ZAJĘCIA II Zmienne losowe, sygnały stochastyczne

Komputerowa identyfikacja obiektów
ZAJĘCIA II
Zmienne losowe, sygnały stochastyczne,
zakłócenia pomiarowe
• Po co statystyka w identyfikacji ?
• Zmienne losowe i ich parametry
• Korelacja zmiennych losowych
• Rozkłady wielowymiarowe i sygnały stochastyczne
• Propagacja sygnałów stochastycznych
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
WPROWADZENIE
Identyfikacja obiektu to proces wyznaczania opisu obiektu w postaci modelu na podstawie zakłóconych pomiarów
sygnałów obiektu. Częścią tego procesu, w przypadku identyfikacji parametrycznej, jest oszacowanie wartości
parametrów obiektu, czyli ich estymacja. Termin ten jest zaczerpnięty ze statystyki - dziedziny nauki zajmującej się
opisem zjawisk przypadkowych. Rozwinięta na gruncie statystyki teoria estymatorów została z powodzeniem
zastosowana i rozwinięta w dziedzinie identyfikacji.
Matematyczne pojęcie zmiennej losowej służy do opisywania wielkości zmieniających się w sposób przypadkowy.
Mimo tego, że żyjemy w świecie zdeterminowanym, każde zjawisko ma w nim swoją przyczynę i nic nie dzieje się
przypadkowo, to często nie jesteśmy w stanie analizować wszystkich przyczyn zjawiska (jest ich zbyt dużo lub nie
wiemy gdzie leżą przyczyny). Nie jesteśmy więc w stanie określić dokładnie jak zjawisko będzie przebiegać w
przyszłości, nawet jeśli znamy stan bieżący i historię tego zjawiska. Aby objąć taki rodzaj zjawisk aparatem
matematycznym i umożliwić ich analizę, stworzono teorię zjawisk losowych. Dzięki niej można analizować
zachowanie się układów elementów zależnych, gdy niektóre elementy nie są dokładnie znane lub kontrolowane.
Przykład:
Mierniki mają określoną klasę dokładności definiującą możliwą różnicę między wynikiem pomiaru a wartością
mierzoną rzeczywiście występującą. Ta różnica przy pomiarze niezmiennej wielkości zazwyczaj nie zmienia się
dynamicznie – jeśli wykonamy serię pomiarów jeden po drugim to odczytamy taką samą wartość. Co jest tutaj
wielkością zaburzającą pomiar ? W jakim stopniu jest to wielkość przypadkowa ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
WPROWADZENIE (C.D.)
Z użyciem pojęcia zmiennej losowej opisuje się zakłócenia pomiarowe, których wartość zmienia się dynamicznie z
każdym nowym pomiarem (realizacja zmiennej losowej). Trudno byłoby jednak prowadzić analizę na wartościach
zmieniających się w sposób przypadkowy od eksperymentu do eksperymentu. Konieczne jest zastosowanie
deterministycznego opisu ilościowego, niezależnego od konkretnej realizacji zmiennej losowej. Takim opisem jest
funkcja rozkładu i jej parametry określające cechy charakterystyczne zmiennej losowej, takie jak rozrzut wartości
czy wartość średnia. Przetwarzanie statyczne i dynamiczne zmiennych losowych zmienia ich parametry losowe i
dzięki temu możliwa jest analiza matematyczna zachowania się wielkości zaszumionych w sprzęcie pomiarowym i
w algorytmach identyfikacji.
Ponieważ wyniki procesu estymacji, tj. estymaty parametrów obiektu, są wyznaczane na podstawie skończonego
zbioru próbek zakłóconych sygnałów (składowa deterministyczna i składowa losowa), to również i estymaty są
zmiennymi losowymi. Wartość estymat parametrów będzie inna przy powtórzeniu procesu estymacji na innym
zbiorze próbek (nawet przy identycznej składowej deterministycznej), ponieważ inne będą wartości przypadkowo
zmieniających się zakłóceń. Metody statystyki pozwalają analizować proces estymacji i określać przedziały wartości
każdego z parametrów, w których z określonym prawdopodobieństwem leżeć będą wartości estymat.
