech {Yk , k ­ 1} będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie o średniej 0 i wariancji σ 2 , 0 < σ < ∞. Załóżmy, że dla
P
pewnej rodziny {Lt , t ­ 0} indeksów losowych mamy Lt /t −→
θ, gdzie θ > 0
t→∞
jest skończoną stałą. Wówczas
Y1 + . . . + YLt d
√
−→N (0, 1)
t→∞
σ Lt
oraz
Y1 + . . . + YLt d
√
−→N (0, 1).
t→∞
σ θt
(f) Czy proces {νt } ma analogiczne własności?
4. Pokazać, że złożony proces Poissona z zadania 2 listy 1 jest przykładem błądzenia
losowego z czasem ciągłym.
5. Rozważmy błądzenie losowe z czasem ciągłym generowane przez taki ciąg {(Tn , Xn )},
że 0 < ETn = mT < ∞, a E|Xn | < ∞. Oznaczmy EXn = mX .
SNt p.n. mX
.
(a) Pokazać, że
−→
t t→∞ mT
2
(b) Załóżmy, że VarTn = σT2 < ∞ oraz VarXn = σX
< ∞.
2
2 2
2 2
Niech γ = Var(mT Xn − mX Tn ) = mT σX + mX σT − 2mT mX Cov(Tn , Xn ).
Pokazać, że jeśli γ 2 > 0, to
SNt − tmX /mT
q
γ 2 m−3
T t
d
−→N (0, 1).
t→∞
P.Billingsley, Prawdopodobieństwo i miara, PWN, Warszawa, 1987 (Ad. zad.5 - str.306)
A.Gut, Stopped Random Walks. Limit theorems and Applications, Springer-Verlag, New
York, 1988 (Ad. zad.1 - 3: str.46 - 57, Ad. zad.5 - str.108 -113)
3