Analiza Funkcjonalna II

Nazwa przedmiotu:
Analiza Funkcjonalna II
Functional Analysis II
Kierunek:
Matematyka
Rodzaj przedmiotu:
Poziom kwalifikacji:
Semestr:
Obowiązkowy dla wszystkich
specjalności
II stopnia
II
Rodzaj zajęć:
Liczba godzin/tydzień:
Liczba punktów:
wykład, ćwiczenia
2W, 3C
5 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C1. Zapoznanie studentów z niektórymi klasycznymi twierdzeniami analizy funkcjonalnej.
C2. Zapoznanie studentów z elementami teorii optymalizacji w przestrzeniach pre-Hilberta
i przestrzeniach unormowanych.
C3. Zapoznanie studentów z zagadnieniami dotyczącymi słabej zbieżności i słabych topologii w
przestrzeniach Banacha .
C4. Zapoznanie studentów z niektórymi zastosowaniami analizy funkcjonalnej.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotów Analiza
matematyczna I, Analiza Matematyczna II, Analiza Matematyczna III, Analiza Funkcjonalna I.
2. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Algebra liniowa i
geometria analityczna.
3. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Topologia.
4. Opanowanie efektów kształcenia wymaganych do złożenia egzaminu z przedmiotu Równania
różniczkowe.
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK 1 – student wymienia i charakteryzuje przestrzenie sprzężone do klasycznych przestrzeni Banacha,
charakteryzuje funkcjonały liniowe na klasycznych przestrzeniach Banacha.
EK 2 – student formułuje twierdzenia Hahna-Banacha, twierdzenia Banacha o wykresie domkniętym,
odwzorowaniu otwartym, operatorze odwrotnym i szkicuje ich dowody .
EK 3 – student definiuje zbieżność słabą i *słabą, oblicza słabe granice, formułuje twierdzenia BanachaAlaoglu i Kreina-Milmana ze szkicami dowodów.
EK 4 – student wymienia podstawowe zastosowania analizy funkcjonalnej, identyfikuje działy matematyki
korzystające z zastosowań, wyjaśnia rolę twierdzeń w zastosowaniach.
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć – WYKŁADY
Liczba
godzin
W 1, 2 – Wprowadzenie. Wskazanie potrzebnych w dalszym ciągu wiadomości z algebry
liniowej i analizy. Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe:
równoważność norm, zbieżność w normie i po współrzędnych, zwartość, lokalna
zwartość, uniwersalność przestrzeni ℝ௡ .
4
W 3, 4 – Przestrzenie Hilberta, bazy ortonormalne w nieskończenie wymiarowych
przestrzeniach Hilberta, uniwersalność przestrzeni ݈ ଶ .
4
W 5– Zagadnienie najlepszej aproksymacji: sformułowanie podstawowych problemów w
języku przestrzeni Hilberta. Pojęcie najlepszego przybliżenia, błędu przybliżenia,
zbiór proksymalny, zbiór Czebyszewa. Zbiory wypukłe, w tym stożki, w przestrzeni
liniowej.
2
W 6 – Twierdzenie o najlepszym przybliżeniu z wypukłego, domkniętego podzbioru
przestrzeni Hilberta. Pojęcie ciągu minimalizującego, częściowa charakterystyka
najlepszego przybliżenia.
2
W 7,8 – Rozwiązanie niektórych problemów optymalizacyjnych w przestrzeniach
Hilberta. Przestrzenie unormowane ściśle wypukłe. Zagadnienie najlepszej
aproksymacji w przestrzeniach unormowanych.
4
W 9 – Baza Schaudera. Funkcjonały liniowe. Przestrzenie sprzężone. Zanurzenie
kanoniczne, przestrzenie refleksywne.
2
W 10, 11 – Przykłady przestrzeni sprzężonych, twierdzenie Riesza – Frécheta. Ogólny
kształt funkcjonału liniowego na klasycznych przestrzeniach. Przykłady przestrzeni
refleksywnych.
4
W 12, 13 – Twierdzenie Hahna – Banacha. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych.
Wnioski z tych twierdzeń.