Zajęcia są poświęcone podstawowym pojęciom statystyki używanym w teorii identyfikacji oraz opisowi sygnałów
zmieniających się w sposób losowy (sygnałów stochastycznych). Stanowią wprowadzenie do analizy statystycznej
procesu estymacji i do specyficznych metod identyfikacji z użyciem sygnałów stochastycznych.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
SKĄD SIĘ BIORĄ ZAKŁÓCENIA POMIAROWE ?
Powszechnie przy pomiarach występują zakłócenia. Skąd one się biorą ? Podstawową przyczyną losowych zmian
wyników pomiarów przy stałości wielkości mierzonej są szumy termiczne - napięcia powstające na rezystancjach w
wyniku chaotycznego ruchu elektronów pod wpływem temperatury. Ponieważ składa się na nie bardzo duża ilość
oddziaływań bez elementów dominujących to wypadkowy rozkład szumu termicznego ma charakter normalny.
Często jednak opisuje się zmiennymi losowymi takie źródła błędów pomiarowych, które nie zmieniają swojego
wpływu na wynik pomiaru w warunkach powtarzalności warunków pomiaru. Np. często błąd kwantowania
przetworników A/C modeluje się jako zmienną losową, choć w istocie jest on wynikiem operacji nieliniowej na
sygnale. Możemy go ograniczyć znając zakres Uz i ilość bitów N przetwornika do wartości ∆ k = Uz 2N . Jednak na
podstawie przebiegu skwantowanego nie możemy odtworzyć wielkości mierzonej. Możemy jedynie podać przedział
wartości, w którym znajdowała się wielkość przed kwantowaniem. Rozkład błędu kwantowania ma charakter
równomierny w przedziale [ − ∆ k 2, ∆ k 2] .
Innym przykładem może być miernik z zadanym błędem klasy ∆m. Chociaż dla konkretnego przyrządu wartość
błędu jest zdeterminowana warunkami pomiaru (i może być wyznaczona dokładniejszym przyrządem), to w
przypadku grupy przyrządów o tych samych parametrach możemy przyjąć, że błąd dla poszczególnych przyrządów
przyjmuje wartości losowe. Możemy narysować rozkład błędu pomiarowego, gdzie ∆m określa przedział ufności.
Przyjmujemy zazwyczaj rozkład normalny i odpowiadający mu przedział wysokiej ufności 3 σ . Do przedziału ±3 σ
należy 99,3% wyników. Losowe parametry błędu pomiarowego są w tym przypadku miarą braku pełnej wiedzy o
tym błędzie, umożliwiają jednak analizę dokładności wyniku pomiaru, przez co ten wynik jest użyteczny.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
ZMIENNE LOSOWE I ICH PARAMETRY STATYSTYCZNE
Zmienna losowa, funkcja rozkładu gęstości prawdopodobieństwa
Ciągła zmienna losowa, bo przede wszystkim takie są obiektem zainteresowania w teorii pomiarów i estymacji (inny
rodzaj to dyskretne z. l., czyli przyjmujące wartości ze zbioru skończonego i przeliczalnego), to zmienna, która
może przyjmować wartości przypadkowe z nieprzeliczalnego podzbioru osi liczbowej. Ta przypadkowość jest
jednak rządzona przez regułę opisaną przez funkcję gęstości prawdopodobieństwa.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa f(x) zmiennej losowej X w punkcie x jest zdefiniowana jako
f ( x ) = lim
P ( x ≤ X ≤ x + ∆x )
∆x → 0
o własnościach: f(x) ≥ 0,
∫
∞
−∞
∆x
f ( x )dx = 1.
