Analiza widmowa cz 1

POLITECHNIKA RZESZOWSKA • KATEDRA METROLOGII I SYSTEMÓW DIAGNOSTYCZNYCH
LABORATORIUM PRZETWARZANIA SYGNAŁÓW
ANALIZA WIDMOWA SYGNAŁÓW (1)
Podstawowe charakterystyki widmowe, aliasing
I. Cel ćwiczenia
Celem ćwiczenia jest przypomnienie podstawowych charakterystyk widmowych sygnałów,
problemów związanych ze zjawiskiem odbicia widma (aliasing) oraz przykładów
zastosowania prostego i odwrotnego dyskretnego przekształcenia Fouriera.
II. Zagadnienia
1. Prosta i odwrotna DFT, podstawowe zależności, właściwości. Rozdzielczość
częstotliwościowa DFT.
2. Widmo amplitudowe, widmo mocy, gęstość widmowa mocy: definicje, estymatory,
przykładowe przebiegi dla typowych sygnałów zdeterminowanych (sinus, prostokąt, piła)
i losowych (szum biały). Widmo jednostronne i dwustronne.
3. Próbkowanie równomierne sygnałów, częstotliwość Nyquista. Dobór częstotliwości
próbkowania. Nakładanie się widm (aliasing) i sposoby eliminacji tego zjawiska.
III. Przebieg ćwiczenia
Do wykonania ćwiczenia wykorzystany zostanie komputer PC i programy: DASYLab,
LabVIEW.
1. Podstawowe charakterystyki widmowe
1.1. Zbudować w programie DASYLab układ przedstawiony na rys. 1. Funkcje modułów:
Silder00 – Max. Value 1000, Resolution 1000, Unit Hz; (regulacja częstotliwości w
zakresie 0 - 1000 Hz z rozdzielczością 1 Hz), Generator00 – Modulation, Frequency
modulation, Sine, Amplitude: 4V, Offset: 0; FFT00 – Real FFT of a Real Signal; Y/t
Chart00-01 – Auto Scaling.
Rys. 1. Układ do wyznaczania charakterystyk widmowych i obserwacji zjawiska aliasingu
1.2. Ustawić w menu programu Experiment/Experiment Setup opcje: Sample Rate/Ch =
1024 Hz, Block Size = 1024. Dla przebiegu sinusoidalnego o częstotliwości
kilkudziesięciu Hz (np. 50 Hz) zmieniając opcje modułu FFT00 wyznaczyć i
porównać przebiegi:
• jednostronnego widma amplitudowego (Amplitude Spectrum),
• dwustronnego widma amplitudowego (Fourier Analysis),
• widma mocy (Power Spectrum),
• gęstości widmowej mocy (Power Density Spectrum).
Opracowanie: dr inż. R. Hanus
-1-
Zwrócić uwagę na liczbę, amplitudę i położenie uzyskanych prążków na osi
częstotliwości, zakresy tej osi oraz jednostki dla każdego typu widma. Dla widma
dwustronnego (Fourier Analysis) sprawdzić efekty działania opcji Symmetrical Axis i
porównać zakresy osi częstotliwości. Obliczyć i sprawdzić przy pomocy kursorów
rozdzielczość widma.
1.3. Obserwacje z punktu 1.2 powtórzyć dla nastaw: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block
Size = 512 i tej samej częstotliwości sygnału z generatora.
1.4. Do sygnału wygenerowanego jak w p. 1.2 dodać składową stałą o amplitudzie 2 V
(Generator00 – Offset = 2V) i ponownie wyznaczyć oraz porównać poszczególne
charakterystyki widmowe.
1.5
2.
Wyniki pomiarów z punktów 1.2÷1.4 zestawić w formie tabeli zawierającej: parametry
sygnału oraz amplitudy i częstotliwości prążków dla poszczególnych typów widma.
Aliasing (nakładanie, odbicie) widma
2.1. W układzie z rysunku 1 (dla nastaw: Sample Rate/Ch = 1024 Hz, Block Size = 1024)
zmieniając przy pomocy zadajnika Silder00 częstotliwość przebiegu sinusoidalnego bez
składowej stałej w zakresie 0 - 1000 Hz zaobserwować zjawisko aliasingu widma
amplitudowego przy zwiększeniu częstotliwości sygnału powyżej połowy
częstotliwości próbkowania. Zwrócić także uwagę na dokładność odwzorowania na
podstawie dyskretnych próbek przebiegu czasowego sygnału. W razie potrzeby
przeskalować oś X modułu Y/t Chart00 (opcje: Zoom lub X Scaling: Zoomed Width)
tak, aby w oknie wykresu widoczne było tylko 2 – 3 okresy przebiegu. Obserwacje
powtórzyć dla innych nastaw częstotliwości próbkowania (w menu
Experiment/Experiment Setup/Driver/Sampling rate/Ch), np. 512 i 2048 Hz.
