0 dla( , ) (0,0) ( ) poza tym x y xy x y = + π π
Transkrypt
0 dla( , ) (0,0) ( ) poza tym x y xy x y = + π π
Dr hab. prof. UE Wojciech Rybicki Zadania z analizy matematycznej dla studentów I roku Wydziału ZI Lista 15 1. a) Pokazać, Ŝe funkcja f(x, y, z) = (x + y + z, x + y, x) jest ciągła. b) Zadanie z „gwiazdką” (małą!), pokazać ze operatory liniowe f : Rn → Rm są ciągłe („rozsądne” metryki rozwaŜać). 2. Wykazać, Ŝe funkcja dla ( x, y ) = (0, 0) 0 f(x, y) = 2 2 n −1 poza tym xy ( x + y ) nie jest ciągła w punkcie (0, 0), ale zawęŜona do dowolnej prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych – juŜ jest (por. R. Antoniewicz, A. Misztal, s. 365). 3. Korzystając z rachunku róŜniczkowego pokazać, Ŝe arctg x + arcctg x = π 2 , arcsin x + arccos x = π 2 4. Korzystając z wzoru na pochodną funkcji odwrotnej (do róŜniczkowalnej, róŜnowartościowej (!) f : (a, b) → (c, d)) obliczyć: (a). (arctg x)′, (b). (arcsin x)′. 5. Pokazać, Ŝe: (a). wśród trójkątów o stałym obwodzie największe pole ma trójkąt równoboczny; (b). wśród trójkątów o stałym obwodzie i stałej podstawie największe pole ma trójkąt równoramienny; (c). wśród prostokątów o stałym obwodzie największe pole ma kwadrat; (d). uogólnić (a) i (c) na wielokąty (wpisane w koła); (e). a co z kołami ? 6. Wyprowadzić wzór na pochodne funkcji f : R → R (a). f(x) = logax (bezpośrednio oraz – ewentualnie – elementarne własności logarytmów, (b). f(x) = xn. (Indukcja i pochodna iloczynu lub wzór an – bn = ... ). 7. Obliczyć piąte pochodne funkcji (a). y = sin x; (b). y = cos x; (c). y = ln x; (d). y = e2x + sin x; (e). y = xx (x > 0). 8. “Wyprowadzić” wzór na tzw. pochodną logarytmiczną.