Jak wynika z definicji, prawdopodobieństwo przyjęcia przez zmienną losową wartości z wybranego przedziału
można wyznaczyć z funkcji gęstości prawdopodobieństwa wg zależności:
P( x1 ≤ X ≤ x2 ) =
∫
x2
x1
f (t )dt
Funkcji gęstości prawdopodobieństwa nie należy interpretować wprost jako prawdopodobieństwa przyjęcia
konkretnej wartości, ponieważ to prawdopodobieństwo jest zerowe (jest nieskończenie wiele możliwych wartości
ciągłej zmiennej losowej, więc każde musi być nieskończenie mało prawdopodobne).
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Parametry rozkładu
Ponieważ posługiwanie się funkcjami zmiennej niezależnej jest niewygodne w obliczeniach, to wykorzystuje się w
tym celu tzw. momenty zmiennej losowej, które są parametrami funkcji gęstości. Dwa podstawowe z nich to
wartość oczekiwana i wariancja. W szczególnie ważnym przypadku rozkładu normalnego określają one w pełni
rozkład.
Wartość oczekiwana m zmiennej losowej X (czyli moment zwykły pierwszego rzędu) jest definiowana jako
∞
µ = E [ X ] = ∫ x ⋅ f ( x )dx , czyli jest średnią zmiennej losowej ważoną funkcją gęstości.
−∞
Wariancja służy do opisania rozproszenia wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej i jest to wartość
oczekiwana kwadratu odchylenia wartości tej zmiennej od jej wartości oczekiwanej (formalnie to moment centralny
drugiego rzędu):
2
σ 2 = E ⎡⎢( X − E [ X ]) ⎤⎥
⎣
⎦
Odchylenie standardowe σ to pierwiastek kwadratowy z wariancji i ma taki sam wymiar jak zmienna losowa.
Oczywiście można liczyć momenty wyższych rzędów, które są miarą np. niesymetrii rozkładu. Dla rozkładu
normalnego (o nim za chwilę) te momenty nie dostarczają żadnej nowej informacji, bo rozkład ten jest
jednoznacznie zdefiniowany przez wartość oczekiwaną i wariancję. Momenty wyższych rzędów są funkcjami tylko
tych parametrów.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
DWA PODSTAWOWE ROZKŁADY
Dwa rozkłady są szczególnie ważne w teorii estymacji - rozkład równomierny i rozkład normalny.
Rozkład równomierny (jednostajny, prostokątny)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa:
f(x) =
Rozkład normalny (gaussowski)
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa:
1
dla a≤x≤b,
b−a
f(x) = 0
f (x) =
dla x<a, x>b,
gdzie a i b są granicami rozkładu (a<b), a podstawowe
parametry mają wartości: µ = ( a + b ) 2 , σ = ( b − a ) 2 3 .
Np. R(0,1):
⎡ 1
⎤
exp ⎢ − 2 ( x − µ )2 ⎥
σ 2π
⎣ 2σ
⎦
1
gdzie µ określa położenie osi symetrii rozkładu, od σ
zależy zwartość funkcji gęstości. Skrótowo rozkład ten
oznacza się N(µ,σ).
Np. N(0,1):
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
-4
-2
0
2
4
Model np. szumów kwantowania
0
-4
-2
0
2
4
Model np. szumów termicznych
W razie potrzeby zmiany parametrów rozkładu próbki, należy wykonać na niej operację skalowania i przesuwania.