2.2. Dla częstotliwości próbkowania 1024 Hz i częstotliwości sygnału np. 700 Hz obliczyć i
sprawdzić doświadczalnie dla jakiej częstotliwości w widmie amplitudowym wystąpi
prążek odbity wskutek aliasingu.
2.3. Dla przebiegu prostokątnego i częstotliwości próbkowania 1024 Hz zaobserwować
zmiany przebiegu widma amplitudowego przy stopniowym zwiększaniu częstotliwości
sygnału. Obliczyć i sprawdzić doświadczalnie dla jakiej częstotliwości sygnału pojawi
się aliasing np. 7 harmonicznej.
2.4. Dla określonej częstotliwości sygnału prostokątnego (np. 20 Hz) dobrać minimalną
częstotliwość próbkowania aby w widmie amplitudowym uzyskać prawidłowe (bez
aliasingu) odwzorowanie kolejno:3, 7, 11 harmonicznej.
2.5. Zapoznać się z programem demonstracyjnym Vibrations Analysis.vi (LabVIEW 7.1/
Open / Examples / Analyzing and Processing Signals / Signal Processing / Vibration
Analysis.vi), ilustrującym błędne odwzorowanie widma spowodowane aliasingiem.
2.6. Zbudować układ wg rysunku 2. Funkcje modułów: Silder00-02 – Max. Value 5000,
Resolution 5000, Unit Hz; (regulacja częstotliwości w zakresie 0 - 5000 Hz z
rozdzielczością 1 Hz), Generator00 – Function group: Frequency Modulation (FM),
Blok 0: Sine, 4V, Blok 1: Sine 3V, Blok 2: Sine 2V; Arithmetic00 – Operation with two
or more Operands, Add; FFT00 – Real FFT of a Real Signal, Amplitude Spectrum; Y/t
Chart00, Y/t Chart01 – Auto Scaling.
2.7. Dla nastaw zadajników Silder00-02 podanych przez prowadzącego zinterpretować
otrzymane widmo amplitudowe sygnału sumarycznego.
-2-
Rys. 2. Układ do badania zjawiska odbicia widma.
3. Pomiar częstotliwości z wykorzystaniem analizy widmowej sygnałów
3.1. Połączyć układ przedstawiony na rys. 3. Funkcje modułów: Generator00 – Without
Modulation, Blok 1: Sine, Frequency: 10 Hz, Amplitude: 4V, Offset: 0; Blok 2: Noise,
Amplitude: 9V, Offset: 0. Formula00 - IN(0) + IN(1); FFT00 – Real FFT of a Real
Signal, Amplitude Spectrum; Y/t Chart00 -01– Auto Scaling, Statistics00 - Max
Position, Running; Dig.Meter00 - Last Value.
Rys. 3. Układ wirtualnego miernika częstotliwości.
3.2. Ustawić w menu programu Experiment/Experiment Setup opcje: Sample Rate/Ch =
1024 Hz, Block Size = 1024. Rozwinąć okna wizualizacji wyników. W oknie modułu
Y/t Chart00 przyciskiem Multiple Charts zmienić typ wykresu na wielokrotny. W
oknie modułu Y/tChart01 wybrać typ linii przebiegu Bar (wykres słupkowy).
3.3. Uruchomić program i zaobserwować przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości.
Zwrócić uwagę, że miernik Dig.Meter00 wyświetla wartość częstotliwości określoną na
podstawie lokalizacji przez moduł Statistics00 położenia prążka o największej
amplitudzie w widmie sygnału sumarycznego. Zrealizowany układ może więc służyć do
pomiaru częstotliwości składnika okresowego ukrytego w szumie - zwrócić uwagę, że
uzyskuje się poprawne wyniki mimo amplitudy szumu trzykrotnie większej od
amplitudy sinusoidy. Przy tak dużym zaszumieniu z trudem można zauważyć
okresowość w przebiegu czasowym sygnału sumarycznego.
3.4. W module Generator00 zmienić nastawy dla Bloku 1: Sine, Frequency: 100 Hz,
Amplitude: 4V, Offset: 0. Uruchomić program, zaobserwować przebiegi w dziedzinie
czasu i częstotliwości oraz wskazanie miernika Dig.Meter00. Określić rozdzielczość
widma.
3.5. Do sygnału sinusoidalnego dodać składową stałą (moduł Generator00 - Blok 1: Offset:
5V). Zaobserwować i wyjaśnić wskazanie miernika Dig.Meter00. W module
FFT00 uaktywnić opcję Suppress DC Component i powtórzyć doświadczenie.
-3-
3.6. W module Generator00 zmienić nastawy dla Bloku 1: Sine, Frequency: 100,5 Hz,
Amplitude: 4V, Offset: 0. Dobrać długość bloku danych (Block Size) aby uzyskać
rozdzielczość 0,5 Hz. Uruchomić program i sprawdzić poprawność wskazań miernika.