4
W 14, 15 –Słaba i *słaba zbieżność w przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie
Mazura o silnej zbieżności ciągów kombinacji wypukłych. Słaba zwartość w
przestrzeniach unormowanych. Twierdzenie Banacha- Alaoglu. Twierdzenie Kreina
– Milmana.
4
2
Forma zajęć – ĆWICZENIA
Liczba
godzin
C 1 –Różne rodzaje norm. Równoważność norm w przestrzeniach skończenie
wymiarowych. Twierdzenie o istnieniu najlepszego przybliżenia w przestrzeniach
skończenie wymiarowych.
3
C2 –Suma Minkowskiego zbiorów w przestrzeni liniowej. Podprzestrzenie przestrzeni
unormowanych nieskończenie wymiarowych. Iloczyny skalarne. Przestrzenie
Hilberta. Ortonormalność układu Rademachera przestrzeni ‫ܮ‬ଶ .
3
C 3– Wielomiany Legendre’a, Hermite’a i Laguerre’a). Zastosowanie twierdzenia o rzucie
prostopadłym. Zbiory wypukłe i ich własności.
3
C4– Zbiory wypukłe i ich własności. Problem najlepszego przybliżenia w przestrzeni preHilberta. Zbiór proksymalny i jego własności.
3
C5 – Stożki i ich podstawowe własności. Porządek częściowy wyznaczony przez stożek.
Twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych w przestrzeniach skończenie
wymiarowych.
3
C 6 - Elementy geometrii przestrzeni Banacha. Podstawowe własności przestrzeni
unormowanych ściśle wypukłych.
3
C 7 – Funkcjonały liniowe ograniczone. Przestrzenie sprzężone do niektórych klasycznych
przestrzeni.
3
C 8 - Liniowość zanurzenia kanonicznego. Refleksywność przestrzeni unormowanej
skończenie wymiarowej. Ogólny kształt funkcjonału liniowego na niektórych
klasycznych przestrzeniach.
3
C 9 –Zastosowanie twierdzenia Hahna – Banacha: ogólny kształt funkcjonału liniowego na
niektórych klasycznych przestrzeniach c.d.
3
C 10 – Zastosowanie twierdzenia o oddzielaniu zbiorów wypukłych.
3
C 11 –Charakterystyka słabej i *słabej zbieżności w konkretnych przestrzeniach
Banacha. Lemat Riemanna – Lebesgue’a.
3
C 12 – Lemat Schura. Zastosowanie słabej i *słabej zbieżności. Refleksywność klasycznych
przestrzeni.
3
C 13 – Refleksywność klasycznych przestrzeni c.d. Rola refleksywności w teorii
optymalizacji. Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha: twierdzenie o
odwzorowaniu otwartym.
3
C 14 –Operatory liniowe w przestrzeniach Banacha: twierdzenia o o operatorze
3
3
odwrotnym i wykresie domkniętym.
C 15 –Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym i niektóre jego zastosowania.
3
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład z wykorzystaniem rzutnika pisma (przykłady i dowody twierdzeń przeliczane na tablicy)
2. – ćwiczenia tablicowe
SPOSOBY OCENY ( F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
F1. – ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń
F2. – ocena aktywności podczas zajęć
P1. – ocena umiejętności rozwiązywania zadań i problemów - kolokwium
P2. – ocena opanowania materiału podanego na wykładzie –zaliczenie wykładu
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
Godziny kontaktowe z prowadzącym
30W 45C→75h
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
10 h
Przygotowanie do ćwiczeń
20 h
Przygotowanie do kolokwiów
15 h
Obecność na konsultacje
5h
Suma
125 h
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS
5 ECTS
DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
3,2 ECTS
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i
projektowych
3,4 ECTS
4
LITERATURA PODSTAWOWA
Podstawowym narzędziem studenta w nauce przedmiotu są notatki z wykładów i ćwiczeń.