Np. przejście od wartości zmiennej losowej X o rozkładzie N(0,1) do wartości Y o rozkładzie N(µ,σ) wykonuje się
operacją Y=X⋅ σ +µ. Zmiana charakteru zmiennej losowej (czyli funkcji gęstości) wykracza poza temat ćwiczenia.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
KORELACJA I KOWARIANCJA ZMIENNYCH LOSOWYCH, MACIERZ KOWARIANCYJNA
Korelacja zmiennych losowych jest pojęciem opisującym zależność dwóch zmiennych w sensie losowym. Pełna
zależność zmiennych losowych objawia się identycznością ich kolejnych realizacji. Liczbową miarą korelacji jest
wartość oczekiwana iloczynu tych zmiennych E [ x ⋅ y ] . Korelacja scentrowanych (z odjętą wartością oczekiwaną)
zmiennych losowych E ⎡⎣( x − E [ x ]) ( y − E [ y ]) ⎤⎦ jest nazywana kowariancją (oznaczenie cov ( x, y ) ) a stosunek
cov( x, y )
σ σ
2
x
2
y
jest nazywany współczynnikiem korelacji o wartościach z przedziału [-1,1].
W przypadku wektora β zawierającego n zmiennych losowych (rozmiar n×1) stosuje się jedną wielkość
macierzową do opisu wariancji poszczególnych elementów wektora i kowariancji pomiędzy tymi elementami. Jest to
macierz kowariancji Σ (rozmiar n×n) i zgodnie z powyższymi definicjami jej wartość oblicza się wg wzoru
T
Σ ( β ) = E ⎡⎢( β − E [ β ]) ( β − E [ β ]) ⎤⎥ .
⎣
⎦
Ćwiczenie:
⎡ 2 1⎤
Załóżmy, że macierz kowariancyjna Σ ma zawartość ⎢
⎥ . Ilu zmiennych losowych dotyczy ta macierz ? Jaka jest
1
1
⎣
⎦
wariancja poszczególnych zmiennych losowych ? Jaka jest kowariancja i współczynnik korelacji pomiędzy tymi
zmiennymi ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
WIELOWYMIAROWY ROZKŁAD NORMALNY
Funkcje gęstości prawdopodobieństwa wielu zmiennych losowych można połączyć w jedną funkcję gęstości
zdefiniowaną w przestrzeni wielu zmiennych. W przypadku zmiennych losowych niezależnych wynikowa funkcja
gęstości jest prostym iloczynem poszczególnych funkcji gęstości.
Np. dla dwuwymiarowego rozkładu normalnego, tj. łącznego rozkładu dwu zmiennych losowych o rozkładzie
normalnym, łączna funkcja gęstości ma postać:
f ( x, y ) =
⎡ 1 ⎛ ( x − µ )2 ( y − µ y )2 ⎞ ⎤
⎡ ( y − µ y )2 ⎤
⎡ ( x − µ x )2 ⎤
1
1
x
+
exp ⎢ −
exp ⎢ −
exp ⎢ − ⎜
⎟⎥
⎥=
⎥⋅
2
2
2
⎜
2
σ
2
σ
2
πσ
σ
2
σ
σ y2 ⎠⎟ ⎥⎦
2π
σ
2
π
⎢⎣
⎥⎦
x
y
x y
x
⎣
⎦ y
⎢⎣
⎝
1
σx
W przypadku wektora β, zawierającego n skorelowanych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym, łączna
funkcja gęstości w postaci macierzowej, z macierzą kowariancyjną Σ o rozmiarze n×n, i wektorem wartości
oczekiwanych µ o rozmiarze n×1, jest określona wzorem:
f (β) =
T
⎡ 1
⎤
exp ⎢ − ( β − µ ) Σ −1 ( β − µ ) ⎥
n
⎦
( 2π ) det ( Σ ) ⎣ 2
1
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Przykład:
Dla dwuwymiarowej zmiennej losowej możemy przedstawić powierzchnię funkcji gęstości w postaci wykresu 3D.
Poniżej pokazano takie powierzchnie dla przypadku nieskorelowanego i silnie skorelowanego dwuwymiarowego
rozkładu normalnego razem z programem do generowania tych powierzchni.
