Analiza funkcjonalna
Transkrypt
Analiza funkcjonalna
POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Karta opisu przedmiotu Egzamin ECTS Bez specjalności Seminarium Dr Grzegorz Biernat Projekt Przedmiot dla specjalności: Laboratorium I stopnia Prowadzący: Ćwiczenia Studia: Stacjonarne Rok: Rok II, Semestr IV Wykład Kierunek: Matematyka Analiza funkcjonalna 30 30 - - - TAK 5 WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z zakresu szeregów (przy szeregach w przestrzeniach unormowanych). 2. Wiedza z zakresu ciągłości funkcji (przy ciągłości funkcjonałów). 3. Wiedza z zakresu przestrzeni liniowej 4. Wiedza z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. CEL PRZEDMIOTU C1. Zapoznanie studentów z przestrzeniami unormowanymi oraz z operatorami i funkcjonałami liniowymi. C2. Zapoznanie studentów z przestrzeniami ciągów i przestrzeniami funkcyjnymi. C3. Zapoznanie studentów z przestrzeniami euklidesowymi i unitarnymi. C4. Zapoznanie studentów z przestrzeniami Hilberta, bazami ortonormalnymi w tych przestrzeniach oraz szeregami Fouriera. Treści programowe - Wykład W 1 – Przestrzenie unormowane. Ciągłość normy i działań liniowych. Przykłady. W 2 – Przestrzenie Banacha. Przykłady. W 3 – Szeregi w przestrzeniach unormowanych. W 4 – Przestrzenie unormowane skończenie wymiarowe. Równoważność norm. W 5 – Zbiory zwarte w przestrzeniach unormowanych. Lemat Riesza. W 6– Przestrzenie euklidesowe i unitarne. Nierówność Schwarza. Ciągłość iloczynu skalarnego. W 7– Przestrzenie Hilberta. Przykłady. W 8 – Wektory ortogonalne. Twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie o rzucie ortogonalnym. W 9 – Układy ortonormalne. Szereg Fouriera. W 10– Nierówność Bessela i tożsamość Parsevala. Układy zupełne i zamknięte. W 11 – Operatory liniowe ograniczone. Norma operatora. W12–Przestrzeń operatorów liniowych ograniczonych. W13 – Twierdzenie Banacha – Steinhausa i wnioski. W 14 – Operator odwrotny. Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym. W 15 – Spectrum operatora liniowego ograniczonego. Treści programowe - Ćwiczenia C 1 – Bezpośrednie sprawdzanie równoważności norm. C 2 – Dowodzenie nierówności Höldera. C 3,C 4 – Sprawdzanie, czy dana przestrzeń ciągowa lub funkcyjna jest przestrzenią Banacha. C 5 – Ośrodkowość wybranych przestrzeni. C 6– Sprawdzanie, czy dana przestrzeń ciągowa lub funkcyjna jest przestrzenią Hilberta. C 7 - kolokwium C 8 – Wyznacznik Grama. Badanie jego własności. C 9 – Obliczanie odległości punktu od hiperpłaszczyzny. C 10 – Ortonormalizacja układów wektorów. C 11– Układy ortonormalne w klasycznych przestrzeniach. C 12 – Rozwijanie w szereg Fouriera funkcji jednej zmiennej. C 13 – Zastosowanie tożsamości Parsevala do obliczania sum wybranych szeregów liczbowych. C 14 – Obliczanie norm wybranych operatorów liniowych ograniczonych. Obliczanie wartości własnych wybranych operatorów liniowych ograniczonych C15 – kolokwium LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna. Monografie Matematyczne 49. PWN, Warszawa 1969 J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej. PWN, Warszawa 1989 W. Kołodziej, Wybrane rozdziały analizy matematycznej. PWN, Warszawa 1970.