Analiza funkcjonalna II - Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki

POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA
Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki
Kierunek: Matematyka
Studia: Stacjonarne
Rok: Rok I, Semestr II
II stopnia
Prowadzący:
Przedmiot dla specjalności:
Dr Piotr Puchała
Matematyka finansowa i
Karta opisu przedmiotu
Wykład
Ćwiczenia
Laboratorium
Projekt
Seminarium
Egzamin
ECTS
ubezpieczeniowa
Analiza funkcjonalna II
30
45
-
-
-
NIE
5
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotów Analiza matematyczna I, Analiza Matematyczna II,
Analiza Matematyczna III, Analiza Funkcjonalna I.
Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Algebra liniowa i geometria analityczna.
Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Topologia.
Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Równania różniczkowe.
CEL PRZEDMIOTU
Zapoznanie studentów z: niektórymi klasycznymi twierdzeniami analizy funkcjonalnej, elementami teorii optymalizacji w przestrzeniach preHilberta i przestrzeniach unormowanych. Zapoznanie studentów z zagadnieniami dotyczącymi słabej zbieżności i słabych topologii w
przestrzeniach Banacha . Zapoznanie studentów z niektórymi zastosowaniami analizy funkcjonalnej.
Zapoznanie studentów z zagadnieniami dotyczącymi słabej zbieżności i słabych topologii w przestrzeniach Banacha .
Zapoznanie studentów z niektórymi zastosowaniami analizy funkcjonalnej.
Treści programowe - Wykład
Wprowadzenie. Wskazanie potrzebnych w dalszym ciągu wiadomości z algebry liniowej i analizy. Przestrzenie unormowane skończenie
wymiarowe: równoważność norm, zbieżność w normie i po współrzędnych, zwartość, lokalna zwartość, uniwersalność przestrzeni R^n.
Przestrzenie Hilberta, bazy ortonormalne w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach Hilberta, uniwersalność przestrzeni l^2.
Zagadnienie najlepszej aproksymacji: sformułowanie podstawowych problemów w języku przestrzeni Hilberta. Pojęcie najlepszego
przybliżenia, błędu przybliżenia, zbiór proksymalny, zbiór Czebyszewa. Zbiory wypukłe, w tym stożki, w przestrzeni liniowej.
Twierdzenie o najlepszym przybliżeniu z wypukłego, domkniętego podzbioru przestrzeni Hilberta. Pojęcie ciągu minimalizującego, częściowa
charakterystyka najlepszego przybliżenia.
Rozwiązanie niektórych problemów optymalizacyjnych w przestrzeniach Hilberta. Przestrzenie unormowane ściśle wypukłe. Zagadnienie
najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unormowanych.
Baza Schaudera. Funkcjonały liniowe. Przestrzenie sprzężone. Zanurzenie kanoniczne, przestrzenie refleksywne.
Przykłady przestrzeni sprzężonych, twierdzenie Riesza – Frécheta. Ogólny kształt funkcjonału liniowego na klasycznych przestrzeniach.
Przykłady przestrzeni refleksywnych.
Twierdzenie Hahna – Banacha. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Wnioski z tych twierdzeń.
Słaba i *słaba zbieżność w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Mazura o silnej zbieżności ciągów kombinacji wypukłych. Słaba
zwartość w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Banacha- Alaoglu. Twierdzenie Kreina – Milmana.
Treści programowe - Ćwiczenia
Różne rodzaje norm. Równoważność norm w przestrzeniach skończenie wymiarowych. Twierdzenie o istnieniu najlepszego przybliżenia w
przestrzeniach skończenie wymiarowych.
Suma Minkowskiego zbiorów w przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie przestrzeni unormowanych nieskończenie wymiarowych. Iloczyny
skalarne. Przestrzenie Hilberta. Ortonormalność układu Rademachera przestrzeni L^2.
Wielomiany Legendre’a, Hermite’a i Laguerre’a. Zastosowanie twierdzenia o rzucie prostopadłym. Zbiory wypukłe i ich własności.
Zbiory wypukłe i ich własności. Problem najlepszego przybliżenia w przestrzeni pre-Hilberta. Zbiór proksymalny i jego własności.
Stożki i ich podstawowe własności. Porządek częściowy wyznaczony przez stożek. Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych w
przestrzeniach skończenie wymiarowych.
Elementy geometrii przestrzeni Banacha. Podstawowe własności przestrzeni unormowanych ściśle wypukłych.
Funkcjonały liniowe ograniczone. Przestrzenie sprzężone do niektórych klasycznych przestrzeni.
Liniowość zanurzenia kanonicznego. Refleksywność przestrzeni unormowanej skończenie wymiarowej. Ogólny kształt funkcjonału liniowego
na niektórych klasycznych przestrzeniach.
Zastosowanie twierdzenia Hahna – Banacha: ogólny kształt funkcjonału liniowego na niektórych klasycznych przestrzeniach. Zastosowanie
twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych.
Charakterystyka słabej i *słabej zbieżności w konkretnych przestrzeniach Banacha. Lemat Riemanna – Lebesgue’a.
Lemat Schura. Zastosowanie słabej i *słabej zbieżności. Refleksywność klasycznych przestrzeni. Rola refleksywności w teorii optymalizacji.
Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha: twierdzenie o odwzorowaniu otwartym, twierdzenia o o operatorze odwrotnym i wykresie
domkniętym.
Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym i niektóre jego zastosowania.
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN Warszawa 1989
W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN Warszawa 1970
S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 2007
A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969
A.V. Balakrishnan, Analiza funkcjonalna stosowana, PWN Warszawa 1992
K.Goebel, W.A. Kirk, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1999
S.Kurcyusz, Matematyczne podstawy teorii optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1982
D.G.Luenberger, Teoria optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1974
S.Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1974