S=[1, 0; 0, 1]; % brak korelacji
% S=[1 .8; .8 1]; % silna korelacja
x1=-3:0.3:3;
0.2
x2=-3:0.3:3;
0.1
for i=1:length(x1);
for j=1:length(x2);
0
2
0
X=[x1(i); x2(j)];
-2
0
-2
2
f(i,j)=1/(2*pi*det(S))*exp(-1/2*X'*inv(S)*X);
end
end
mesh(x1,x2,f)
axis([-3 3 -3 3 0 .4])
0.4
0.2
0
2
0
-2
Katedra Metrologii AGH
-2
0
2
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Estymacja i estymatory parametrów rozkładów losowych
Estymacja wartości oczekiwanej: na podstawie zbioru N próbek zmiennej losowej
szacujemy parametr µ, czyli obliczamy oszacowanie parametru statystycznego na podstawie informacji zawartej w
1 N
próbkach, wg wzoru µˆ = x = ∑ xi .
N i =1
Estymator wariancji (nieobciążony) ma postać σˆ 2 = s 2 =
1 N
2
( xi − x )
∑
N − 1 i =1
Estymator macierzy kowariancji wektora β ma postać Σˆ =
T
1 N
β − β )( β − β )
(
∑
N − 1 i =1
Ćwiczenie:
Dla trzech kolejnych pomiarów napięcia wejściowego i wyjściowego dzielnika napięcia uzyskano wyniki:
V1=[60, 40, 20], V2=[15, 10, 5]
Podaj oszacowanie wartości oczekiwanej, wariancji, kowariancji i skorelowania tych pomiarów.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Ćwiczenie – jak generować skorelowane zmienne losowe ?
Zbiory próbek skorelowanych zmiennych losowych można uzyskać na podstawie dwóch zbiorów x, y
nieskorelowanych próbek zmiennych losowych X, Y. Załóżmy, że wartość oczekiwana zmiennych losowych X i Y
jest równa zero, a ich wariancje są równe.
E [ X ] = E [Y ] = 0
var [ X ] = E ⎡⎣ X 2 ⎤⎦
=
var [Y ] = E ⎡⎣Y 2 ⎤⎦
= σ2
Wtedy zmienna losowa Z, będąca kombinacją liniową X i Y, również będzie miała wartość oczekiwaną zero.
Obliczmy jej wariancję i kowariancję ze zmienną X :
(
)
var [Z ] = var [aX + bY ] = a 2 var [ X ] + b 2 var [Y ] = a 2 + b 2 σ 2
cov [Z, X ] = cov [aX + bY , X ] = E ⎡⎣( aX + bY ) X ⎤⎦ = a var [ X ] = aσ 2
Jeśli zmienna Z ma mieć identyczną wariancję jak X i Y, i ma mieć wartość współczynnika korelacji definiowanego
jako
cov [Z, X ]
var [Z ] var [ X ]
o wartości c, to warunki na wartości współczynników a i b mają postać:
a=c
b = 1 − a2
Np. dla wektorów x i y próbek nieskorelowanych zmiennych losowych o rozkładzie N(0,1), wektor z o pożądanych
parametrach N(0,1) i o współczynniku korelacji z wektorem x równym 0.5 może być utworzony przez kombinację
z = 0.5 x + 0.75 y .