J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN Warszawa 1989
W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej, PWN Warszawa 1970
S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa 2007
LITERATURA UZUPEŁNIAJĄCA
A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, PWN, Warszawa 1969
A.V. Balakrishnan, Analiza funkcjonalna stosowana, PWN Warszawa 1992
K.Goebel, W.A. Kirk, Zagadnienia metrycznej teorii punktów stałych, Wydawnictwo Uniwersytetu
Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1999
S.Kurcyusz, Matematyczne podstawy teorii optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN
Warszawa 1982
D.G.Luenberger, Teoria optymalizacji, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN Warszawa 1974
S.Rolewicz, Analiza funkcjonalna i teoria sterowania, seria Biblioteka Naukowa Inżyniera, PWN
Warszawa 1974
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. Piotr Puchała, [email protected]
MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Efekt
kształcenia
Odniesienie danego
efektu do efektów
zdefiniowanych
dla kierunku
Cele
przedmiotu
Treści
programowe
Narzędzia
dydaktyczne
Sposób
oceny
5
Matematyka
EK1
EK2
EK3
EK4
K_W01, K_W02,
K_W05,
K_U01, K_U04,
K_U08, K_U09,
K_K01, K_K02
K_W01, K_W02,
K_W05,
K_U01, K_U03,
K_U04, K_U09, K_U14
K_K01, K_K02
K_W02, K_W05,
K_W07,
K_U04, K_U08,
K_U09, K_K01, K_K02
K_W01, K_W02,
K_W05, K_W07,
K_U04, K_U08, K_U09
K_K01, K_K02
C1, C3
W6,7,11,12
C1,11,12,13
1, 2
F1,F2,P1
P2
C1
W1,2,5
C6,7
1, 2
F1, F2
P1
C1, C2
W7,8
C8,9, 10
1, 2
F1, F2
P1, P2
C1,C4
W3,4,8,13,14,15
C2,3,4,5,10,14,15
1, 2
F1, F2
P1, P2
II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY
Na ocenę 2
Na ocenę 3
Na ocenę 4
Na ocenę 5
Student formułuje
twierdzenia HahnaBanacha, o wykresie
domkniętym,
odwzorowaniu
otwartym,
operatorze
odwrotnym, szkicuje
ich dowody.
Student formułuje
twierdzenia HahnaBanacha, o wykresie
domkniętym,
odwzorowaniu
otwartym, operatorze
odwrotnym, podaje ich
dowody, wymienia
zastosowania.
Efekt 1
Student nazywa
Student nie
opanował materiału twierdzenia HahnaBanacha, o wykresie
na ocenę 3.
domkniętym,
odwzorowaniu
otwartym, operatorze
odwrotnym, opisuje
ich treść.
Efekt 2
Student wymienia
Student wymienia
Student nie
opanował materiału klasyczne przestrzenie klasyczne
Banacha i identyfikuje przestrzenie
na ocenę 3.
przestrzenie do nich
Banacha i
przestrzenie do nich
sprzężone.
sprzężone ze
szkicem dowodu.
Student wymienia
klasyczne przestrzenie
Banacha i przestrzenie
do nich sprzężone z
dowodem,
charakteryzuje
funkcjonały liniowe na
nich.
6
Efekt 3
Student podaje
Student nie
opanował materiału definicję słabych
zbieżności i relacje
na ocenę 3.
między nimi.
Student podaje
definicję słabych
zbieżności, dowodzi
ich własności, oblicza
niektóre granice,
formułuje
podstawowe
twierdzenia.
Student podaje
definicję słabych
zbieżności, dowodzi
ich własności, oblicza
niektóre granice,
formułuje
podstawowe
twierdzenia i podaje
ich dowody.
Efekt 4
Student wymienia
Student nie
opanował materiału najważniejsze
zastosowania analizy
na ocenę 3.
funkcjonalnej w innych
działach matematyki.
Student wymienia
zastosowania analizy
funkcjonalnej w
innych działach
matematyki,
formułuje
twierdzenia, na
których się te
zastosowania
opierają, stosuje
najprostsze metody
w wybranych
przypadkach.
Student wymienia
zastosowania analizy
funkcjonalnej w innych
działach matematyki,
formułuje i dowodzi
twierdzenia, na
których się te
zastosowania opierają,
stosuje metody w
zakresie jak na
zajęciach.
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej:
www.wimii.pcz.pl
2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego
przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki:
www.im.pcz.pl
7