1 – stopień pierwszy – tytuł inżyniera Semestr IV rok II

Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych
Wydział Elektrotechniki, Informatyki i Telekomunikacji
Uniwersytet Zielonogórski
Metody analizy danych II
Zmienne losowe dyskretne oraz ciągłe
Telekomunikacja –1 – stopień pierwszy – tytuł inżyniera
Semestr IV rok II
1. Dla zmiennej losowej X o funkcji prawdopodobieństwa danej tabelką
xi 1
2
3
4
5
pi 0.4 0.2 0.2 0.1 0.3
wyznaczyć wartość średnią, odchylenie standardowe oraz skonstruować dystrybuantę zmiennej
X.
2. Dystrybuanta F zmiennej losowej X jest określona następującą tabelką:
x
(−∞, 1) [1, 3) [3, 6) [6, ∞)
F (x)
0
0.3
0.6
1.0
Wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej.
3. Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie
F (x) =



0
x−1
2


1
dla x ¬ 1
dla 1 < x ¬ 3
dla x > 3.
Wyznaczyć wartość średnią oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej X.
4. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości
(
f (x) =
cx(1 − x) dla 0 < x < 1
0
pozatym,
gdzie c jest stałą dodatnią. Wyznaczyć wartość stałej c i następnie wyznaczyć wartość średnią
oraz odchylenie standardowa zmiennej losowej X.
5. Czas reakcji X na pewien typ bodźca jest ciągłą zmienną losową o gęstości rozkładu
(
f (x) =
3
2x2
0
dla 1 ¬ x ¬ 3
x < 1 lub x > 3.
Obliczyć prawdopodobieństwo P (1.5 ¬ X ¬ 2.5) i następnie wartość średnią oraz odchylenie
standardowe zmiennej X.
1
Zbiór zadań dotyczy kierunku informatyku w trybie niestacjonarnym (studia zaoczne).
6. Niech będą dane zmiennej losowe X i Y o łącznej gęstości danej wzorem
(
8xy dla 0 ¬ x ¬ y ¬ 1
0 w przypadku przeciwnym.
f (x, y) =
Wykazać, że gęstość brzegowa zmiennej losowej X ma postać
(
fx (x) =
4x(1 − x2 ) dla 0 ¬ x ¬ 1
0
w przypadku przeciwnym,
natomiast gęstość brzegowa zmiennej losowej Y
(
fy (y) =
4y 3 dla 0 ¬ y ¬ 1
0 w przypadku przeciwnym.
Wykazać, że gęstość warunkowa zmiennej losowej X pod warunkiem, że zmienna losowa Y przyjęła ustaloną wartość y ma postać
(
2x
y2
f (x|y) =
0
dla 0 ¬ x ¬ y
w przypadku przeciwnym.
oraz że gęstość warunkowa zmiennej losowej Y pod warunkiem, że zmienna losowa X przyjęła
ustaloną wartość x wynosi
(
f (y|x) =
2y
1−x2
0
gdy x ¬ y ¬ 1
w przypadku przeciwnym.
Podać gęstość warunkową zmiennej losowej X pod warunkiem, że Y = 1/2.
7. Udowodnić niezależność zmiennych losowych X i Y o łącznej gęstości
(
f (x, y) =
4
3 x(1
+ y) gdy 0 ¬ x ¬ 1 oraz 0 ¬ y ¬ 1
0
w przypadku przeciwnym.
8. Rzucamy 30 razy kostką do gry. Podać oszacowanie prawdopodobieństwa, że suma wyrzuconych
oczek jest liczbą między 100 a 110.
9. Losowy błąd pomiaru pewnej wielkości ma rozkład o wartości przeciętnej α1 = 0 (brak błędu systematycznego) i odchyleniu standardowym 0.08. Obliczyć prawdopodobieństwo, że błąd średniej
100 pomiarów nie przekroczy (co do wartości bezwzględnej) 0.1.
10. Prawdopodobieństwo, że w czasie T przestanie świecić jedna żarówka jest równe 0.1. Obliczyć,
prawdopodobieństwo, że w czasie T spośród 100 przestanie świecić od 7 do 19 żarówek przy
założeniu, że żarówki przepalają się niezależnie.
11. W centrali telefonicznej znajduje się n linii działających niezależnie. Prawdopodobieństwo, że
dowolna ustalona linia jest zajęta, jest równe 0.1. Jakie powinno być n, aby prawdopodobieństwo
tego, że co najmniej 7 linii jest zajętych było równe 0.95?
12. Rozkład codziennego dojazdu do pracy jest w przybliżeniu rozkładem jednostajnym na odcinku
[0.5g, 1g], wiadomo też że czasy dojazdów w różne dni są niezależne. Ile w przybliżeniu wynosi
prawdopodobieństwo zdarzenia, że średni dzienny dojazd w ciagu 30 dni przekroczy 0.8g = 48min
(lub równoważnie, że dojazdy w ciągu 30 dni zajmą więcej niż dobę)?
13. Wzrost dorosłych Polaków jest cechą o rozkładzie normalnym µ = 176 cm i σ = 6.5 cm. Jakie
jest prawdopodobieństwo, że średnia X̄ dla prostej próby losowej o liczności 100 różni się od
prawdziwej wartości µ o więcej niż 1.5 cm.