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
SYGNAŁY STOCHASTYCZNE
Sygnał stochastyczny to sygnał, którego wartości w każdej chwili są zmiennymi losowymi. Na podstawie ważnego
dla obliczeń praktycznych twierdzenia o sygnałach ergodycznych, uśrednianie po nieskończonym zbiorze wartości
zmiennej losowej w danej chwili czasowej, można zastąpić uśrednianiem po nieskończonym zbiorze realizacji
zmiennych losowych w kolejnych chwilach czasowych. Występujące w praktyce stochastyczne sygnały stacjonarne
(o niezmiennych w czasie parametrach losowych) to sygnały ergodyczne. Dla takich sygnałów wszystkie momenty,
w tym wartość oczekiwana i wariancja, mogą być liczone na podstawie ciągów czasowych. W interesującym nas
przypadku pomiarów w dyskretnych chwilach czasu wzór na wartość oczekiwaną ma postać:
1 +N
∑ x (i )
N →∞ 2N
i =− N
µ = lim
W praktycznych obliczeniach powyższa suma ma granice skończone, a wynikający z tego wzór określa estymator
wartości oczekiwanej przez uśrednianie po czasie:
1 N
µ = ∑ x (i )
N i =1
Tę zależność, jak widzieliśmy w zadaniu z poprzednich zajęć, możemy widzieć jako szczególny algorytm filtracji
FIR o dolnopasmowej charakterystyce częstotliwościowej. Taki jest też sens uśredniania – usunięcie
szybkozmiennych elementów sygnału o dużej zawartości wysokich częstotliwości.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Korelacja i autokorelacja sygnałów stochastycznych
Podobnie jak zmienne losowe, również sygnały stochastyczne mogą być skorelowane. Funkcję korelacji wzajemnej
definiuje zależność:
1
T →∞ 2T
Rxy (τ ) = lim
∫
+T
−T
x (t ) y ( t + τ ) dt
Ważnym przypadkiem szczególnym jest skorelowanie sygnału stochastycznego z tym samym sygnałem, ale
przesuniętym. Taka korelacja w funkcji przesunięcia nosi nazwę autokorelacji sygnału stochastycznego. Jej
definicja w przypadku sygnałów ciągłych ma postać:
1
T →∞ 2T
Rxx (τ ) = lim
∫
+T
−T
x (t ) x ( t + τ ) dt
Praktyczne obliczenia dla próbek sygnałów są prowadzone wg zależności na estymator funkcji autokorelacji z N
próbek sygnału:
1 N
Rxx ( k ) = ∑ xi xi + k
N i =1
Ćwiczenie:
Na jakiej zasadzie w przyrodzie powstają skorelowane wielkości przypadkowe ? Na jakiej zasadzie sygnał
wejściowy i wyjściowy dzielnika są skorelowane między sobą ? Na jakiej zasadzie sygnał może być skorelowany ze
swoimi wcześniejszymi wartościami ? Czy wyznaczana na bieżąco przez filtrację FIR wartość średniej sygnału
nieskorelowanego jest w ten sposób skorelowana ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Szum biały, odpowiedź obiektu na sygnał stochastyczny
Sygnał stochastyczny, którego funkcja autokorelacji jest równa zero poza początkiem układu, jest nazywany
szumem białym. Sygnał ten jest chętnie wykorzystywany w identyfikacji, ponieważ ma szerokie spektrum
częstotliwościowe. Pasmo częstotliwościowe sygnału stochastycznego możemy zbadać poprzez transformatę
Fouriera funkcji autokorelacji sygnału. Jest ona nazywana funkcją gęstości widmowej mocy i odpowiada kwadratowi
modułu widma sygnału deterministycznego.
