Matura 2017 - Ciągi cz II

Materiał powtarzany w II etapie
II 4. Ciągi
3𝑛 − 1, 𝑑𝑙𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ
1. Wyznacz sześć początkowych wyrazów ciągu 𝑎𝑛 = {𝑛+1
, 𝑑𝑙𝑎 𝑛 𝑛𝑖𝑒𝑝𝑎𝑟𝑧𝑦𝑠𝑡𝑦𝑐ℎ
𝑛−2
2. Które wyrazy ciągu 𝑎𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛 − 2 są równe 1?
3. Pomiędzy liczby 7 i 5 wstaw 5 liczb tak, aby tworzyły ciąg arytmetyczny. Wypisz te liczby.
4. Uzasadnij, że liczby
4
,
1
√5−1 √5+2
, √5 − 5 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.
5. Oblicz sumę stu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (𝑏𝑛 ), w którym
𝑏1 =
𝜋
2
i iloraz 𝑞 = −√2.
6. Oblicz 𝑥 wiedząc, że liczby 4, 𝑥 − 5, 36 tworzą ciąg geometryczny.
7. Dany jest ciąg 𝑎𝑛 =
n ∈ 𝑁 +.
8.
𝑛−1
𝑛
. Wyznacz wzór ogólny ciągu 𝑏𝑛 = 𝑎𝑛+2 − 𝑎𝑛 , gdzie
Ciąg (an) dany jest wzorem an = n2 – 20, gdzie n ∈ 𝑁 + . Wyznacz liczbę ujemnych wyrazów
tego ciągu.
9. Wpłacono na lokatę 5000 zł . Oblicz stan oszczędności po trzech latach, jeżeli oprocentowanie
w skali roku wynosi 4%, a odsetki są kapitalizowane co pół roku.
10. Znajdź średnią arytmetyczną drugiego i czwartego wyrazu ciągu 𝑎𝑛 =
2𝑛2 −3
𝑛2 +1
.
11. Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 3 dają resztę 2 i są
mniejsze od 100.
12. Liczby x1 i x 2 są pierwiastkami równania 𝑥 2 − 4𝑥 + 3 = 0. Wykaż, że liczby x1, −√3 , x 2
tworzą ciąg geometryczny.
13. Pierwszy wyraz ciągu arytmetycznego równa się 2, a piąty jest równy 12. Oblicz sumę
siedmiu początkowych wyrazów tego ciągu.
14. Liczby 3,x,y są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli liczbę x zmniejszymy o 5, a
liczbę y zwiększymy o 17, to otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu
geometrycznego. wyznacz wartości liczbowe x i y.
15. Dany jest ciąg arytmetyczny (an) dla n ≥ 1, w którym a7=1, a12=11 . Oblicz pierwszy wyraz a1
i różnicę r ciągu (an).Sprawdź, czy ciąg (a7, a8, a11) jest geometryczny.
16. W pewnym ciągu arytmetycznym wyraz dziesiąty jest liczbą dwa razy większą niż wyraz
piąty i zarazem liczbą o 2 mniejszą od wyrazu piętnastego. Znajdź pierwszy wyraz i różnicę
tego ciągu.
17. Dany jest ciąg (a n ) określony wzorem a n   1
n
3 n
dla n  1 . Oblicz a4  3a1
n2
18. Oblicz sumę wszystkich parzystych liczb całkowitych dodatnich nie większych od 500
i niepodzielnych przez 5.
19. Marek chce przekopać przydomowy ogródek. Pierwszego dnia przekopał 27m². Aby
przyspieszyć prace postanowił każdego następnego dnia przekopać o 4m² więcej niż
poprzedniego. W którym dniu zakończy pracę, jeśli powierzchnia ogródka wynosi 7,83 a?
20. Drugi wyraz monotonicznego ciągu geometrycznego wynosi –6, a czwarty –24. Wyznacz
sumę 10-ciu początkowych wyrazów tego ciągu.
21. W ciągu geometrycznym różnica kwadratów pierwszego i drugiego wyrazu wynosi 12, zaś
różnica kwadratów pierwszego i trzeciego wyrazu 15. Znajdź piąty wyraz tego ciągu.
22. Liczby 7, x+5, y-2, -8 są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Oblicz 𝑥 𝑦 .
23. Znajdź te wyrazy ciągu 𝑎𝑛 =
𝑛2 +12𝑛+8
𝑛
, które są liczbami naturalnymi.
24. Ciąg (𝑎𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = −𝑛2 − 4√3 dla 𝑛 ≥ 1. Sprawdź, którym wyrazem
tego ciągu jest liczba −32 − (2 + √3)2.
25. Ciąg (6, 𝑥, 18) jest arytmetyczny, a ciąg (𝑥, 48, 𝑦, 𝑧) jest geometryczny. Oblicz 𝑥, 𝑦 oraz 𝑧.
26. Za trzy książki, których ceny tworzą ciąg geometryczny, zapłacono 57 złotych.
Za pierwszą i drugą razem zapłacono o 3 złote więcej niż za trzecią.