3.7. Doświadczenie z punktu 3.5 powtórzyć dla częstotliwości sinusoidy 100,25 Hz.
Zwrócić uwagę na wyraźne wydłużenie czasu uzyskania wyniku. Co może być tego
przyczyną?
4. Analiza i synteza sygnałów przy wykorzystaniu DFT/IDFT
4.1. Zbudować układ wg rys. 4. Funkcje modułów: Silder00 – Min Value: 0, Max. Value:
512, Resolution: 51, Unit: Hz; VarSet00 - ${VAR_1}; Generator00 – Sawtooth, 10Hz,
4V; FFT00 – Complex FFT of a Real Signal; FFT-Filter00 – Blok 1 i 2: Frequency
from 0 to ${VAR_1}, Cut out rest of spectrum, Mirror amplituds from interval;
FFT01 – Complex FFT of a Complex Signal, Inverse Fourier Transform, FFT02 –
Real FFT of a Real Signal, Amplitude Spectrum (obydwa kanały); Y/t Chart00-01 –
Auto Scaling.
Rys. 4. Układ do obserwacji analizy i syntezy sygnałów przy zastosowaniu DFT
4.2. Uruchomić program i zmniejszając suwakiem częstotliwość od wartości maksymalnej
zaobserwować przebiegi w dziedzinie czasu i częstotliwości. Zwrócić uwagę na efekty
syntezy sygnału piłokształtnego przy redukcji liczby składowych harmonicznych. W
szczególności zwrócić uwagę na przebiegi, które uzyskamy przy syntezie sygnału z
trzech pierwszych, dwóch i jednej składowej widma.
4.3. Obserwacje z pkt. 4.2 powtórzyć dla sygnału prostokątnego. Zarejestrować
przykładowe przebiegi.
IV. Pytania kontrolne
1. Przedstawić twierdzenie o próbkowaniu.
2. Wyja snić zasady doboru częstotliwości próbkowania sygnałów przenoszących informację
w dziedzinie czasu i częstotliwości.
3. Na czym polega zjawisko aliasingu (odbicia widma) sygnałów i jaka jest przyczyna jego
powstawania?
4. Porównać efekty zjawiska aliasingu sygnałów w dziedzinie czasu i częstotliwości.
5. Jak można zapobiegać powstawaniu zjawiska aliasingu sygnałów?
6. Dany jest przebieg prostokątny o częstotliwości 20 Hz. Dobrać częstotliwość
próbkowania, aby uzyskać prawidłowe odwzorowanie w dziedzinie częstotliwości
pierwszych 7 składowych widma tego sygnału.
7. Dany jest przebieg harmoniczny będący sumą sinusoid o częstotliwościach: 30, 60 i 180
Hz oraz jednakowych amplitudach. Narysować przebieg widma amplitudowego
(jednostronnego) po spróbkowaniu ww. przebiegu z częstotliwością 100 Hz.
-4-
8. Podać zależności, na podstawie których wyznacza się widmo amplitudowe, widmo mocy
i gęstość widmową mocy sygnału x(n), jeśli w wyniku działania DFT uzyskamy ciąg
zespolonych wartości X(m) = Xreal(m) + jXimag(m).
9. Od czego zależy rozdzielczość częstotliwościowa DFT?
10. Sygnał sinusoidalny o częstotliwości 100 Hz spróbkowano z częstotliwością 1 kHz
zbierając 1000 próbek, a następnie stosujac DFT wyznaczono widmo amplitudowe tego
sygnału. Określić odstęp próbkowania, liczbę próbek na okres sygnału oraz rozdzielczość
otrzymanego widma.
11. Jak wygląda teoretyczne widmo amplitudowe przebiegu sinusoidalnego i szumu białego?
Porównać widmo szumu wyznaczone przy zastosowaniu DFT z teoretycznym.
12. Do syntezy przebiegu piłokształtnego wykorzystano dwa pierwsze składniki widma
amplitudowego tego sygnału. Jaki przebieg czasowy otrzymano?
Literatura
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Lyons R.G.: Wprowadzenie do cyfrowego przetwarzania sygnałów. WKiŁ, Warszawa
2000.
Smith S.W.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Praktyczny przewodnik dla inżynierów
i naukowców. Wyd. BTC, Warszawa 2007.
Ozimek E.: Podstawy teoretyczne analizy widmowej sygnałów. PWN, Warszawa 1992.
Zieliński T.P.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Od teorii do zastosowań. WKiŁ,
Warszawa 2005.
Szabatin J., Podstawy teorii sygnałów. WKiŁ, Warszawa 2007.
Wojtkiewicz J.: Cyfrowe przetwarzanie sygnałów. Wyd. Pol. Warszawskiej, Warszawa
1996.
-5-