Przykład: Dynamika sygnałów stochastycznych
sygnał
realizacja
szybko--zmienny
autokorelacja
gęstość widmowa mocy
1
4
0.9
3
1
0.8
2
0.8
0.7
1
0.6
0.6
0.5
0
0.4
0.4
-1
0.3
0.2
-2
0.2
-3
-4
wolno--zmienny
0
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
150
0
0
500
1000
1500
2000
2500
1
-0.2
0
10
20
30
40
50
60
15
0.9
100
0.8
50
0.7
10
0.6
0
0.5
-50
0.4
5
0.3
-100
0.2
-150
-200
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Pytanie: Czy można stosować opis stochastyczny (korelacyjny) do sygnałów deterministycznych ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
PROPAGACJA SYGNAŁÓW, BŁĘDÓW I ZAKŁÓCEŃ W MODELACH LINIOWYCH - PODSUMOWANIE
Przenoszenie sygnałów stochastycznych przez obiekty liniowe z modelem w postaci odpowiedzi impulsowej jest
opisane identyczną operacją splotową jak w przypadku sygnałów deterministycznych, ale oczywiście zasada ta
dotyczy poszczególnych realizacji sygnałów, co nie pozwala na uogólnienia. Deterministyczny opis przenoszenia
sygnałów stochastycznych można oprzeć na funkcjach korelacji. W tym przypadku związek ma analogiczną postać
splotową:
Ryx (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h (τ ) ,
gdzie h (τ ) jest odpowiedzią impulsową obiektu. Równoważna zależność bazująca na autokorelacji sygnału
wyjściowego ma postać:
Ryy (τ ) = Ryx (τ ) ∗ h ( −τ )
Łącząc obydwie zależności dostajemy: Ryy (τ ) = Rxx (τ ) ∗ h (τ ) ∗ h ( −τ )
W dziedzinie częstotliwości równoważny opis operuje gęstościami widmowymi mocy sygnału wejściowego i
wyjściowego (czyli transformatami ich funkcji autokorelacji), które w wyniku przejścia przez obiekt dynamiczny są
skalowane kwadratem jego transmitancji
Syy (ω ) = G ( jω ) Sxx (ω )
2
Ćwiczenie (trochę trudniejsze – wyprzedzamy materiał):
Odszumiamy sygnał przez wyznaczanie średniej z ostatnich dwóch pomiarów sygnału. Jeśli przetwarzany sygnał
jest szumem białym, to jak wygląda korelacja i gęstość widmowa sygnału odszumionego ?
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
ZADANIA - ANALIZA SYGNAŁÓW LOSOWYCH
Zadanie 1
Przedstaw na jednym rysunku funkcję gęstości rozkładu normalnego o wybranych parametrach i odpowiednio
przeskalowany dla osiągnięcia porównywalności histogram (hist) z kilku tysięcy próbek z tego rozkładu. Policz ze
zbioru próbek estymaty wartości oczekiwanej (mean) i wariancji (cov).
Zadanie 2
Na płaszczyźnie XY przedstaw zbiór kilku tysięcy punktów wylosowanych z dwuwymiarowego rozkładu normalnego
o wybranym stopniu skorelowania. Na podstawie zbioru punktów wyznacz estymatę macierzy kowariancyjnej (cov).
Zadanie 3
Dla zarejestrowanych szumów karty dźwiękowej przy rozwartych wejściach lub szumów dźwiękowych otoczenia
zarejestrowanych mikrofonem wyznacz dla szumu z jednego kanału jego wartość oczekiwaną, odchylenie
standardowe i histogram. Czy histogram odpowiada rozkładowi normalnemu ? Na podstawie minimalnej zmiany
(kwantu) zarejestrowanych wartości i zakresu [-1,1] wyznacz ilość bitów przetwornika A/C tej karty. Sprawdź
autokorelację (xcorr) i korelację wzajemną szumów z obydwu kanałów. Na podstawie funkcji gęstości widmowej
mocy (psd) stwierdź czy są to szumy wąsko- czy szerokopasmowe.
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006
Komputerowa identyfikacja obiektów
Zadanie 4
Dla zarejestrowanych szumów karty pomiarowej PCL818 przy zwartych wejściach wyznacz ich wartość oczekiwaną
i odchylenie standardowe. Na podstawie przebiegu czasowego określ czy dominuje w nim błąd kwantowania czy
szum termiczny ? Znając zakres pomiarowy wyznacz ilość bitów przetwornika A/C tej karty. Sprawdź autokorelację,
korelację wzajemną i gęstość widmową szumu.
LITERATURA DODATKOWA
Sydenham P.H., Podręcznik Metrologii, WKiŁ Warszawa 1988 (rozdział 4)
dowolny podręcznik do teorii prawdopodobieństwa i statystyki, np.:
Hellwig Z., Elementy rachunku prawdopodobieństwa i statystyki matematycznej, PWN, Warszawa 1987
Katedra Metrologii AGH
Kraków 2006