Ile zapłacono za każdą z książek?
27. W ciągu geometrycznym 𝑎2 = −6, 𝑎5 = 162. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu.
28. Liczby a, -2, b w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, a ponadto a-2b=17. Oblicz
a i b.
29. Wyznacz wzór ogólny rosnącego ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma trzech
początkowych wyrazów wynosi 57, a wyrazy pierwszy, piaty i dwunasty tworzą w podanej
kolejności ciąg geometryczny.
Matura 2015 (maj i czerwiec)
1. W rosnącym ciągu geometrycznym (an), określonym dla n > 0, spełniony jest warunek
a4 = 3a1. Iloraz q tego ciągu jest równy
A)
1
B)
3
1
3
C) √3
3
√3
D) 3
2. Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokosci 4% w
stosunku rocznym. Po zakończeniu lokaty od naliczonych odsetek odprowadzany jest
podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić
z banku, jest równa
A) 1000 (1 D) 1000 (1 -
81
4
100 100
19
4
)
100 100
B)
1000 (1 +
19
4
100 100
)
C) 1000 (1 +
81
4
100 100
)
)
3. W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an), określonym dla n > 0, suma jedenastu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego
i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest równa 12. Wyrazy a1, a3, ak ciągu (an), w podanej
kolejności , tworzą nowy ciąg - trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn). Oblicz k.
4. Ciąg geometryczny (an) jest określony wzorem an = 2n, dla n > 0. Suma dziesięciu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa:
A) 2(1-210)
B) -2(1-210)
C) 2(1+210)
D) -2(1+210)
5. Suma pierwszego i szóstego wyrazu pewnego ciągu arytmetycznego jest równa 13. Wynika
stąd, że suma trzeciego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa
A) 13
B) 12
C) 7
D) 6
6. Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny (an), dla n > 0 taki, że a5 = 18. Wyrazy
a1 , a3 oraz a13 tego ciągu są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego
ciągu geometrycznego. Wyznacz wzór na n - ty wyraz ciąg (an).
Matura 2016 (maj)
3
1. Czternasty wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 8, a różnica tego ciągu jest równa (− 2).
Siódmy wyraz tego ciągu jest równy
A)
37
2
B) −
37
2
5
C) − 2
D)
5
2
2. Ciąg (x, 2x+3, 4x+3) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy
A) -4
B) 1
C) 0
D) -1
3. Ciąg (an) jest określony wzorem 𝑎𝑛 = 2𝑛2 + 2𝑛 𝑑𝑙𝑎 𝑛 ≥ 1. Wykaż, że suma każdych
dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.
II 4. Ciągi - odpowiedzi
1. 𝑎1 = −2, 𝑎2 = 5, 𝑎3 = 4, 𝑎4 = 11, 𝑎5 = 2, 𝑎6 = 17
2. 𝑎3 = 1
2
1
2
1
3. 6 3 ; 6 3 ; 6; 5 3 ; 5 3
4. Wykazać np., że:
5. 𝑆100 =
4
+√5−5
√5−1
2
=
1
√5+2
𝜋 1−250
2 1+√2
6. 𝑥 = −7 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = 17
7. 𝑏𝑛 =
8.
2
𝑛(𝑛+2)
, gdzie n ∈ 𝑁 +
4 wyrazy
9. 5000 ∙ (1,02)6 ≈ 5630,81zł
10.
23
17
11. 1650
12. 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 3 lub odwrotnie
13. 𝑆7 = 66,5
14. 𝑥 = 17, 𝑦 = 31 𝑙𝑢𝑏 𝑥 = −1, 𝑦 = −5
15. 𝑎1 = −11, 𝑟 = 2 . Ciąg (a7, a8, a11) jest geometryczny.
2
2
16. 𝑎1 = 5 , 𝑟 = 5
9
17. 𝑎4 + 3𝑎1 = −11 16
18. 𝑆 = 50000
19. W 15. dniu
20. 𝑆10 = −3069
1
1
21. 𝑎5 = − 4 𝑙𝑢𝑏 𝑎5 = 4
1
22. 𝑥 𝑦 = − 3
23. Wyrazy ciągu (𝑎𝑛 ) które są liczbami naturalnymi, to: 1, 2, 4, 8
24. Liczba −32 − (2 + √3)2 jest czwartym wyrazem ciągu (𝑎𝑛 )
25. 𝑥 = 12, 𝑦 = 192, 𝑧 = 768
26. 12, 18, 27
27. 𝑎1 = 2
28. a=3, b=-7
29. 𝑎𝑛 = 3𝑛 + 13
Matura 2015 (maj i czerwiec) - odpowiedzi
3
1. C) √3
2. C) 1000 (1 +
81
4
100 100
)
3. k=11
4. B) -2(1-210)
5. A) 13
6. 𝑎𝑛 = 4𝑛 − 2
Matura 2016 (maj) - odpowiedzi
1. A)
37
2
2. D) -1
3. 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛+1 = (2(𝑛 + 1))2